1. 3. Составляющие погрешности измерений

На погрешность измерений могут влиять разные факторы (ис­точники погрешности). Имея в виду различные факторы (источни­ки), выделяют следующие составляющие погрешности измерений:

1) погрешность прибора;

2) погрешность округления показаний прибора;

3) методическая погрешность;

4) промахи;

5) погрешность вычислений.

Показания любого прибора, даже самого точного и совершен­ного, всегда отличаются от фактического значения измеряемой ве­личины. Это отличие характеризуется погрешностью прибора, ко­торая указывается в паспорте, прилагаемом к прибору. Погреш­ность прибора в свою очередь может содержать случайную и систематическую составляющие. Причины возникновения этой погрешности – несовершенство реальных материалов, невозмож­ность полного устранения вредных помех (например, трения), де­фекты сборки и т. д.

При считывании со шкалы прибора результат измерения всег­да выражается конечным числом значащих цифр, т. е. всегда име­ется погрешность округления.

Существуют различные методические рекомендации по измере­нию одной и той же физической величины: сложные и более прос­тые. Погрешность результата измерений также зависит от методи­ки их проведения. Каждой методике можно сопоставить некото­рую идеализированную модель измерения. Отличия этой модели от реальной процедуры измерений и приводят к методической по­грешности. Такая методика измерений даже в случае довольно точных измерений отдельных членов раз­ности приводит к большой методической погрешности результата.

В случае резких нарушений условий, при которых должны про­водиться измерения, могут появиться промахи, т. е. большие иска­жения измеряемой величины. Например, невнимательность экспе­риментатора (увидел одно число, а записал другое; сделал ошиб­ку, когда переписывал результаты и т. д.), резкие сотрясения ус­тановки, наводки при коротком замыкании цепи какой-нибудь со­седней установки и другие причины приводят к промахам.

Наконец, в процессе математической обработки результатов измерений, когда вычисления ведутся с конечным числом знача­щих цифр, могут появиться дополнительные погрешности, связан­ные с такими вычислениями.

В лабораторных работах в лабораториях физического практикума необходимо будет учитывать систематические и случайные погрешности. Измерения, содержащие промахи, следует отбрасывать.

1.4. Математическая обработка результатов измерений

Систематическая погрешность прибора

Для характеристики большинства измерительных приборов используется понятие класса точности (приведенной погрешности).

Класс точности (приведенная погрешность) прибора – это отношение абсолютной систематической погрешности к нормирующему значению измеряемой величины , взятое в процентах

(1.8)

Нормирующее значение принимается равным

1) конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю шкалы;

2) сумме конечных значений шкалы прибора (без учета знаков), если нулевая отметка находится внутри шкалы.

Очевидно, что абсолютная систематическая погрешность прибора равна

(1.9)

По классам точности приборы разделяют на семь классов

0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0.

Класс точности выверенного прибора указывается на его шкале. Если на шкале такого обозначения нет, то данный прибор внеклассный (невыверенный), т.е. его приведенная погрешность составляет более 4%.

При этом абсолютная погрешность такого прибора принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

Случайная погрешность многократных прямых измерений

Пусть при повторении измерений физической величины x в одинаковых условиях получают некоторые значения , (где i – номер измерения, п – число измерений).

При наличии случайных погрешностей появление того или иного значения в процессе измерения является случайным событием.

Обозначим

(1.10)

Значение называется средним арифметическим найденных значений .

Доверительным интервалом называется интервал значений

(1.11)

в который по определению попадает истинное значение измеряемой величины с заданной точностью.

Доверительной вероятностью (надежностью результатов серии измерений) называют вероятность  того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал.

Доверительная вероятность  сложным образом зависит от числа измерений n.

Часто полагают достаточным значение доверительной вероятности равное =0,95.

Стандартным доверительным интервалом называется величина

где

(1.12)

В этой формуле

– измеряемая величина,

– значение величины , полученное в -ом измерении,

– среднее значение величины , полученное при многократных измерениях,

– число многократных измерений.

Величина называется стандартной погрешностью измерения величины x. Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз нужно увеличить стандартный доверительный интервал чтобы при определенном числе измерений n получить заданную доверительную вероятность(надежность) .

Таблица 1.1.

Коэффициенты Стьюдента

Число измерений n	Доверительная вероятность,
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
2	1,0	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	63,7
3	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9
4	0,77	0,98	1,2	1,6	2,4	3,2	4,5	5,8
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6
6	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	4,0
7	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	3,7
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	3,5
9	0,71	0,89	1,1	1,4	1,8	2,3	2,9	3,4
10	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	3,3

Например, .

На пересечении строки и столбца находим коэффициент Стьюдента .

Порядок обработки результатов измерения следующий

• выполняют измерений величины и записывают их результаты в таблицу данных;

• по формуле (1.10) вычисляют среднее значение ;

• по формуле (1.12) вычисляют стандартную погрешность ;

• по таблице 1.1 находят коэффициент Стьюдента в зависимости от заданной доверительной вероятности α и числа измерений п;

• находят случайную погрешность измерений по формуле

(1.13)

Полная (суммарная) погрешность многократных прямых измерений

Для оценки многократных прямых измерений необходимо знать как систематическую, так и случайную погрешности.

Полная (суммарная ) абсолютная погрешность многократных прямых измерений вычисляется по формуле

(1.14)

Результат измерений при этом записывается в виде

(1.15)

Полная (суммарная) относительная погрешность измерения величины х дается выражением

(1.16)

Суммарная погрешность косвенных многократных измерений

Пусть проводятся косвенные измерения величины где значения получены прямыми многократными измерениями. Тогда значение величины x вычисляется следующим образом

(1.17)

где находятся по формуле (1.10).

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения дается выражением

(1.18)

Относительная суммарная погрешность косвенного измерения дается выражением

(1.19)

Здесь

– частные производные, взятые соответственно, при значениях

;

– абсолютные суммарные погрешности прямых измерений величин ..

Формулы (1.18), (1.19) можно применять при однократных измерениях. В этом случае вместо следует использовать значения , полученные при измерении.

Пример. Пусть ускорение свободного падения g определяют косвенным измерением при помощи математического маятника, период колебаний которого Т равен

Отсюда . Пусть величины l, T находятся прямым измерением с погрешностями  (l),  (T). Средние значения обозначим < l > , < T >.

Вычислим абсолютную погрешность (g) по формуле (1.18).

(1.20)

Продифференцируем g .

, ,

, .

Кроме того: (4)= 0,  () = 0.