3.1.5 Особенности представления чисел с плавающей запятой в пэвм

В некоторых мини- и микроЭВМ также используется беззнаковый порядок, смещенный на 2⁷ = 128 = 80₁₆, который меняется в диапазоне 0  P_x  255 = FF. В разрядной сетке под порядок отводится 8 двоичных разрядов, под мантиссу – 23.

Мантисса представляется в двоичной системе, изменение порядка на 1 приводит к смещению мантиссы влево или вправо на один двоичный разряд.

Поэтому числа в этих машинах при P_x = 127 представляются в диапазоне

A_max  (1 – 2^—23) · 2¹²⁷  (2¹⁰)¹² · 2⁷  (10³)¹² · 10² = 10³⁸.

Отметим, что точность представления чисел определяется количеством двоичных разрядов, отводимых под мантиссу числа. Может сложиться мнение, что по сравнению с шестнадцатеричной системой нормализации тетрадами, когда под мантиссу в коротком формате отводится 24 разряда, использование двоичной системы нормализации с 23 разрядами для мантиссы не только сокращает диапазон представления чисел, но и уменьшает точность их представления. Однако это не так. Дело в том, что при двоичной системе в старшем разряде дробной части нормализованной мантиссы всегда должна быть 1. Эта единица в разрядную сетку не заносится, но она подразумевается. При выполнении действий над числами в сумматоре или при выводе результатов она автоматически учитывается.

Рассмотрим представление в разрядной сетке (рисунок 4) чисел A и D из предыдущих примеров для случая использования двоичной системы нормализации со смещением на 128.

Знак	Характеристика		Дробная часть мантиссы
0	1000	1111	111	1010	0001	0001	0000	0000
47FA					11		00
1	0111	1011	000	0000	0000	0000	0100	0000
BD80					00		00

Рисунок 4 – Представление чисел A и D в разрядной сетке при использовании двоичной системы нормализации со смещением на 128

Пример 1.11.

Число A = 32008,5₁₀ = 111110100001000,1₂;

m_A = 0,1111101000010001₂;

P_XA = 128₁₀ + 15₁₀ = 143₁₀ = 10001111₂.

Число D = –0,015625₁₀ = –0,000001₂;

m_D = –0,1₂;

P_XD = 128₁₀ – 5₁₀ = 123₁₀ = 01111011₂.

Следует отметить, что шестнадцатеричные коды чисел при использовании двоичной системы нормализации со смещением на 128 отличны от кодов этих же чисел, представленных на рисунках 2 и 3.

3.2 Машинные коды чисел и действия над ними

3.2.1 Сущность и назначение машинных кодов

В ЭВМ посредством применения специальных машинных кодов все арифметические операции над числами сводятся к выполнению операции арифметического сложения и сдвигу их кодов вправо или влево. При этом учитываются знаки чисел, автоматически определяются знаки результата и признаки возможного переполнения разрядной сетки заданных форматов. Применяются прямой, обратный и дополнительный коды. Замена операции вычитания на сложение может осуществляться с помощью обратного и дополнительного кодов. Сущность этого процесса заключается в том, что вычитаемое B, как отрицательное число, представляется в виде дополнения до некоторой константы K, при которой выполняется условие K – B > 0. Обратный и дополнительный коды отличаются выбором значения константы K. Следовательно, операцию C = A – B, где A и B целые положительные числа в любой системе счисления, можно представить в виде:

C = A – B = A + (– B) = A + (10 ⁿ – B) – 10 ⁿ = A + (10 ⁿ – 1 – B) – 10 ⁿ + 1, (2.1)

где 10 – основание любой системы счисления.

K = 10 ⁿ – константа образования дополнительного кода; K = 10 ⁿ – 1 – константа образования обратного кода; n – количество разрядов представления целых чисел в выбранной системе счисления (для дробных чисел n = 0).

Из выражения (2.1) следует, что из полученной суммы нужно исключить добавленную к вычитаемому константу.

Рассмотрим примеры действий над числами.

Пример 2.1. Дано: А = 59, В = 34. Найти C₁ = A – B.

Пусть константа для дополнительного кода 10² = 100, для обратного кода 10² –1 = 99.

Тогда (– В)_доп = 100 –34 = 66,

(– В)_обр = 99 –34 = 65.

+ A = 59 (– B)доп = 66
125	– 10^2 = 25 = C;

+ A = 59 (– B)обр = 65
124	– 10^2 = 24
	+1
	25 = C.

Из примера 2.1 следует, что операция вычитания заменяется операцией сложения с дополнениями, при этом из полученной суммы константа дополнительного кода компенсируется просто ликвидацией единицы переноса из старшего разряда суммы, а константа обратного кода компенсируется путем исключения единицы переноса и добавления ее к младшему разряду суммы, т.е. требуется дополнительная операция сложения. Поэтому в ЭВМ для выполнения действий используется дополнительный код, а обратный код используется для образования дополнительного кода.

По результатам действий под числами с дополнениями легко определить знак суммы и наличие переполнения разрядной сетки (сумма равна или больше по модулю константы дополнительного кода).

Пример 2.2. Дано: А = 59, В = 34. Найти:

а) C₁ = B – A, (– A)_доп = 10² –59 = 41;

б) C₂ = A + B, (– B)_доп = 10² –34 = 66;

в) C₁ = – A – B.

а)

+

B = 34

(– A)_доп = 41

(C₁)_доп = 75

C₁ = 75 – 10² = – 25;

б)

A + = 59 B = 34
C2 = 93

в)

( + – A)доп = 41 (– B)доп = 66
107	– 10^2 = 07 = (C3)доп;

C₃ = 07 – 10² = – 93.

Из примера 2.1 и 2.2 следует, что при сложении чисел с разными знаками (C и C₁) единица переноса из старшего разряда суммы является признаком положительного результата (C), отсутствие переноса (C₁) – признаком отрицательного результата, при этом константа образования дополнительного кода нескомпенсирована и осталась в сумме.

При сложении чисел с одинаковыми знаками признаки противоположны: отсутствие переноса единицы из старшего разряда при положительных слагаемых (C₂) является признаком положительного результата, наличие переноса при отрицательных слагаемых (C₃) – признаком отрицательного, при этом одна константа компенсируется переносом, а вторая сохраняется в сумме. Эти же признаки в суммах (C₂ и C₃) указывают на отсутствие переполнения разрядной сетки для записи результатов (результаты имеют 2 десятичных разряда).

Пример 2.3. Дано: А = 59, В = 65. Найти C₄ = A + B, C₅ = –A – B.

(– A)_доп = 10² –59 = 41; (– B)_доп = 10² –65 = 35.

A + = 59 B = 65	( + – A)доп = 41 (– B)доп = 35
C4 = 124 > 10^2	C5 = 76 > | 10^2 |.

Здесь в обоих случаях при сложении чисел с одинаковыми знаками происходит переполнение разрядной сетки, признаками которого являются: наличие переноса из старшего разряда при положительных слагаемых (C₄) и отсутствие переноса при отрицательных (C₅). При получении суммы C₅ перенос отсутствует, т.е. обе константы 10² остались в полученном результате. Следовательно, результат 76 – 10² = –24, –24 – 10² = –124 по модулю больше константы и в отведенные 2 разряда не умещается.

Рассмотрим образование кодов в двоичной системе счисления A = ±34. Знак числа кодируется 0 или 1, записывается перед старшим разрядом и отделяется для наглядности точкой, которая не является частью кода и в разрядной сетке не отражается. Для простоты примем, что задана разрядная сетка в один байт, т.е. 8 двоичных разрядов, из которых один отводится под знак, а 7 для записи числа:

A₁₀ = ±34 = A₁₆ = ±22 = A₂ = ±100010.

Примем константу для дополнительного кода: K₁₀ = 2⁸ = K₂ = 10¹⁰⁰⁰ = 100000000, и константу для обратного кода: K₁₀ = 2⁸ –1 = K₂ = 10¹⁰⁰⁰ – 1 = 11111111.

Таблица 1 – Прямой, обратный и дополнительный коды для чисел A = 34 и A = –34, варианты их расчета.

Число	[A]пк	[A]ок	[A]дк
100010	00100010	00100010	00100010
		1 – 1111111	1 – 00000000
		00100010	00100010
–100010	10100010	11011101	11011110