Линеаризация дифференциальных уравнений.

Так как большинство систем является нелинейными, то необходимо найти нелинейную зависимость:

∆y

∆y x(t) = x₀+∆x(t)

y(t) = y₀+∆(t)

y₀

∆x y = y_n+Rx

∆x R = - коэффициент угла наклона касательной

x₀

В рабочей точке с координатами (x₀;y₀) система постоянно работать не может, так как существует малое отклонение ∆y, ∆x. Касательная в рабочей точке показывает, что величина ошибки замены в качестве функции системы нелинейной на линейную не велика при малости ∆x.

1 – реальный график

2 2 – касательная к графику

1

Стандартные формы записи дифференциальных уравнений.

Применив к дифференциальному уравнению преобразование Лапласа, получим: D(S)X(S) = N(S)X(S)+M(S)F(S), где S – оператор Лапласа.

Y(S); X(S); F(S) – изображение по Лапласу.

Ы – оператор Лапласа, представляет собой комплексную величину s=c+jώ, где s – корень характеристического уравнения (полином); с – вещественная часть комплексного числа или абсцисса абсолютной сходимости; ώ – угловая частота, разрядность [рад/с]

Для перехода от реальной функции времени, то есть от их оригиналов к их изображениям по Лапласу и наоборот вводят прямое интегрируемое преобразование:

Обратное интегральное преобразование:

В результате преобразований Лапласа мы получаем алгебраическое уравнение изображающее функцию времени по Лапласу.

Введем обозначения:

Это выражение называют передаточным по входному сигналу X или F.

То есть передаточная функция – отношение изображения выходного сигнала к входному.

D(s)X(s) = N(s)X(s)

Если индексов у передаточной функции нет, предполагается только один входной сигнал x. Выход один, то, следовательно, и знаменатель будет один. Так как входной сигнал, как правило, известен, либо мы его можем задать в виде входного типового воздействия свойства системы также известны и представляются в виде передаточной функции, то всегда стоит вопрос по нахождению изображения выходного сигнала, то есть

, где Y(s) – реакция системы.

Данную форму записи можно представить в виде структурной схемы:

Д ля того чтобы применить преобразование Лапласа удобнее всего пользоваться специальными таблицами. Данные таблицы применяются для причинных систем.

Причинная система – это динамическая система, для которой выполняется принцип личности, то есть вход такой системы y(t) в какой-то момент времени зависит только от значений входного сигнала x(t) в момент времени t меньше или равное t₀. Таким образом в реальном мире все системы – причинные, так как невозможно получить отклик системы на еще не приложенное воздействие.

Характеристики сау

Далее будем рассматривать только линейные системы, подвергнутые линеаризации, с проведенной касательной.

Чаще всего система представляет собой набор легких динамических звеньев, которые есть модель устройства любого физического вида. В качестве входных воздействий применяют типовые и единичный ступенчатый скачок, дающие на выходе звена временные характеристики (переходная и импульсная), а гармонический входной сигнал – частотные характеристики на входе. Рассмотрим импульсную или весовую функцию звена, она есть реакция звена на w(t), дельта

Весовая функция обозначается ω(t) или w(t), которая зависит от передаточной функции и оказывается, что ω(t) есть:

Зная весовую функцию можно найти реакцию звена на любое входное воздействие x(t), разложение которого на -функции имеет вид