Построение эпюр нагрузок. Правило знаков.

Стержень на двух опорах нагруженный

силами F. Из условия равновесия найдем опорные

реакции FА=FВ=F. Под действием внешних сил и

опорных реакций стержень (б) будет находиться в

равновесии.

Для определения внутренних силовых факторов в

сечении т1— т1 участка CD стержня мысленно

разрежем его на две части и рассмотрим

равновесие одной из них, например левой (в).

Для того чтобы эта часть находилась в

равновесии, приложим в точке C1 неизвестные

внутренние силовые факторы: нормальную

силу ;Nx(x1), перерезывающую силу Qy (x1))

изгибающий момент Мz(х1).

Правило знаков. Положительный изгибающий момент изгибает горизонтально расположенный стержень (балку) выпуклостью вниз (а), а отрицательный изгибающий момент — выпуклостью вверх (б).

Положительная поперечная сила стремится сместить (сдвинуть) левое сечение стержня вверх относительно правого или правое сечение вниз относительно левого ( а). Отрицательная поперечная сила имеет противоположное направление (б).

Схема чистого изгиба.

На рисунке – участок стержня с нанесенной

линий. После приложения Ми продольные

линии – дуги окружностей, поперечные сечения

остаются плоскими.т.е. гипотеза плоских сечений

справедлива. При чистом изгибе волокна на

выпуклой стороне растягиваются, а на вогнутой

стороне — сжимаются. Поэтому существует слой,

в котором удлинения отсутствуют; его называют

нейтральным слоемÞ. нейтральной линией .

Связь напряжений и внутренних факторов

Допускаем: стержень - совокупность растянутых и сжатых элементарных стержней длиной l, которые свободно укорачиваются и удлиняются. Нормальные напряжения примем постоянными по ширине сечения.

Статическая часть задачи. Условия равновесия между силовыми факторами и распределенными внутренними силами sd А :

a ) SFx =0; б)SFy =0; в)SFz = 0; г)SMx = 0; д)SMy = 0; е) SMz = 0.

Условия б, в, г удовлетворяются тождественно. Условия а, е, д имеют вид:

Деформация волокон.

Геометрия задачи . Относительное удлинение слоя АВ, удаленного на расстояние z от нейтрального слоя, равно

Т. е. деформация некоторого слоя линейно зависит от его координаты z,

отсчитываемой от нейтрального слоя.

Используя закон Гука, записываем как = Ee = s zE / r (к)

Отношение Е/r является постоянным для конкретного материала

и конкретного случая изгиба. Поэтому напряжения – линейная

функция координаты z.

Для нахождения величины s нужно знать положение нейтрального

слоя или радиус кривизны r.

Н ормальные напряжения при изгибе.

Из уравнений равновесия а. д. е с учетом (к)

Из уравнения а) , так как E / = r const 0 ¹, то

э то статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси у. Если он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Нейтральная ось является таким образом центральной осью.

Из уравнения е) системы получаем:

Это центробежный момент инерции, при его равенстве нулю – оси главные центральные

И з уравнения д) :

Где осевой момент инерции. Расчетная формула получена путем подстановки

в последнюю зависимости (s/z) из формулы (к)

Расчетная формула

Максимальные нормальные напряжения

где Wy = Jy/zтах есть осевой момент сопротивления поперечного сечения стержня.

Условие прочности можно записать в виде

Как следует из характера распределения напряжений, внутренние слои материала оказываются недогруженными. Поэтому при проектировании профилей стержней, работающих на изгиб, стремятся разместить материал дальше от нейтральной линии.

Силовые факторы при поперечном изгибе

При поперечном изгибе в сечении стержня возникает не только изгибающий

момент, но и перерезывающая сила Следовательно, в поперечном сечении

действуют нормальные s и касательные напряжения t

Для стержня, у которого размер сечения значительно меньше длины стержня,

сдвиги невелики, гипотезу плоских сечений условно распространяют на поперечный

изгиб, а нормальные напряжения вычисляют также, как и при чистом изгибе.

Ф ормула касательных напряжений

Выразим силы через норм напряж., а напряжения – через изгиб. моменты:

Т огда:

Где Ао- площадь отсеченной части, - статический момент отсеченной части.

Закон распределения t по высоте сечения определяется, таким образом, отношением Sо /b.

Для прямоугольного

сечения получаем при b = const – параболическое распределение напряжений.

Характер перемещений при изгибе

При изгибе имеют место перемещения двух типов — линейные f1, f2 (прогибы) и угловые q1q ,2 (повороты сечений), как это показано в сечениях 1 и 2. Определение этих перемещений необходимо для оценки жесткости изгибаемого элемента.

Форму изогнутой оси бруса можно определить, используя выражение из предыдущей лекции

Откуда Из математике:

Тогда при малых перемещениях

Уравнение изогнутой оси

Формула по существу является дифференциальным уравнением изогнутой оси балки (индексы при моменте и жесткости опущены).

Интегрируя это уравнение, получаем, принимая момент функцией координаты х,

Где С и D- постоянные интегрирования , определяемые из граничных условий

Виды напряженного состояния.

Оценка прочности детали –сопоставление напряженного состояния в «опасной» точке конструкции с пределом прочности материала. Такая оценка оказывается достаточно точной при одноосном напряженном состоянии (растяжение, сжатие)

Однако многие элементы конструкций работают в условиях сложного (плоского, объемного) напряженного состояния. Тогда совокупность напряжений в точке элемента сопоставляется с механическими характеристиками его материала, т. е. вводится эквивалентное напряжение, т.е. напряжение в растянутом образце, при котором состояние равноопасно с заданным. Эта задача достаточно сложна.

Усилия на наклонных площадках

Растянутый стержень рассечем плоскостью, наклоненной к поперечному

сечению под углом a Из уравнения равновесия Þ равнодействующая

внутренних сил в наклонном сечении направлена по оси стержня и равна

внешней силе, т. е. Ra.=F.

Разложим её на составляющие : нормальную Na = Fcosa.; и касательную

Qa = Fsina . Площадь наклонного сечения Aa = A / cosa (A — площадь

нормального сечения). Нормальные sa и касательные at напряжения

распределены по наклонному сечению равномерно. Максимальные нормальные

напряжения saтах = F/A действуют в поперечных сечениях стержня (a=0).

Напряжения на наклонных взаимно перпендикулярных площадках

В наклонных сечениях действуют одновременно нормальные и касательные

напряжения, которые зависят от угла наклона a. На площадках при

a = 45 и 135°, tмах = s/2. При a =90º как нормальные, так и касательные

напряжения отсутствуют. Легко показать, что перпендикулярное сечение при

2/p3 + a = b ; sb s= cos²s = b sin²a; tb s5,0 =sin2s5,0 - =bsin2a

Вывод 1) в двух взаимно перпендикулярных плоскостях алгебраическая

сумма нормальных напряжений равна нормальному напряжению в поперечном

сечении s = sa s +b , 2) касательные напряжения равны между собой по

абсолютной величине и противоположны по направлению (знаку) ta t - =b.

(закон парности напряжений), 3)sмах= s при 0=a, 4)tмах= s/2 при =a45º

Двухосное растяжение

Пусть на элемент, выделенный из тела, действуют нормальные напряжения.

Очевидно, что напряжения s1 и s2 являются главными напряжениями.

Такое напряженное состояние называется двухосным или плоским.

Проведем наклонное сечение a, нормаль к которому пa образует с

большим из нормальных напряжений s1 угол a, считая положительным

угол против хода часовой стрелки.

По площадке a будут действовать нормальные и касательные напряжения.

При действии только s1 получаем

При действии s2

Напряжения при двухосном растяжении

При совместном действии s1 и s2 нетрудно видеть

На площадке b

Так как °09 =b

Выводы sa s +bs= 1 + s 2t ;a t -=b

Если одно напряжение принимает мах, то второе мин

В этом положении касательное напряжение равно нулю.

Главные площадки

Выделим из элемента ( параллелепипеда) наклонным сечением треугольную призму и рассмотрим её равновесие, проецируя силы на нормаль и касательную к наклонной площадке:

s h ds = s h dy cos a+ s h dx sin a +t h´ (dy sina + dx cos a)

t hds = -s hdy sin a+ s h dx cos a+t h ´( dycosa - dx sina)

Так как dx = ds sin a ; dy = ds cosa, то

s = s cos a+ s sin a + t sin 2;a t = 0,5 (s - s ) sin2a + t cos 2a .

Исследуя на экстремум выражение, можно убедиться, что условие экстремума для sa совпадает с условием равенства нулю касательных напряжений на этих площадках, называемых главными

Главные напряжения

Нормальные напряжения на этих площадках называют главными. Главные напряжения и положение главных площадок можно найти из первого уравнения. Для определения главных площадок приравняем второе уравнение нулю. Откуда tg 2a = 2t / (s - s )

Величина напряжений на этих площадках:

Объёмная деформация материала

Объёмной называется деформация элемента под действием взаимно перпендикулярных напряжений, причем принято s1 > s2 > s3

Для определения деформации в направлении главных напряжений используем закон Гука для линейного напряженного состояния, зависимость между продольной и поперечной деформациями и принцип независимости действия сил.

Напряжение s1 вызывает продольную деформацию e =s / Е и поперечную в направлениях s и s :

e =-ms /.E ; e =-ms /.E

Аналогично от действия s и s :

e =s / Е , e = -ms /E ; e = -ms /E

e =s / Е , e = -ms /E ; e = -ms /E

Обобщенный закон Гука

Суммируя деформации одного направления, имеем после преобразования главные деформации:

e = e + e + e = (1 / E)[ s- m(s + s )];

e = e + e + e = (1 / E)[ s- m(s + s )];

e = e + e + e = (1 / E)[ s- m(s + s )]

Эти уравнения выражают обобщенный закон Гука для объёмного напряженного состояния.

Изменение объёма элемента при деформации единичного размера:

V=(1+ )(1+ )(1+ )» 1+ + +

Относительное изменение объема элемента :

q=(V-V )/V »e +e +e

Подставляя деформации из закона Гука , получаем:

q =[1-2m/Е]( s +s +s )

Потенциальная энергия. Эквивалентные напряжения

На растяжение бруса затрачивается работа (потенциальная энергия), равная

Для единичного элемента Ер = s e /2

Обобщая формулу для объёмной деформации, имеем

Для оценки прочности совокупность напряжений в точке конструкции в при сложном (плоском, объемном) напряженном состояния надо сопоставить с механическими характеристиками его материала, т. е. необходимо установить некоторое эквивалентное напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно с заданным.

Гипотезы прочности. 1-я гипотеза

Разработан ряд гипотез (теорий) прочности, позволяющих оценить опасность перехода в предельное состояние материала элементов конструкций, находящихся в сложном напряженном состоянии.

Рассмотрим лишь четыре теории прочности, которые наиболее широко применяются в инженерных расчетах. 1-я теория наибольших нормальных напряжений: опасное состояние материала наступает, когда главное напряжение достигает опасного значения, т. е. s экв = s1. Другие напряжения не влияют на прочностную надежность элемента конструкции, определяемую условием s экв £ s0 , где s0— предельное напряжение, полученное при растяжении стандартного образца. После подстановок s1£[s]/

Вторая теория прочности

Теория наибольших линейных деформаций - материал разрушается тогда, когда наибольшее относительное удлинение достигает такой величины, при которой происходит разрушение при простом растяжении, т.е. e mах = e1 £ e0

где eо — предельное значение относительного удлинения при растяжении стандартного образца.

После подстановок s экв=s1-n(s2+s3)£[s]

Данная теория прочности была разработана Сен-Венаном, но недостаточно хорошо подтверждается экспериментальными исследованиями. Лучшие результаты получаются для хрупких материалов. Применяется редко.

Третья теория прочности

Теория наибольших касательных напряжений - причиной опасного состояния (текучести) материала являются наибольшие касательные напряжения или текучесть материала наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения текучести в случае простого растяжения.

При деформации бруса от напряжений s1,s 2 и s3, касательные напряжения определяются по формулам

t = (s -s ) /2 ; t = (s -s ) /2; t = (s -s ) /2

Если s1 > s2 > s3 то наибольшее касательное напряжение с учетом знаков tэкв = tmах = (s - s )/ 2£ [t].

Переходя к нормальным напряжениям:

Теория хорошо согласуется с экспериментами для пластичных материалов.

Четвертая теория прочности-энергетическая

Сложного напряженное состояние равноопасно с простым растяжением при одинаковых удельных энергиях изменения формы.

Потенциальная энергия изменения формы

Ер=(1+m)[(s -s ) +(s -s ) +(s -s ) ]/6Е

Для простого растяжения Lф= Ерf=(1+m)2s экв /E6

Из равенства работы внешних сил и потенциальной энергии при формоизменении после преобразований

в правой называют интенсивностью напряжений .В частном случае кручения с изгибом

Понятие о сложном сопротивлении

Сложным сопротивлением называют вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса действуют два и более силовых фактора. Поперечный изгиб также является сложным сопротивлением. В общем случае в сечениях действуют шесть силовых факторов Nх,,Qy, Qz Мох, Моу, Моz Ранее рассмотрены методы расчета напряжений и перемещений от каждого из этих факторов. При действии нескольких факторов используют принцип суперпозиции для определения суммарного результата. К наиболее распространенным видам сложного сопротивления относятся косой изгиб , внецентренное растяжение и изгиб с кручением.

Схема сложного нагружения

Стержень, нагруженный силой F, имеющей углы g ,b ,a с осями координат,

начало которых находится в центре тяжести поперечного сечения. Оси у, z

являются главными центральными осями инерции. Находим проекции силы F

на оси координат. Применяя метод сечений, устанавливаем, что стержень работает

на изгиб в двух плоскостях и на осевое растяжение.

Косой изгиб

Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции стержня. Задачу косого изгиба сводят к одновременному рассмотрению двух плоских (прямых) изгибов, раскладывая изгибающий момент в сечении на два момента, действующие в главных плоскостях (которые проходят через главные оси сечения).При косом изгибе в поперечном сечении стержня возникают также и поперечные силы. Однако влиянием касательных напряжений, появление которых обусловлено действием сил Q, в расчетах на прочность пренебрегают.

Схема сил при косом изгибе

На рис. а показан консольный стержень, нагруженный силой F,

действующей перпендикулярно его оси и составляющей угол j с

главной плоскостью ху. Напряжения в некоторой точке В поперечного

сечения на расстоянии х от не­закрепленного торца. Моменты, изгибающие

стержень в вертикальной и горизонтальной плоскостях,

Mz =Fух =М cos j; My=Fzx=M sinj

где Fy и Fz — вертикальная и горизонтальная составляющие силы F;

М — изгибающий момент в сечении.

Напряжения и нейтральная ось при косом изгибе

Нормальное напряжение в некоторой точке с координатами у и z определяется суммой напряжений от моментов My и Мz, т. е.

s =.My z/Jy + Mz,y/Jz

Максимальные напряжения будут действовать в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии ( б):

s тах = My Zтах /Jy + MzYтах, /Jz

Положение нейтральной линии при косом изгибе найдем из уравнения, полагая s = 0. Обозначая координаты нейтральной линии уo и zа, получим y0 = - z0(Jz / Jy) tg j

Видно, что нейтральная линия является прямой, проходящей через начало координат (центр тяжести поперечного сечения). Обозначая через a угол наклона нейтральной линии к оси z , найдем tg a = y0 / z0 = - (Jz / Jy)tg j

Внецентренное растяжение

При внецентренном растяжении (сжатии) стержня равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, а смещена относительно оси х.

В произвольном поперечном сечении стержня будут действовать внутренние силовые факторы:

N = F; Mx = F yF; My = F xF; где F- действующая нагрузка; xF, yF - координаты произвольной точки,

Мх, Му – изгибающие моменты относительно осей сечения;

Схема сил и напряжений в сечении

Для определения нормального

напряжения в произвольной

точке найдем его составляющие от каждого фактора для случая

внецентренного растяжения. Нормальное напряжение равно

s к = sF + sМх + sМу,

Или после подстановки значений напряжений

s к = F/A +My · xk / Jy + Mx · yk / Jx

т.е. эпюра напряжений является плоскостью.

Положение точки К и эпюры напряжений от каждого фактора показаны на рисунке. Для определения нейтральной оси заменим моменты сил их значением и приравняем sк = 0, J /A = i² :

1 + уFук / i²х + хFxk / i²y =0 Отсюда находятся координаты ук, хк

Изгиб с растяжением

В общем случае на стержень могут действовать как продольные,

так и поперечные нагрузки. Если предположить себе сочетание

рассмотренного выше косого изгиба с осевым растяжением или

сжатием, то такое нагружение приводит к появлению в поперечных

сечениях стержня изгибащих моментов Мг и My, поперечных сил Qz; и Qy и продольной силы N. Например, в сечении В консольного стержня будут действовать следующие силовые факторы (без учета принятого ранее правила знаков): My=Fz x; Mz =Fy x; Qz = Fz ; Qу = Fу; N=Fх

Напряжения в стержне

Нормальное напряжение, вызываемое растягивающей силой Fx, во всех поперечных сечениях стержня одинаково и равномерно распределяется по сечению. Это напряжение определяется по формуле sр=Fx/A,

где А — площадь поперечного сечения стержня.

Применяя принцип независимости действия сил с учетом ранее полученной формулы нормальное напряжение в произвольной точке С : s=N/A+Mу z/Jу+Mzy /Jz. Тогда наибольшее напряжение sтах в поперечном сечении

s тах = M+A/Ny/Wy+Mz/Wz . Касательные напряжения по осям y и z: t y= Qy/A; t z =Qz/A

С уммарное касательное напряжение .

Эквивалентное напряжение по 4 теории прочности

Изгиб с кручением валов

Многие элементы конструкций машин (валы и др.) работают в условиях кручения и изгиба. Например, валы зубчатой передачи от сил в зацеплении зубьев передают крутящие и изгибающие моменты, валы ременной передачи испытывают такие же нагрузки от разности натяжения ремней.

Для решения вопросов работоспособности материала строятся эпюры крутящих и изгибающих моментов, а затем напряжений

Напряжения в поперечном сечении

В наиболее нагруженной точке С будут действовать нормальные напряжения от изгибающего момента Ми, а также касательные напряжения от крутящего момента Т. Их величина в любой точке сечения :

s = Му z / Jy; = t Т r / Jр .

где z – расстояние от нейтральной оси;

r - радиус – вектор от начала осей координат

Наибольшее напряжение действует на поверхности вала.,

где zтах = rтах = d / 2

Так как для вала Wp = 2Wy , имеем: sтах = Му / Wy,

tтах = Т / Wp = T /(2Wy)

Распределение напряжений показано на рисунке б)

Эквивалентные напряжения и расчет прочности

П о главным напряжениям, используя одну из рассмотренных выше теорий прочности, определяют эквивалентное напряжение.

Так, на основании энергетической (четвёртой) теории

Подставив значения напряжений, после преобразования :

Так как Wу = 0,1d³, то диаметр вала

Переменные напряжения

Большинство деталей машин в рабочих условиях испытывают переменные напряжения, циклически изменяющиеся во времени (циклические напряжения). Они возникают в деталях от изменения нагрузки, а также в связи с изменением положения их сечений по отношению к постоянной нагрузке (например, при вращении детали).

Законы изменения переменных напряжений могут быть различными, но все их можно представить в форме простейших гармоник синусоиды или косинусоиды.  

Периодическое изменение напряжений во времени происходит от наибольшего значения sтах до наименьшего sтin и обратно. Переменными могут быть также касательные напряжения.

Число циклов напряжений в секунду называют частотой нагружения.

Циклы напряжений

Циклы напряжений могут быть знакопостоянными (а и в) или знакопеременными (б).

Любой цикл напряжений может быть охарактеризован средним напряжением s т =(s тах+s тiп/2) , амплитудой переменного напряжения s а = (s mах - s тiп)/2, отношением r =s тiп /s тах , называемым коэффициентом асимметрии цикла. В цикле б) среднее напряжение равно нулю, такой цикл называется симметричным (s тах= s а =s тiп ; r = - 1) Если максимальное или минимальное напряжение цикла равно нулю, то его называют пульсирующим или нулевым (для цикла в) r = 0).

Усталость материалов

Переменные напряжения иногда приводят к внезапному разрушению деталей, хотя величина этих напряжений часто существенно ниже предела текучести.

Это явление получило название усталости.

*Усталостное разрушение начинается с накопления повреждений на границах зерен материала и образования на поверхности в месте концентрации напряжений микротрещины, не видимой невооруженным глазом. Со временем происходит развитие трещины и ослабление сечения. Трещина распространяется обычно в направлении, перпендикулярном линии действия наибольших нормальных напряжений. Когда прочность оставшейся (неповрежденной) части сечения становится недостаточной, происходит внезапное разрушение детали.

Предел выносливости

Число циклов до момента разрушения зависит от амплитуды напряжений и меняется в весьма широких пределах. Имеют место случаи, когда деталь разрушается при больших напряжениях через несколько циклов, а при меньших напряжениях способна работать неограниченно долго.

Способность материала или детали противостоять действию переменных нагрузок называют сопротивлением усталости. Его оценивают с помощью предела выносливости, определяемого экспериментально на специальных машинах или стендах

Уравнение кривой усталости

Зависимость между переменным напряжением smaх и числом циклов до разрушения достаточно точно описывается уравнением sттахN = С, где т и С—постоянные для данного материала, температуры и окружающей среды; Nб—базовое число циклов.

В логарифмических координатах уравнение кривой усталости lg smax = - (1/m)lg N + (1/m)lg C

Тангенс угла наклона прямой b = |tgb| = l/m.

С увеличением значения т наклон прямой к оси lg N уменьшается и при т ® ¥ прямая становится горизонтальной. Обычно m = 4...10.

Уравнение справедливо и для точки перегиба А кривой усталости, т.е. C = sтrNб, тогда получим (s тах s /r)т = Nб/N;

откуда N = Nб(sr s/тах)

Эта зависимость используется для определения ресурса работы элементов конструкций при известном уровне рабочих переменных напряжений s тах и значениях sr и Nб.