Тонкостенные оболочки вращения
При оценке прочностной надежности ряд распространенных элементов конструкций (трубопроводы, полные валы, сосуды, корпуса и т. п.) схематизируют в форме тонкостенных оболочек вращения .
Если нагрузка на оболочки осесимметричная, то определение напряжений в стенках не вызывает затруднений. При толщине стенки не свыше 0,1 минимального радиуса ее кривизны с приемлемой для практики точностью принимают, что в стенках от внешней нагрузки (например, давления рабочего тела) возникают только нормальные напряжения (растягивающие, сжимающие), которые постоянны по толщине.
В качестве примера можно рассматривать сосуд под давлением
Напряжения в оболочке
Осевые напряжения вызываются осевой силой
N=qpR =pDsd т
где R — внутренний радиус сферической части сосуда; D » 2R—средний диаметр цилиндрической части сосуда; d - толщина стенки
Площадь кольцевого сечения Ат =pDd
Из этого уравнения s т = N/Aт = qD/(4d)
Окружные напряжения вызываются силами dN =s ddl , которые должны уравновешивать силу dFR, обусловленную давлениями q, действующими на поверхность элемента,
dF =q dl
Составим уравнение равновесия, проецируя силы dN и dF ; на направление радиуса в середине элемента:
2d N sin(dq /2)-dF =0
Анализ напряжений
Тогда 2s d dl sin(dq/2)=q dl Учитывая, что
dl=R dq и sin (dq /2)»dq/2, получим s0=qD/(2d).
Из зависимостей видно, что в цилиндрическом сосуде напряжения в продольном сечении в 2 раза больше (qD/(4)d)), чем в поперечном сечении (qD/(2d).) . Это обстоятельство учитывают на практике при изготовлении составных резервуаров:
продольные сварные швы выполняют более прочными, чем поперечные швы.
В сферическом сосуде напряжения на гранях элемента будут одинаковыми.
Схема нагружения при расчетах за пределом упругости материала
Максимальные касательные напряжения при кручении действуют в крайних волокнах и пластические деформации возникают сначала на контуре сечения. Пластическая зона при увеличении нагрузки будет развиваться внутрь сечения. Для идеально упругопластичного материала переход в предельное состояние показан на рисунке а-г.
На а) показано распределение напряжений для упругого состояния, сохраняющееся до s тах £ tТ , на б —при
tтах = tТ, когда впервые появляются пластические деформации. На рисунке в - когда зона пластических деформаций распространилась до r= r/2, на r— предельное состояние.
Предельный момент кручения
Предельное значение момента легко устанавливается из условия равновесия
Найдем отношение Тпр к максимальному значению момента в упругом состоянии
Тт =tтах Wр =tТ Wр = tТ pD3/16 получим Тпр/ТТ = 4/3.
Расчет предельного момента
Зона пластических деформаций распространяется внутрь сечения, и когда во всем сечении нормальные напряжения достигают предела текучести, образуется предельное состояние, и балка не может передавать большей нагрузки. Предельный момент находят путем интегрирования:
Максимальное значение изгибающего момента для упругого распределения напряжений, когда только в крайнем волокне будет
Отношение М пред/МТ = 3/2.
Контактные напряжения
Контактными называют напряжения в зоне контакта деталей машин. На практике часто появляется необходимость определения напряжений и деформаций в этих зонах как при расчете на контактную прочность (зубчатые и фрикционные передачи), так и для оценки предела выносливости (резьбовые и прессовые соединения и др.).
Конструкционные контактные задачи решают методами теории упругости, как правило, приближенно. Точные решения получены лишь для задач об упругом контакте деталей простой формы (цилиндры, шары и т. п.).
Для понимания принципиального подхода при решении контактных задач рассмотрим взаимодействие цилиндров
Контакт однородных материалов
Если цилиндры изготовлены из материалов, у которых Е1 = E2 и n1 = n2 = 0,3, то
Так как полуширина контактной площадки а зависит от р, то смещение D является нелинейной функцией от р, хотя материал цилиндров предполагается упругим. Это объясняется изменением а в процессе нагружения: значение а возрастает по мере увеличения р, и относительная податливость контактной зоны уменьшается.
Эта задача, впервые решенная Г. Герцем, широко применяется в расчетах на контактную прочность деталей 'машин (фрикционных и зубчатых передач и др.) конечной длины..
Ударное нагружение систем
При ударе (внезапном нагружении с очень высокой скоростью), определение сил инерции
затруднено, поэтому для приближенного определения динамических напряжений и
деформаций используют закон сохранения энергии и предполагают, что ударяющее тело не
отскакивает от конструкции после соприкосновения, а перемещается вместе
с ней (неупругий удар).
Рассмотрим задачу об ударе груза массой т, движущегося со скоростью Vo по стержню с
осевой податливостью l=1/(ЕА), где Е—модуль упругости материала; А — площадь поперечного
сечения стержня.
Коэффициент динамичности
Кинетическая энергия груза Ек = тv02/2
после касания со стержнем будет накапливаться в нем в виде потенциальной энергии растянутого на величину
д стержня . Ер =Fтах dд/2 = dд2/2l . и изменения потенциальной энергии груза на этом же перемещении
Ерт = тgdд
Энергетический баланс Ек + Ерт = Ер
Откуда dд2-2lтgdд - 2lЕк = 0.
Из этого уравнения
где dСТ=mgl—удлинение стержня при статическом нагружении силой тяжести груза.
где kд -— коэффициент динамичности, равен выражению в скобках
Динамические напряжения
Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз возрастает перемещение упругого элемента за счет удара по сравнению со статическим перемещением.,
Существенно: напряжения в теле возрастают пропорционально sд = кдsСТ= кдтg/A
Динамические напряжения, таким образом, зависят от кинетической энергии
Понятие статической неопределимости
Из математики известно, что неизвестные, входящие в уравнения, можно определить, если их число равно числу независимых уравнений
Система сил, для которой все реакции опор определяются с помощью уравнений равновесия, а затем могут быть найдены силовые факторы, называются статически определимыми. Статически неопределимыми называются системы, в которых для определения реакций опор и (или) внутренних силовых факторов недостаточно уравнений равновесия.
Разность между числом неизвестных ( реакций опор и внутренних силовых факторов) называется степенью (числом) статической неопределимости. Она равна числу дополнительных связей, наложенных на систему для устранения подвижности тел, например, стержней.
Дополнительные связи определяют число недостающих уравнений для определения всех неизвестных усилий.