- •Математический анализ (Часть I): задания для контрольной работы
- •Введение Правила оформления контрольной работы
- •Пределы
- •Исследование функции на непрерывность
- •Производная функции
- •Производные высших порядков
- •Вычисление пределов функции по правилу Лопиталя
- •Исследование функций и построение их графиков
- •Неопределённый интеграл
- •Определённый и несобственный интегралы
- •Задания с экономическим содержанием
- •Образцы решения заданий контрольной работы
- •Библиографический список
Определённый и несобственный интегралы
Задание 45. Вычислить определённый интеграл.
Задание 46. Вычислить определённый интеграл.
Задание 47. Найти несобственный интеграл или доказать, что он расходится.
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
а) ,
б) .
Задания с экономическим содержанием
Указание: вместо n подставить номер вашего варианта.
Задание 48. Функции спроса и предложения на некоторый товар на рынке описываются зависимостями вида: .
Найти:
наибольшую равновесную цену ;
пределы отношений спроса и предложения, характеризующие различные изменения ситуации на рынке:
; ; ; ;
эластичность спроса на товар в точке равновесной цены .
Задание 49. Пусть количество реализованного товара, при этом функции затрат и дохода описываются зависимостями вида:
.
Определить:
средние и предельные издержки при ;
найти максимум прибыли: .
Задание 50. В моделях потребительского спроса используются функции Торнквиста, моделирующие связь между величиной дохода (Q) и величиной спроса потребителей (S). Рассмотрим функцию Торнквиста, моделирующую спрос потребителей на предметы роскоши: .
Провести полное исследование этой функции и построить её график.
Провести экономическую интерпретацию результатов.
Задание 51. Пусть количество реализованного товара, функция предельных издержек имеет вид: .
Найти аналитический вид функции средних издержек.
Определить величину средних издержек при изменении на отрезке [10;20].
Образцы решения заданий контрольной работы
Задание 1. Доказать, что , указать .
Доказательство:
Согласно определению предела числовой последовательности необходимо для любого найти номер такой, что при любых выполнялось неравенство .
Рассмотрим модель .
Так как можно записать цепочку неравенств .
То есть, поскольку нам не требуется найти наименьшее , можно записать , откуда и в этом случае — целая часть числа .
Итак, получается, что при выполнено неравенство , что и требовалось доказать.
Задание 2. Вычислить предел числовой последовательности .
Решение:
.
Для раскрытия неопределённости данного вида преобразуем выражения, стоящие под знаками пределов, поделив и числитель, и знаменатель на наибольшую степень . Для этого сначала определим наибольшую степень числителя, а затем знаменателя.
Для числителя имеем: ~ и ~ , следовательно, получим , а для знаменателя — ~ , т. е. тоже .
Поделим и числитель, и знаменатель на :
.
Следовательно, .
Задание 3. Вычислить предел числовой последовательности .
Решение:
Заметим, что , а , поэтому
Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела .
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:
Итак, .
Задание 4. Вычислить предел функции .
Решение:
.
Задание 5. Вычислить предел: .
Решение:
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на множители. Заметим, что . Так как при , значит, делится на .
Поделим «столбиком» многочлен на двучлен :
_ |
|
|
|
|
|
|
||
_ |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Следовательно,
Задание 6. Вычислить предел функции .
Решение:
Задание 7. Вычислить предел функции
Решение:
Задание 8. Вычислить предел функции .
Решение:
.
Задание 9. Вычислить предел функции .
Решение:
.
Раскроем эту неопределенность, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю и преобразуем результат:
.
Задание 10. Вычислить предел функции .
Решение:
Заметим, что , а , поэтому
Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела .
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:
Итак, .
Задание 11. Вычислить предел функции .
Решение:
Заметим, что , а , поэтому искомый предел равен , т. е. .
Задание 12. Вычислить предел функции .
Решение:
Воспользуемся первым замечательным пределом .
Имеем: .
Задание 13. Исследовать функцию на непрерывность.
Решение:
Поскольку элементарные функции непрерывны, то данная функция непрерывна всюду за исключением, быть может, двух точек: и .
Исследуем функцию на непрерывность в этих точках.
Для этого найдем пределы функции в точках и слева и справа:
, значит .
Найдем .
, т. е. , следовательно, функция непрерывна в точке .
, следовательно, в точке функция терпит разрыв.
Таким образом, исходная функция непрерывна всюду кроме точки , которая является точкой разрыва первого рода.
Задание 14. Исследовать на непрерывность функцию в точках и .
Решение:
Легко видеть, что при , таким образом, в точке данная функция непрерывна, а в точке функция неопределенна.
Найдем левый и правый пределы функции в этой точке:
значит, точка является точкой разрыва функции, а поскольку один из пределов бесконечен, то эта точка разрыва второго рода.
Задание 15.1 Найти производную функции .
Решение:
.
Задание 16. Найти производную функции .
Решение:
.
Задание 17. Найти производную функции .
Решение:
Задание 18. Найти производную функции .
Решение:
Задание 19. Для функции и вычислить .
Решение:
Задание 20. Найти производную n-го порядка функции .
Решение:
;
;
; и т. д.
Исходя из полученного, можно выявить следующую закономерность: .
Задание 21.2 Вычислить предел .
Решение:
Задание 22. Вычислить предел .
Решение:
Задание 23. Вычислить предел .
Решение:
, т. е. сразу правило Лопиталя применить нельзя.
Путём тождественных преобразований выражения, стоящего под знаком предела, сначала сведём неопределённость вида к неопределённости вида :
Задание 24. Вычислить предел .
Решение:
Задание 25. Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение:
.
Так как область определения не симметрична относительно нуля, то функция является функцией общего вида.
Нули функции: .
Пересечений с осью ординат нет, так как .
Найдём асимптоты:
Вертикальная асимптота: . Исследуем поведение функции вблизи асимптоты справа. Для этого найдем предел:
.
Наклонные асимптоты:
, т. е. наклонных асимптот нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Найдем экстремумы функции:
.
Рис. 1.
Из рис. 1 следует, что — точка максимума, а — точка минимума.
, .
Найдем точки перегиба:
. См. рис. 2.
Рис. 2.
— ордината точки перегиба.
Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.
Точка перегиба
График данной функции представлен на рис. 5.
Рис. 5.
Задание 26. Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение:
. В точке знаменатель данной функции обращается в ноль, следовательно функция в ней не определена — терпит разрыв.
и , следовательно функция общего вида.
, следовательно функция непериодическая.
Нули функции: при .
Найдем асимптоты данной функции:
Вертикальная асимптота: и , отсюда следует, что существует вертикальная асимптота .
Наклонная асимптота находится по формуле: . Так как ; , то уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид: .
Горизонтальных асимптот нет, так как .
Найдем экстремумы функции:
, значит , и — стационарные точки I рода.
— точка локального максимума, и , а точке экстремума нет, так как в ней функция терпит разрыв. Смотрите рис. 6.
Рис. 6.
Найдём точки перегиба:
, значит и — стационарные II рода.
В точке функция имеет перегиб. Ордината точки перегиба — . Смотрите рис. 7.
Рис. 7.
Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.
Точка разрыва
Точка перегиба
График данной функции представлен на рис. 8.
Рис. 8.
Задание 27. Найти наименьшее и наибольше значения функции на отрезке .
Решение:
. Имеем , так как .
для поиска экстремумов необходимо найти:
Задание 28. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
Задание 29. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
Воспользуемся методом замены:
Задание 30. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Заметим, что приведенное решение наглядно демонстрирует метод замены, но слишком «громоздко». Запись решения можно упростить, если воспользоваться очевидным выражением . С помощью этого равенства можно «заносить» необходимый множитель под знак дифференциала (См. Приложение).
Продемонстрируем эту идею на примере:
Задание 31. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 32. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 33. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 34. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
Заметим, что , следовательно,
Задание 35. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 36. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 37. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 38. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
Задание 39. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 40. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 41. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 42. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 43. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла — выделим у неё целую часть, поделив числитель на знаменатель «уголком»:
_ |
|
|
|
|
|
|
||
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Далее разложим знаменатель полученной дроби на множители. Для этого будем искать возможные корни знаменателя методом подбора среди делителей свободного члена. Очевидно, что таким корнем будет , т. к. при знаменатель данной дроби обращается в ноль. Поделим знаменатель на :
_ |
|
|
|
|
|
|
||
_ |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, и тогда
.
.
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений, которая в некоторых случаях может оказаться достаточно громоздкой, применяют, так называемый, «метод произвольных значений», суть которого состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений . Для упрощения вычислений в качестве произвольных значений принято принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т. е. в нашем случае — , и .
В итоге получим следующую систему уравнений: .
Корнями этой системы будут: , , и .
Окончательно получаем, что
Задание 44. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 45. Вычислить определенный интеграл .
Решение:
Задание 46. Вычислить определенный интеграл .
Решение:
.
Задание 47. Найти несобственный интеграл или доказать, что он расходится: a) ; б) .
Решение:
, т. е. данный интеграл расходится;
, значит данный интеграл сходится.
Приложение
Правила дифференцирования
, — константа;
;
;
;
;
, если и ;
, если и ;
.
Формулы дифференцирования
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Формулы занесения «под знак дифференциала»
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Таблица основных интегралов
;
, при ;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.