Лекция 5

2. Приближенные методы

2.1 Метод конечных разностей

Очень часто точное решение в силу переменности поперечного сечения получить не представляется возможным. Рассмотрим один из наиболее употребительных приближенных методов – метод конечных разностей.

Область определения задачи разбивается на m равных участков с шагом h [2] (рис. 14), причем .

Рис.14. К понятию о конечных разностях

Первые производные в конечно-разностной форме имеют вид:

Вторая производная:

.

Уравнение упругого равновесия (5) в конечно-разностной форме принимает вид:

. (24)

Алгоритм решения задачи в конечных разностях:

1. Дифференциальное уравнение в конечных разностях (24) записывается для всех внутренних точек стержня.

2. Учитываются геометрические и статические граничные условия.

3. Решается система алгебраических уравнений, в результате получается массив узловых перемещений.

4. Осуществляется переход от поля перемещений к усилиям.

Покажем на примерах процесс решения. Дифференциальное уравнение упругого равновесия (5) записывается в конечно-разностной форме

. (25)

В правой части введено обозначение

. (26)

Здесь

, (27)

где m – число участков (в нашем случае m=4), на которые разбивается область решения (длина стержня l). Конечноразностные уравнения (25) записываются для внутренних точек стержня. Для варианта А такими точками являются точки 2,3,4 (рис. 15).

Рис.15. Узловые точки для варианта граничных условий А

Система уравнений для внутренних точек запишется так:

(28)

Учет однородных геометрических граничных условий (u₁=u₅=0) приводит к системе трех алгебраических уравнений

(29)

решение которых удобно получать способом Крамера. Определители третьего порядка удобно получать путем разложения по элементам строки или столбца, имеющих нулевой элемент, как это показано для Δ (остальные определители находятся аналогично).

Находим значения узловых перемещений, раскрывая  и приводя их к размерности точного решения.

Следует помнить, что запись дифференциального уравнения в конечноразностной форме означает линейную аппроксимацию поля перемещений между узловыми точками. Переход от перемещений к усилиям осуществляется с помощью конечноразностного соотношения

. (10)

Так как функция перемещений в этом случае кусочно – линейная, то усилие, выражающееся через первую производную от перемещения, будет изображаться кусочно – постоянной функцией.

Рисунок 16. Изменение перемещения по длине стержня

Рис. 17. Изменение продольного усилия по длине стержня

Узловые значения перемещений совпадают со значениями, полученными в точном решении. Значения продольной силы значительно отличаются и по значениям, и по виду графика. Это объясняется тем, что принятые выражения для производных подразумевают линейную аппроксимацию поля перемещений в пределах шага разбиения. Очевидно, что при увеличении числа точек результаты будут ближе к точным.

Для улучшения результатов по N без увеличения числа участков можно воспользоваться дифференцирующей матрицей.

Рисунок 17

Примем квадратичную интерполяцию для u^*(x):

(15)

Запишем значения интерполяционного полинома в узловых точках

(16)

Система для определения коэффициентов интерполяции в табличном виде запишется так:

Таблица 5

		П.ч.

Найдем коэффициенты, используя метод Крамера:

Внесем полученные коэффициенты в выражение для

(18)

Возьмем первую производную:

(19)

Таким образом, для трех точек:

где (20)

(21)

Используем дифференцирующую матрицу для нашей задачи:

(22)

В развернутом виде:

(23)

Рисунок 18

Полное совпадение результатов с точным решением объясняется тем, что разрешающее дифференциальное уравнение имеет квадратичное решение, то есть совпадает по порядку с порядком аппроксимирующей функции.

Рассмотрим смешанные граничные условия. При x=0 остается, как и прежде, u(0)=u₀=0. На правом торце N(l)=0, а значит В конечно-разностной форме это выражение имеет вид:

Cистема уравнений для этого случая запишется так:

Исключая неизвестные, выполним прямой ход снизу:

Выполним обратный ход: