Лекция 5
2.4 Метод наименьших квадратов
В методе наименьших квадратов мы имеем дело с функционалом, содержащим интеграл квадрата невязки
(43)
который после внесения в него аппроксимирующей функции в нашем случае приобретает вид:
(44)
Раскрывая подинтегральное выражение, получаем:
или после взятия интеграла:
(45)
Условие минимума или стационарности функционала
(46)
приводим к соотношению
(47)
откуда получаем выражение для параметров:
(48)
Решения, полученные с помощью методов Бубнова-Галеркина, Ритца-Тимошенко и наименьших квадратов при одних и тех же аппроксимирующих функциях полностью совпадают.
Лекция 6
2.5 Метод конечных элементов
В методе конечных элементов стержень разбивается на n элементов.
Рисунок 20
На
рисунке 20 x
– глобальная координата;
– глобальная нумерация узловых
перемещений (
– глобальная нумерация узлов).
Рассмотрим k-ый конечный элемент (рисунок 21).
Рисунок 21
На
рисунке 21 S
– локальная координата;
– локальная нумерация узловых перемещений
(1,2 – глобальная нумерация узлов).
В пределах каждого конечного элемента функцию перемещения и нагрузки представляем в виде:
(48)
Для
определения параметров
имеем следующие условия:
(49)
Из этого условия получаем
(50)
Выражения (48) с учетом (50) приобретают вид:
(51)
Обозначим
и
назовем
и
функциями формы (очевидно, что
),
тогда
(52)
Здесь: матрица-строка функций форм
вектор узловых перемещений и вектор узловых значений нагрузки конечного элемента соответственно
Запишем функционал энергии стержня:
(53)
Поскольку
то
(54)
Условие минимума или стационарности функционала:
Для конечного элемента
поэтому
(56)
Раскроем выражения, входящие в (56) с учетом (52):
(57)
Обозначив для компактности
перепишем (57)
и внесем в (56)
(58)
Введем обозначения:
(59)
- матрица жесткости конечного элемента;
(60)
матрица преобразования, причем
(61)
- грузовой вектор конечного элемента.
С учетом введенных обозначений
(62)
Для всей системы (стержня) после суммирования методом прямой жесткости
(63)
где [k] – матрица жесткости стержня;
{V} – вектор узловых перемещений стержня;
{R} – грузовой вектор стержня.
Вычислим
значения
и
:
Таким образом, матрица жесткости элемента
(64)
и матрица преобразования элемента
(65)
Решим конкретный пример (рисунок 22).
Рисунок 22
Сформируем матрицу [k] и вектор {R} методом прямой жесткости.
Запишем систему уравнений.
Учтем
граничные условия
Из приведенного изменения системы ясно, что нулевые граничные условия (геометрические) учитываются путем обнуления элементов строки и столбца, стоящих на пересечении элемента – множителя при нулевом перемещении (сам элемент – множитель не обнуляется), и соответствующего элемента грузового вектора.
Фактически получена система
которая уже решалась в методе конечных разностей и имеет следующее решение:
Вектор узловых перемещений, полученный в результате решения системы, имеет вид:
Переход от перемещений к внутренним усилиям в методе конечных элементов осуществляется с помощью матрицы жесткости элемента, то есть
(66)
где матрица-столбец внутренних усилий
[L] - матрица преобразования.
Рисунок 23
Так как направления узловых реакций конечного элемента (рисунок 23,а)
и положительные направления внутренних сил (рисунок 23,б) не совпадают, то матрица преобразования имеет вид:
Первый элемент:
Второй элемент:
Третий элемент:
Четвертый элемент:
Решение полностью совпадет с решением, полученным ранее методом конечных разностей.
В силу универсальности алгоритма в настоящее время предпочтение отдается именно методу конечных элементов.
Литература
Ю. И. Неймарк. Математические модели в естествознании и технике. Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского. 2004.