1 Матрицы. Операции над матр.

Матрица-это табл. чисел состоящая из n строк и m столбцов

m=n – квадратичная матр

1 по глав диагонали, остальные 0 – единичная матр (Е)

Все 0 – нулевая матр

Сложение а) a+b=c

Суммой а и b одинаковой размерности, с той же размерности. Все элементы с получаются сложением.

Умножение на число б) A*B=C

Число столбцов А = числу строк B

Умножение столбца на строку

A*E=E*A=A

A*B≠B*A – перестановочная матрица

2 Определители. Св-ва определ.

|A|=▲A=det A=▲

a)|a|=

второго порядка б)|a b c d|=ab-bc

минор элемента M - определитель второго порядка из опред с вычерк-ой строкой и столбцом.

A

Третьего порядка в) сумма произведений элементов 1ой строки на их алгебраическое дополнение

|A|=

1) не изменяются при замене местами строки и столбца

|a b c d|=|a c b d|

2)при перестановке любых двух строк знак на противоположений

3)опред с двумя одинаковими строчками = 0

4)общий множитель строки за скобку

|ka kb c d|=k|a b c d|

5)добавлять к какой-либо строке элемент какой-либо другой строки, умножений на произвольное одинаковое число

6)опред = сумме произведений элементов любой строки на их алгебр дополнение

3 Обратная матрица

Выполняет условие

одинакого порядка

а) |A|=0 – вырожденная матрица, у нее нет обратной

б) =1/|A|( )

проверка

4 Системы линейных уравнений.

Метод Крамера

Если определ ≠0 то система имеет решение

….=b1 …..=b2 ….=b3

▲1=|b1 a2 a3 b2…..|

▲2=|…| ▲3=|…|

5 Системы линейных уравнений.

Матричный Метод

При m=n и А≠0

А11=(…) А12=(…) ………

(А11 А21 А31 ….)

X=

X=1/|A|( А11 А21 А31 ….)(B1 B2B3)

6 Свободный вектор. Линейные операции

свободный вектор – множество всех равных между собой векторов

сложение векторов

св-ва. А) ассоциативность

(а+b)+с=а+(с+b)

Б) коммутативность

а+b=а+b правило парал-ма

в)нулевой вектор а+0=а

г) у любого а сущ обратний вектор –а а+(-а)=0

вычитание векторов

а-b=а+(-b)

умножение вектора на число

ηа=b

а) η=0 или а=0 b=0

б) η>0 направлены одинаково

в) η<0 противоположно

η(a+b)= ηа+bη (η+μ)a=ηa+μa μ(ηa)=η(μa)

7 линейная завис и независи векторов. Пространства

Линейная комбинация векторов а η1а1+η2а2+….+ηNаN

Если все η=0 то это тривиальная комбинация, но и нетрив комбин может =0

Система вектор наз линейно зависимой если есть нетривиал комбинац векторов =0 Лин независимой ≠0 тогда и только тогда, когда любая нетриви лин комб ≠0.

Векторное простр-множество вектор определен св-ми сложен и умножения.

Базис вектор простран – max линейно незав систем вектор,т е добавление хотябы одного превращает ее в линейно зависимую

Размерность(dim)- число векторов в базисе векторн пространства, т е k-dim

Vect 1 множество всех векторв лежащ на прямой

А) любой не нулев вектор линейно независим б)2 вектора –зависимы в)любой не нулев вектор это базис Vect 1 c размер 1

Vect 2 множество всех векторв лежащ на прямой

a) 2 вектора – независимы б) 3 вектора –зависимы г) любые 2 непаралел вектора на плоскости обрвзуют базис Vect 2

Vect 3 а) 3 вектор не на одной плоскости независим б)4 вектора – зависимую г)3 некомпланар вектора образуют базис dim=3

Ортонармиров базис – все его векторы имеют единичную длину и перпендикулярны.