- •Курс лекций по физике
- •3Й семестр
- •Колебания и волны
- •Механические и электромагнитные колебания Глава 17. Колебательные процессы §1. Гармонические колебания и их характеристики
- •§2. Кинематические характеристики гармонических колебаний и дифференциальное уравнение гармонических колебаний
- •Вопросы для повторения
- •§3. Энергия механических гармонических колебаний
- •§4. Гармонический осциллятор. Колебания пружинного, физического и математического маятников
- •1. Колебания пружинного маятника
- •2. Колебания математического маятника
- •3. Колебания физического маятника
- •§5. Фазовый портрет маятника. Адиабатический инвариант
- •Вопросы для повторения
- •§6. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре
- •§7. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение
- •1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника
- •2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре
- •§8. Дифференциальное уравнение вынужденных механических и электромагнитных колебаний и его решение
- •1) Механические колебания:
- •2) Электромагнитные колебания:
- •§9. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •Вопросы для повторения
- •§10. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •§11. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •Вопросы для повторения
- •Глава 18. Упругие волны §12. Волны. Плоская стационарная волна
- •§13. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость
- •§14. Принцип суперпозиции. Групповая скорость
- •§15. Стоячие волны
- •Глава 19. Электромагнитные волны §16. Экспериментальное получение электромагнитных волн
- •§17. Дифференциальное уравнение электромагнитных волн
- •§18. Энергия электромагнитной волны. Импульс электромагнитного поля
- •Вопросы для повторения
§2. Кинематические характеристики гармонических колебаний и дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Найдем скорость и ускорение, с которым совершается данный колебательный процесс:
|
. |
(2.1) |
|
, |
(2.2) |
амплитуда скорости , т.е. скорость изменяется от до .
|
. |
(2.3) |
|
, |
(2.4) |
амплитуда ускорения, т.е. ускорение изменяется от до
Сравнивая (2.1) и (1.1) и (2.3) и (1.1) видим, что фаза скоростb отличается от фазы величины S на /2, а фаза ускорения от фазы величины S на , т.е. когда S = 0 , скорость Vmax, когда S минимально, то аmax.
Построим графики зависимости , , (см. рисунки 2.1а, 2.1б, 2.1в).
Рис. 2.1.
Перепишем (2.3) так:
|
, |
(2.5) |
следовательно
|
. |
(2.6) |
Уравнение (2.6) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решением является уравнение (1.1) или (1.1).
Графически гармоническое колебание можно изобразить методом вращающегося вектора амплитуды или методом векторных диаграмм.
Рис. 2.2. Графическое изображение гармонического колебания методом вращающегося вектора амплитуды
Из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом о, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор , модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания. Этот вектор вращают относительно оси, проходящей через точку О с угловой скоростью о, равной циклической частоте колебаний.
|
. |
(2.7) |
Проекция конца вектора А будет перемещаться по оси х и принимать значения от + А до
–А, а колеблющаяся величина S будет изменяться с течением времени по закону: .
Т.е. гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из некоторой произвольной точки О под углом о, и вращающегося со скоростью о вокруг этой оси.
Другой способ – представим колеблющуюся величину комплексным числом, по формуле Эйлера:
|
, |
(2.8) |
где – мнимая единица/
Любое комплексное число ; ; tg = y / x , где – модуль комплексного числа.
Тогда уравнение (1.1) запишем в комплексном виде:
|
. |
(2.9) |
В декартовой системе координат действительная часть комплексного числа откладывается по оси абсцисс, а мнимая по оси ординат.
Вещественная часть выражения (2.7)
|
. |
(2.10) |
или
|
. |
(2.9) |
В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина S равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве (2.8) справа.
Вопросы для повторения
Что такое: колебания, свободные колебания, гармонические колебания?
Дайте определения: амплитуды, фазы, начальной фазы, периода, частоты, циклической частоты колебания.
Какова связь амплитуды и фазы смещения, скорости и ускорения при гармонических прямолинейных колебаниях?
От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических колебаний?