Вопросы для повторения

1. Что называется:

2. гармоническим осциллятором?

3. Пружинным, физическим, математическим, маятником?

4. Приведенной длиной физического маятника, центром качений?

5. фазовым пространством системы?

6. Выведите и прокомментируйте формулы для расчета периода колебаний: а) пружинного, математического, физического маятников.

7. Выведите формулу:

а) связи между циклической частотой и коэффициентом жесткости пружины;

б) для расчета потенциальной энергии пружинного маятника;

в) вращающего момента, вращающей силы для динамического маятника;

г) для расчета приведенной длины физического маятника,

д) адиабатического инварианта.

§6. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре

Колебания, при которых электрические величины (заряды, токи, электрическое поле, магнитное поле) изменяются периодически, называются электромагнитные колебания.

Электромагнитные колебания сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного поля.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используются определенные системы.

Простейшей такой системой является колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора, емкостью С, и резистора, сопротивлением R.

Пусть R  0 ; тогда колебательный контур – идеализирован.

Рис.6.1. Идеализированный колебательный контур.

Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±q. Тогда в начальный момент времени t=0 (рис.6.1 а) между обкладками конденсатора возникает электрическое поле, энергия которого равна W_эп= Q² / 2C. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности , он начнёт разряжаться, и в контуре потечёт возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (W_мп= L / 2 ) – возрастать.

Т.к. R=0, то согласно закону сохранения энергии, полная энергия

,

(6.1)

т.к. она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент времени t=T/4, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля, а следовательно и ток, достигает наибольшего значения (см. рис. 6.2 б). Начиная с этого момента времени ток в контуре будет убывать, следовательно, магнитное поле катушки начнет ослабевать, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в конце концов обратиться в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (см. рис. 6.1.в). Далее процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 6.1.г) и система к моменту времени t=Т придёт в первоначальное состояние (рис. 6.1а).

После этого начнётся повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если потерь энергии нет, то в контуре совершаются периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменяются (колеблются) заряд q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Электрические колебания, возникшие в контуре, сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей. Электрические колебания в простейшем колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями математического маятника (рис. 6.2.а, 6.2.б,6.2.в, 6.2 г), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника.

Аналогично с механическими колебаниями:

Рис.6.2

Потенциальная энергия маятника играет такую же роль как энергия электрического поля конденсатора, а кинетическая энергия маятника - энергия магнитного поля катушки:

х	g
V	Iконд.
Iинерц. маятн	Lкат.
Fтр	Rконтура

Пусть имеется контур состоящий из: L, R, C (рис. 6.3.).

Рис. 6.3. Простейший колебательный контур и его схематическое изображение.

По второму правилу Кирхгофа:

,

(6.2)

;

,

а

;

тогда имеем:

(6.3)

или

(6.4)

или

(6.5)

дифференциальное уравнение колебаний заряда в контуре

В данном контуре колебания являются свободными, так как внешние ЭДС отсутствуют.

Если R = 0 , то имеем уравнение гармонических колебаний:

(6.6)

Решением этого уравнения (6.6) является уравнение:

,

(6.7)

где Q_max – амплитуда колебаний заряда, _о – циклическая частота или собственная частота колебательного контура.

,

(6.8)

тогда

(6.9)

Формула (6.9) называется формулой Томпсона.

Сила тока в контуре:

	,	(6.10)
	,	(6.11)

амплитуда силы тока.

	,	(6.12)
	,	(6.13)

амплитуда напряжения.

Колебания тока опережают на /2 по фазе колебания заряда. Свободные электромагнитные колебания в контуре являются незатухающими. Когда ток достигает максимального значения, заряд и напряжение обращаются в ноль.