Основные формулы по теории вероятностей (часть 1)

Элементы комбинаторики
Число размещений без повторений (выборка отличается одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения) , 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720	Число сочетаний без повторений (одно размещение отличается от другого хотя бы одним элементом (только составом)) , ,	Число перестановок без повторений (одно размещение отличается от другого только порядком расположения элементов)
Число размещений с повторениями	Число сочетаний с повторениями	Число перестановок с повторениями , где

Вероятность события , противоположного событию 

Классическая вероятность - число исходов, благоприятствующих событию, - число всевозможных исходов

Геометрическая вероятность

Вероятность суммы
а) для произвольных событий ;	б) для несовместных событий
Вероятность произведения
а) для произвольных событий A и B:	б) если события A и В независимы:

Формула полной вероятности	Формулы Бейеса	Формула Бернулли ,
Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях np-q ≤ k0 ≤ np+p 1)если число np+p - дробное, то имеем одно наивероятнейшее число k0=[np+p], 2)если np+p-целое, то имеем два наивероятнейших числа: k0 = np-q и k0= np+p	Формула Пуассона (редких событий) (обычно при n≥5, a=np≤10)	Вероятность появления m событий простейшего потока за время t
Локальная теорема Муавра-Лапласа , где (когда число испытаний n велико, а вероятность p наступления события не близка к 0 (обычно npq10))	Функция Лапласа Нормированная функция Лапласа	Свойства нормированной функции Лапласа: 1)Нечётность ; 2)Монотонно возрастающая Ф0 (х); 3) Ф0 (0)=0 . На практике: если х5, полагаем что Ф0(х)1/2
Интегральная теорема Муавра-Лапласа , где (обычно npq20)	Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в n независимых испытаниях

Основные формулы по теории вероятностей (часть 2)

Дискретная с.в. X

Абсолютно-непрерывная с.в. X

1. Задан закон распределения

X	x1	x2	…	xk
P	p1	p2	…	pk

p_i≥0 и p₁+p₂+…+p_k=1

1. Задана плотность распределения p(x) (или f(x)):

2. Функция распределения (интегральный закон распределения): F(x)=P(X < x)

3. Свойства функции распределения F(x):

а) 0≤ F(x)≤1;

б) F(x) – монотонно возрастающая;

в) ;

г) F(x) – непрерывна слева

4)

4) ,

5) ;

6) ; ;

; ;

6)

Числовые характеристики

Математическое ожидание (среднее значение) M(X):

7) ;

7) ;

8) Свойства M(X):

1. M(C)=C (C-const);

2. M(CX)=CM(X) (C-const);

3. M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4. M(X·Y)=M(X)·M(Y), если X, Y – независимые с.в.

5. X≥YM(X)≥M(Y)

9) Дисперсия: D(X)=M[(X-M(X))²]; D(X)=M(X²)-(M(X))²

10)

10)

11) Свойства D(X):

1. D(X)≥0

2. D(C)=0 (C-const);

3. D(CX)=C²D(X) (C-const);

4. D(X±Y)=D(X)+D(Y) , если X, Y – независимые с.в.;

12) среднее квадратическое отклонение

13) Начальный момент s-го порядка с.в.X: m_s(X)=M(X^s)

14) Центральный момент порядка s с.в.X: _s(X)=M[(X-M(X))^s]

а) ₂(X)=m₂(X)-m₁²(X)

б) ₃(X)=m₃(X)-3m₁(X)m₂(X)+2m₁³(X)

в) ₄(X)=m₄(X)-4m₁(X)m₃(X)+6m₁²(X)m₂(X)-3m₁⁴(X)

15) Коэффициент асимметрии с.в.X:

16) Коэффициент эксцесса с.в X:

17) Ковариация с.в. ₁ и ₂ : cov(₁ , ₂)=M[(₁ -M₁)·(₂ -M₂)]; cov(₁ , ₂)=M(₁·₂)-M₁ ·M₂;

18) Коэффициент корреляции с.в. ₁ и ₂ :