Математическая статистика
Данные наблюдений представляются в виде дискретного статистического ряда:
варианты
|
|
|
… |
|
частоты
|
|
|
… |
|
Объём выборки:
Выборочное среднее (несмещённая оценка
математического ожидания):
Выборочная дисперсия (смещённая оценка дисперсии генеральной совокупности):
Выборочное среднее квадратическое
отклонение:
Исправленная выборочная дисперсия (несмещённая оценка дисперсии):
,
где
.
Исправленное выборочное среднее
квадратическое отклонение:
.
Выборочный коэффициент вариации:
(если коэффициент вариации высок (более
35%), то выборочная совокупность считается
неоднородной, следовательно,
использование среднего для её
характеристики является неверным. В
этом случае используют моду или медиану)
Нахождение доверительных интервалов
1. Найти доверительный интервал для
неизвестного математического ожидания
а случайной величины Х, распределенной
нормально, если известны объем выборки
n=30, выборочное
среднее
,
надежность
и среднее квадратическое отклонение
.
Построим доверительный интервал для
математического ожидания при неизвестном
параметре
.
Воспользуемся формулой:
.
Для заданных
и
найдем значение
(см. Приложение 1). Тогда получим интервал,
покрывающий
с надежностью 0,99:
.
2. Генеральная совокупность имеет
нормальное распределение, для которого
известно значение параметра
.
Найти наименьший объем выборки, при
котором доверительный интервал длиной
покрывает параметр а с надежностью
=0,95.
Доверительный интервал для математического
ожидания при известном параметре
определяется формулой:
или
,
где
.
По условию
,
значит,
.
Величину
найдем из уравнения
(см. таблицу значений функции Лапласа).
Тогда
.
Следовательно, наименьшим объемом
выборки будет
.
3. Найти доверительный интервал для
неизвестного среднего квадратического
отклонения
нормально распределенной случайной
величины Х, если известны объем выборки
n=20, надежность
и выборочная дисперсия
.
Доверительный интервал для неизвестного
среднего квадратического отклонения
определяется формулой:
.
Вычислим
,
тогда
.
Найдем величину
по известному
(см. Приложение 2):
.
Следовательно, интервал
является доверительным для параметра
с надежностью
.
Приложение 1. Таблица значений t = t(, n)
-
n
n
0,95
0,99
0,999
0,95
0,99
0,999
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
8,61
6,86
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,92
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120
2,093
2,064
2,045
2,032
2,023
2,016
2,009
2,001
1,996
1,991
1,987
1,984
1,980
1,960
2,861
2,797
2,756
2,720
2,708
2,692
2,679
2,662
2,649
2,640
2,633
2,627
2,617
2,576
3,883
3,745
3,659
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3,439
3,418
3,403
3,392
3,374
3,291
Приложение 2. Таблица значений
)
-
n
g
n
g
0,95
0,99
0,999
0,95
0,99
0,999
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1,37
1,09
0,92
0,80
0,71
0,65
0,59
0,55
0,52
0,48
0,46
0,44
0,42
0,40
0,39
2,67
2,01
1,62
1,38
1,20
1,08
0,98
0,90
0,83
0,78
0,73
0,70
0,66
0,63
0,60
5,64
3,88
2,98
2,42
2,06
1,80
1,60
1,45
1,33
1,23
1,15
1,07
1,01
0,96
0,92
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
150
200
250
0,37
0,32
0,28
0,26
0,24
0,22
0,21
0,188
0,174
0,161
0,151
0,143
0,115
0,099
0,089
0,58
0,49
0,43
0,38
0,35
0,32
0,30
0,269
0,245
0,226
0,211
0,198
0,160
0,136
0,120
0,88
0,73
0,63
0,56
0,50
0,46
0,43
0,38
0,34
0,31
0,29
0,27
0,211
0,185
0,162