Xlvi Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. Возможные решения задач

10 Класс

Задача 1. Падение с отскоком.

Первую часть полета тело преодолеет за время

. (1)

В момент отскока тело приобретает горизонтальную составляющую скорости, но зато полностью теряет вертикальную компоненту. С высоты h тело падает уже без начальной скорости. Таким образом, время падения на втором участке:

. (2)

Тогда общее время падения:

. (3)

Обозначим . После возведения уравнения (3) в квадрат, вычисление максимума функции (3) сводится к нахождению максимального значения квадратичной функции (подкоренного выражения.):

, (4)

которое, очевидно, лежит ровно посередине между корнями уравнения и . Таким образом, получим искомый ответ .

Критерии оценивания решения:

Обоснование потери вертикальной составляющей скорости

при отскоке - 2 балла.

Получение формулы для времени падения тела (3) - 4 балла.

Нахождение максимального значения функции (3)

и получение окончательного результата - 4 балла.

Задача 2. Кресло на льду.

Поскольку кинетическая энергия кресла при ударе не теряется, то для того, чтобы кресло перевернулось, его кинетическая энергия перед ударом о препятствие должна быть не меньше , где и - высота центра тяжести кресла до и во время переворачивания. Запишем закон сохранения энергии:

или расписывая слагаемые подробно:

. (1)

Выразим из формулы (1) начальную скорость кресла:

. (2)

Найдём далее разность высот во время и до переворачивания. Удобно рассматривать кресло в виде двух тел – квадрата со стороной 0.5 м и прямоугольника со сторонами 1 м и 0.1 м (см. рисунок в условии задачи). Для расчета центра тяжести кресла расположим начало координат в правом нижнем углу фигуры. Тогда координаты и центра масс определятся из следующих формул:

м², м², (3)

где и - площади фигур. Тогда

. (4)

Конечная формула для расчета скорости принимает вид:

м/с (5)

Критерии оценивания решения:

Запись закона сохранения энергии (1) - 2 балла.

Получение расчетной формулы для начальной скорости кресла (2) - 2 балла.

Разбиение формы кресла на два тела и расчет точки центра масс (3) - 4 балла.

Получение численого результата для начальной скорости кресла (5) - 2 балла.

Задача 3. Как измерить длину нити маятника?

Прикрепим груз к веревке и подвесим получившийся маятник так, чтобы точки подвеса маятников находились примерно на одной вертикальной линии. Отклоним наш маятник и отпустим в момент, когда исходный маятник находится в точке максимального отклонения от положения равновесия. Таким образом, начальная фаза колебаний обоих маятников будет совпадать. Со временем маятник с меньшим периодом колебаний будет обгонять другой маятник по фазе. Однако, в какой-то момент колебания снова совпадут по фазе. Пусть, для определенности, маятником с большим периодом оказался маятник, который мы сделали сами. Очевидно, что к моменту повторного совпадения фаз первый маятник совершит N колебаний, а второй – на единицу меньше. Поэтому можем записать:

, (1)

где и - периоды колебаний исходного и второго маятников. Из полученного выражения видно, что, зная период тестового маятников, а также число N , которое определяется экспериментально, можно определить период исходного маятника. Используя формулу для математического маятника, длина нити исходного маятника может быть рассчитана по следующей формуле:

. (2)

Здесь - длина нити второго маятника.

Критерии оценивания решения:

Идея сделать второй маятник и совместить начальные

фазы колебаний - 4 балла.

Получение соотношения периодов колебаний (1) - 4 балла.

Получение расчетной формулы (2) - 2 балла.

Задача 4. Опасный осколок.

Предположим, что порох сгорает полностью и происходит это достаточно быстро, чтобы пренебречь теплообменом между порохом и банкой. В этом случае можно полагать, что вся внутренняя энергия пороха переходит в механическую энергию осколков. Энергия, выделяющаяся при сгорании пороха, равна:

, (1)

где Q – калорийность пороха. Энергия (1) является источником для кинетической энергии осколков банки. Считая, что энергия равномерно распределяется по поверхности банки, осколку массой достанется соответствующая часть энергии. Скорость осколка в этом случае можно оценить как

м/c (2)

Данная оценка получена в предположении о мгновенном сгорании пороха, о полном сгорании пороха, об отсутствии теплообмена между порохом и банкой, о равномерном распределении кинетической энергии по поверхности стеклянной банки.

Критерии оценивания решения:

Запись формулы для энергии сгорания пороха - 2 балла.

Получение расчетной формулы и численного результата - 4 балла.

Обоснование сделанных допущений - 4 балла.

Задача 5. Чему равно сопротивление цепи?

Д ля решения задачи необходимо найти точки с одинаковым потенциалом. Эти точки находятся на оси симметрии системы (смотри рисунок, на котором ось обозначена штриховой линией). Таким образом, потенциалы точек О, О₁ и О₂ равны друг другу. В соответсвии с правилом эти точки с равными потенциалами могут быть совмещены друг с другом. В результате рассматриваемая комбинация разобьется на два последовательно соединенных одинаковых участка, один из которых приведен на следующем рисунке. Сопротивление такого участка определяется уже без проблем:

(1)

Таким образом, искомое сопротивление всего квадрата есть

(2)

Критерии оценивания решения:

Построение эквивалентной схемы - 6 баллов.

Получение расчетной формулы (1) - 2 балла.

Получение численного результата (2) - 2 балла.