3. Рівняння математичної фізики

Довідковий матеріал

3. Задача Штурма-Лиувиля. Розглянемо крайову задачу

, (1)

(2)

Тут параметри задовольняють умовам потрібно знайти такі значення параметра , при яких існують відмінні від тотожного нуля (нетривіальні) розв’язки диференціального рівняння (1), які задовольняють краєвим умовам (2).

Ті значення параметра , при яких існує нетривіальний розв’язок задачі (1)–(2), називаються власними значеннями цієї крайової задачі, а відповідні їм нетривіальні розв’язки – власними функціями.

Властивості власних значень та власних функцій

1. Існує зчисленнамножина власних значень

при ,

яким відповідають власні функції

2. Власні функції на відрізку , які відповідають різним значення параметра , ортогональні з вагою :

3. Теорема Стеблова. Всяка функція , яка задовольняє краєвим умовам (2) і, яка має неперервну першу похідну та частинну-неперервну другу похідну, розкладається в ряд, що абсолютно і рівномірно збігається, за власними функціями :

Для прикладу розв’яжемо наступну задачу. Знайти в заданій області відмінні від тотожного нуля розв’язки диференціального рівняння, яке задовольняє заданим краєвим умовам:

(3)

(4)

Розглянемо три випадки.

1. . Загальний розв’язок рівняння (3) має вид:

З умови знаходимо

З умови отримаємо , т. б. ;

2. Загальний розв’язок рівняння (3) має вид: Умови (4) приводять до того, що т. б. ;

3. Загальний розв’язок рівняння (3) має вид:

З умов отримаємо ;

Умова приводить до рівняння Так як і то звідки отримуємо: ; таким чином, власні значення задачі (3)–(4) рівні , власні функції –

2. Зведення до канонічного виду лінійних рівнянь з частинними похідними другого порядку у випадку двох незалежних змінних. Загальне лінійне рівняння з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними має вид:

(5)

де – задані функції змінних х, у. Воно належить до еліптичного типу в точці (х, у), якщо належить до гіперболічного типу в точці (х, у), якщо і належить до параболічного типу в точці (х, у), якщо

Рівняння

(6)

називається рівнянням характеристик для рівняння (5), а крайові, визначаються співвідношенням де  – розв’язок рівняння (6), називаються характеристиками рівняння (5).

Рівняння (6) еквівалентно двом рівнянням

(7)

(8)

Для рівняння гіперболічного типу загальні інтеграли і рівнянь (7) та (8) дійсні та різні; вони визначають два різних сімейства дійсних характеристик рівняння (5). Заміна приводить рівняння (5) до канонічного виду:

.

Якщо рівняння належить до параболічного типу, то рівняння (7) і (8) співпадають, загальний інтеграл визначає одне сімейство дійсних характеристик рівняння (5). Заміна , де - довільна, двічі неперервно диференційована функція, яка задовольняє умові у області, що розглядається, приводить рівняння до канонічного виду:

Для рівняння еліптичного типу загальні інтеграли рівнянь (7) і (8) є комплексно-спряженими. Вони визначають два сімейства уявних характеристик.

Нехай – загальний інтеграл рівняння (7). Тоді заміна приводить рівняння (5) до наступного канонічного виду:

Зауваження. У деяких випадках канонічне рівняння дозволяє без труда знайти загальний розв’язок заданого рівняння.

Наприклад, рівняння заміною приводиться до канонічного виду . Його загальний розв’язок задається формулою:

отже, загальний розв’язок даного рівняння може бути записаний у вигляді

де - довільні двічі неперервно диференційовані функції.

3. Метод розділення змінних. Розглянемо використання цього методу до розв’язків рівнянь різних типів.

Еліптичні рівняння

1. Задача Діріхле для рівняння Лапласа крузі радіуса R:

де – полярні координати точки ; – задана функція.

В полярних координатах рівняння Лапласа має вид

(9)

Розв’язок цього рівняння будемо шукати в вигляді

(10)

Підставляючи вираз (10) в (9), отримаємо

або

З останнього співвідношення для знаходження функцій і отримаємо звичайне диференціальне рівняння

(11)

(12)

Із очевидної рівності слідує, що з рівняння (11) знаходимо і

Загальний розв’язок рівняння (12) має вигляд

при при

Через обмеженість розв’язку у центрі круга маємо т. б.

при при

Розв’язок задачі Дирихле шукається у вигляді

де коефіцієнти визначається за формулами:

Зауваження. Розв’язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа у кільці шукається у вигляді

Коефіцієнти визначаються із граничних умов.

2. Задача Діріхле для рівняння Лапласа у кулі радіуса R:

Тут – сферичні координати точки – задана функція.

Частинні розв’язки рівняння Лапласа, записаного в сферичних координатах

(13)

будемо шукати у вигляді Підставляючи їх в (13), отримуємо рівняння

(14)

(15)

Будемо шукати розв’язки рівняння (15) у вигляді . З урахуванням співвідношення отримаємо:

(16)

(17)

Із (16) маємо

Поклавши в (17) і позначаючи , отримаємо

Це рівняння має обмежені на відрізку розв’язки тоді і тільки тоді, коли , і цими розв’язками є функції

де – поліноми Лежандра;

Таким чином ми знаходимо частинні розв’язки рівняння (15):

і загальний розв’язок рівняння (14) при

Отже, шукані частинні розв’язки рівняння (13) можуть бути представлені у вигляді:

Розв’язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа у кулі потрібно шукати у вигляді:

де визначаються через коефіцієнти розкладання функції

Зауваження 1. розв’язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа в кульовому шарі слідує шукати у вигляді:

Коефіцієнти визначаються з граничних умов.

Якщо граничні функції не залежать від кута , т. б. , то відповідні формули спрощуються: – у випадку кулі, де – у випадку кульового шару.

Коефіцієнти визначаються з граничних умов.

Зауваження 2. Метод розподілу змінних, застосований до рівняння Гельмгольца в кулі, приводить до розв’язку рівняння

яке змінною зводиться до рівняння Бесселя

Зауваження 3 . Рівняння Пуассона заміною , де - частинний розв’язок рівняння Пуассона, зводиться до рівняння Лапласа