Гіперболічні рівняння

А. Перша змішана задача для хвильового рівняння в області , , :

Тут символом позначена границя області . Спочатку шукаємо частинні розв’язком рівняння (18), відмінні від тотожного нуля і задовольняючі умовам (20) у вигляді

(21)

Підставляючи вираз (21) у (18), отримуємо

(22)

,

Таким чином отримана задача Штурма – Ліувілля

,

Розв’язуючи її, знаходимо частинні значення і особисті функції . Загальний розв’язок рівняння (22) знайдемо, підставляючи в нього замість

Шуканий розв’язок задачі (18)-(20) має вигляд

; .

Б. Перша змішана задача для хвильового рівняння на відрізку :

, , , , .

Її розв’язок знаходиться у вигляді

,

де ,

В. Змішана задача для хвильового рівняння в прямокутнику :

Розв’язок задачі знаходиться за формулою

де ; .

; .

Г. Перша змішана задача для хвильового рівняння в колі (випадок осьової симетрії )

,

Розв’язок цієї задачі має вигляд

,

де - додатні корені рівняння ( - функція Бесселя першого роду нульового порядку).

, ,

- функція Бесселя першого роду -го порядку.

Коефіцієнти і знаходяться по формулі

, ,

, .

Параболічні рівняння

А. Перша змішана задача для рівняння теплопровідності на відрізку

, , , .

Використовуючи метод розділу змінних, розв’язок задачі знаходимо у вигляді:

.

де .

Б. Перша змішана задача для рівняння теплопровідності в колі радіуса (випадок осьової симетрії)

, ,

Розв’язок задачі знаходиться по формулі

,

де

3.4 Задача Коші для нестаціонарних рівнянь. Задача Коші для гіперболічного рівняння ставиться наступним чином:

, , .

Тут . Розв’язок цієї задачі виражається

при формулою Пуассона:

при формулою Кіргофа :

Розв’язок задачі Коші для параболічного рівняння

, ,

Виражається формулою Пуассона

Теоретичні питання

1. Класифікація рівнянь з частинні похідні другого порядку у випадку двох змінних . Характеристики.

2. Основні рівняння. Постановка основних задач: Задача Коші, крайові задачі, змішані задачі.

3. Поняття коректної задачі. Коректність постановок основних задач математичної фізики. Приклад Адамара.

4. Задача Коші для хвильового рівняння. Формула Даламбера, Пуассона, Кіргофа, Принцип Гюйгенса.

5. Задача Коші для неоднорідного хвильового рівняння . Принцип Дюамеля.

6. Рівняння Лапласа і Пуассона. Формула Гріна. Основні властивості гармонічних функцій.

7. Функція Гріна . Формула Гріна для кола і кулі.

8. Застосування функції Гріна до розв’язку крайових задач .

9. Рівняння параболічного типу. Принцип максимуму.

10. Метод розділу змінних розв’язку крайових задач. Задача Штурма - Ліувілля .

11. Метод розділу змінних розв’язку змішаних задач.

Теоретичні вправи

1. Знайти статичний прогин струни, закріпленої на кінцях, під дією безперервно розподіленої нагрузки.

2. Довести, що рівняння з постійними коефіцієнтами заміною приводиться до вигляду .

3. Довести, що загальний розв’язок рівняння має вид , де і - довільні, двічі безперервно про диференційовані функції .

4. Нехай функція є розв’язком задачі Коші

,

Довести, що функція є розв’язком задачі Коші , , .

5. Довести, що функція при кожному є розв’язком задачі Коші , , тоді і тільки тоді , коли функція при кожному є розв’язком задачі Коші

,

6. Довести, що задача Гурса

Має звичайний розв’язок

7. Довести, що для розв’язку рівняння в області при граничних умовах функція

Зберігає постійне значення для всіх (закон збереження енергії)

8. Побудувати функцію Грана задачі Діріхле для рівняння Лапласа у на півпросторі

9. Довести, що для любої гармонічної в області функції класу має місце рівність , де - нормаль до .

10. Використовуючи розклад по параметру , отримати розв’язок з точністю до задачі Коші:

, , .

9