План

1. Вступ

2. Числові послідовності

   1. Поняття послідовності

   2. Загальний член послідовності

   3. Способи задання послідовності

3. Арифметична прогресія

   1. Поняття арифметичної прогресії

   2. Сума перших п членів арифметичної прогресії

4. Геометрична прогресія

   1. Поняття геометричної прогресії

   2. Сума перших п членів геометричної прогресії

5. Розв’язування вправ і задач на прогресії

6. Висновок

7. Список використаної літератури

1. Вступ

Російський математик С.Л. Соболєв сказав: «Є одна наука, без якої неможлива ніяка інша. Це математика. Її поняття, уявлення та символи слугують тією мовою, якою говорять, пишуть і думають інші науки. Вона пояснює закономірність складних явищ, приводить їх до простих, елементарних явищ природи. Вона прогнозує, обчислює далеко вперед з великою точністю хід речей».

Одна з найцікавіших тем математики – прогресії. У перекладі з латинської слово прогресія означає рух уперед. Прогресії відомі здавна, а тому не можна сказати, хто їх відкрив. Адже і натуральний ряд 1, 2, 3, 4, … - це арифметична прогресія, в якої Під час розкопок у Єгипті було знайдено папірус, що датується 2000 р. до н.е., але і його було переписано з іншого, ще давнішого, віднесеного до третього тисячоліття до н.е. Учені розшифрували текст папірусу і прочитали кілька задач. Зміст деяких з них дає можливість віднести їх до задач на прогресії.

Про те, як давно була відома геометрична прогресія, свідчить і легенда про історію винайдення шахів.

Винахідник шахів попросив у нагороду за свій винахід стільки пшеничних зерен, скільки їх вийде, якщо на першу клітинку шахівниці покласти одну зернину, на другу – у два рази більше, тобто дві зернини і т.д. Ми маємо справу з геометричною прогресією, в якої а кількість членів 64.

Задачі на прогресії зустрічаються в одній з найдавніших пам’яток права – «Руській правді», укладеній ще за київського князя Ярослава Мудрого (ХІст.). Там є стаття, присвячена обчисленню приплоду від 22 овець за 12 років за умови, що кожна вівця щорічно приносить 1 вівцю і 2 барани.

Значна кількість задач на прогресії є в «Арифметиці» Л.Магницького (1703), що була основним математичним підручником у Росії протягом майже півстоліття.

Прогресії є відображенням світу, що нас оточує. Вони застосовуються в таких науках, як: фізика – під час вивчення тіл, що вільно падають чи рухаються рівноприскорено; економіка та банківська справа – під час виплати відсотків та надання кредитів; у техніці – під час виготовлення обладнання.

Сучасна шкільна програма пропонує цей розділ розглядати у 9-му класі. Передбачається спочатку дати загальне поняття послідовності, а вже потім детальніше розглянути арифметичну і геометричну прогресії.

2. Числові послідовності

2.1. Поняття послідовності

Як вводити поняття послідовності?

Починати пояснювати краще не з означення, а з конкретних прикладів:

- Напишемо натуральні числа в порядку їх зростання: 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7…

Це – послідовність натуральних чисел. А ось ще кілька прикладів:

• 2, 4, 6, 8, 10, 12, … - послідовність парних чисел;

• 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... - послідовність непарних чисел;

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... - послідовність простих чисел;

• … - послідовність чисел, обернених до натуральних;

• 1; 1,4; 1,41; ... - послідовність наближених значень .

Числа, що належать послідовності, називаються її членами. Наприклад, у послідовності парних чисел перший член 2, другий член - число 4, десятий член - число 20 і т. д. Членами числової послідовності можуть бути будь-які числа: цілі й дробові, додатні й від’ємні, раціональні й ірраціональні.

Чим відрізняється послідовність від множини? По-перше, тим, що для послідовності істотне значення має порядок її членів, а для множини він не має ніякого значення. Наприклад, множини

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} і {3, 7, 1, 9, 5, 4, 2, 8, 6}

однакові, а послідовності

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 і 3, 7, 1, 9, 5, 4, 2, 8, 6

різні. По-друге, вважають, що всі елементи множини різні, а послідовність може мати й однакові члени.

Приблизно так можна ввести поняття числової послідовності. Потім можна сказати, що послідовності бувають нескінченні й скінченні, останні ще називають кортежами. Бажано також дати поняття зростаючої і спадної послідовності. Іноді зростаючою називають таку числову послідовність, в якої кожний член, починаючи з певного місця, більший від попереднього [7, 6]. Зокрема, до зростаючих відносять і таку послідовність: 37, 26, 17. 10, 5, 2, 1, 2, 5, ... , загальний член якої . Проте я не вважаю доцільним так розширювати це поняття. Зростаючою краще називати тільки таку числову послідовність, кожний член якої, крім першого, більший від попереднього. Якщо ж кожний член числової послідовності, крім першого, не менший від попереднього, то таку послідовність бажано називати неспадною. Зростаюча послідовність є окремим видом неспадної. Аналогічно можна означити спадну і незростаючу послідовності.