2.3. Способи задання послідовності

Тільки після того, як учні добре зрозуміють, що таке послідовність, її загальний член, можна розповісти їм про різні способи задання числової послідовності. При цьому бажано підвести їх до функціонального трактування цього поняття.

- Згадаймо означення функції. Функцією називається відповідність, при якій кожному елементові однієї множини відповідає один елемент другої множини.

А в числовій послідовності кожний член поставлений у відповідність його номеру - натуральному числу. Так, коли перший, другий, третій і т.д. члени послідовності дорівнюють 6, 9, 14, 21, 30, 41, ... , то це можна розглядати як відповідність:

1 2 3 4 5 6 ... .

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

6 9 14 21 30 41 ... .

Отже, нескінченну числову послідовність можна розглядати як функцію, задану на множині всіх натуральних чисел. Відомо, що функцію можна задати аналітично, таблично, графічно. Аналогічними способами можна задавати і послідовності.

Наприклад, ми можемо сказати: «послідовність, загальний член якої ». Цим самим ми задали послідовність. Такий спосіб задання послідовності за допомогою формули загального члена можна назвати аналітичним способом. Цю послідовність можна задати і з допомогою такої таблиці:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	…
an	1	3	5	7	9	11	13	15	…

Правда, без верхнього рядка (значень аргументу п) тут можна обійтись, бо ці значення збігаються з порядковими номерами членів послідовності. Можна записати це простіше:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... ,

маючи на увазі, що перший член цієї послідовності 1 відповідає аргументу 1, п’ятий член 9 відповідає аргументу 5 і т. д.

М ожна цю саму послідовність задати і графічно, відкладаючи на координатній площині точки (1; 1), (2; 3), (3; 5), (4; 7) і т. д. (Рис. 1).

Деякі вчителі, будуючи графік послідовності, спочатку наносять на координатну площину точки графіка, а потім сполучають їх послідовно відрізками або проводять через них плавну криву лінію. Цього робити не слід. Навпаки, треба підкреслити, що графік послідовності складається з окремих ізольованих одна від одної точок.

Рис. 1

Б ажано показати учням, як можна зображати числову послідовність на числовій осі. Наприклад, на рис. 2 дано геометричне зображення послідовності непарних чисел, а на рис. 3 - послідовності чисел, обернених натуральним.

Р ис. 2

Рис. 3

Нова програма пропонує ознайомити учнів також із заданням числових послідовностей за допомогою рекурентних формул, що дають можливість визначати будь-який член цієї послідовності через попередні її члени. Наприклад, рекурентна формула описує послідовність, в якої кожний член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх. Таких послідовностей є безліч, наприклад:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ... .

1, -1, 0, -1, -1, -2, -3, ... .

Якщо ми, крім формули , вкажемо і два перших члени послідовності, то цим самим буде визначено однозначно послідовність. Так, ця формула разом з додатковою умовою визначає відому послідовність Фібоначчі:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... .

Рекурентна формула при визначає послідовність

3, 7, 13, 21, 31, 43, … , , … .

Рекурентна формула при визначає послідовність

-1, 3, 9, 17, 27, … , , … .