Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче С2 нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача С2 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов. Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Почему нынешние абитуриенты совсем не знают геометрию?

Уважаемые читатели, в первую очередь — родители! Эта статья может стать для вас неожиданной. Вам может показаться, что автор сгущает краски. Тем не менее всё здесь изложенное — чистая правда. А самое интересное — в конце.

Для оклейки стен комнаты нужно приобрести обои, причём обои продаются рулонами по 10 квадратных метров. Длина комнаты 6,5 м, ширина 4 м, высота 3 м. В комнате есть дверь шириной 0,75 м и высотой 2 м, а также два окна общей площадью 1,5 кв. метра. Определите, сколько рулонов обоев потребуется.

Вот такие простые бытовые задачи предлагались на пробных ЕГЭ по математике в 2009 году. Оказалось, что с приобретением обоев среднему выпускнику справиться не легче, чем с логарифмическим неравенством или взятием производной. Решения поражали даже бывалого репетитора: многие школьники «заклеивали» обоями не только стены, но и потолок, и дверь, и окна. В отдельных случаях обои лепили и на пол тоже. Особо талантливые считали объём комнаты и прикидывали, сколько рулонов обоев в нее можно поместить, видимо, превратив жилище в склад.

В вариантах ЕГЭ по математике 2010 года есть столь же тривиальная задача под номером В6. В ней требуется посчитать площадь фигуры. Восемьдесят процентов школьников, приходящих ко мне на собеседование, считает площадь «по клеточкам», принимая все неполные клеточки — за половинки. Они смущённо признаются, что «не помнят формулу площади треугольника». Предложение вывести эту формулу обычно вызывает у будущих студентов паническую реакцию.

Как правило, выпускник покидает школу с нулевыми знаниями по геометрии. Он не в состоянии решать на ЕГЭ по математике геометрические задачи.

Когда-то все школьники в обязательном порядке сдавали в восьмом (по-нынешнему — в девятом) классе экзамен по геометрии. Там были теоремы с доказательствами и задачи. Теперь обязательный экзамен отменили. Один из моих учеников-девятиклассников решил всё-таки его сдавать. Мальчика отговорили — объяснив, что из-за одного человека не станут собирать комиссию.

Когда-то в школе было черчение. Да, предмет противный, мало кому он нравился. Зато с чертежом куба или призмы не возникало проблем. Черчение тоже отменили. У многих учеников и рисование закончилось уже в начальной школе. И знаете, что получилось в результате?

Читайте дальше: Геометрия с нуля до группы C.