4. Распределение ресурсов

4.1. Постановка задачи распределения ресурсов. Механизм прямых приоритетов

Организационная система (оргсистема, организация) — это система, включающая технику и коллективы людей, интересы которых суще­ственно связаны с ее функционированием. Примерами здесь могут служить семья, фирма, университет, город, страна. Каждая оргсистема состоит из элементов (которые в свою очередь тоже могут представлять собой системы).

Для нас существенными являются следующие два обстоятельства. С одной стороны, система существует для достижения каких-либо определенных целей, т. е. можно говорить об интересах системы в целом. С другой стороны, элементы системы зачастую преследуют собственные интересы, вообще говоря, не совпадающие с интересами системы в целом. Все это дает основание формализовать некоторые аспекты функционирования оргсистем в терминах теории игр.

В процессе деятельности человека воз­никают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (групп лиц, сторон) оказываются или прямо противоположными (антагонистичными), или, не являясь непримиримыми, все же не совпадают. Примерами таких ситуаций являются спор­тивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в между­народных отношениях — отстаивание интересов своего государства и т. п. В перечисленных случаях каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет других. Похожие ситуации могут встретиться и в различных сферах производственной деятельности. Ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других и интересы участников не совпадают, называются конфликтными.

Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр. Таким образом, теория игр — это математическая теория кон­фликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производст­венных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.

Следует подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим кон­фликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости.

В этой главе мы будем рассматривать простейшую двухуров­невую модельную оргсистему, состоящую из Центра и некоторого числа однотипных Элементов. Управление такой системой мы рас­смотрим на примере задачи распределения ресурсов. Суть этой за­дачи состоит в следующем. Элементы (в дальнейшем мы будем на­зывать их Потребителями) представляют Центру заявки на полу­чение некоторого ресурса (для простоты рассматривается один вид ресурса). Центр на основании этих заявок распределяет имеющий­ся в его распоряжении ресурс (который предполагается делимым).

Если все заявки могут быть полностью удовлетворены, то Центру, по-видимому, так и следует поступить — выделить каждому Потре­бителю столько, сколько он просит.

Однако мы убедились в первой главе, что, как правило, потребности превышают имеющиеся в наличии ресурсы. Такая ситуация дефицита существенно сложнее. В этом случае суммарный объ­ем заявок превосходит имеющийся в распоряжении Центра ресурс. Задача распределения ресурса становится нетривиаль­ной. Универсальных рекомендаций здесь не существует. Далее мы рассмотрим некоторые способы, или механизмы распределения ре­сурсов, каждый из которых обладает определенными достоинствами и недостатками.

Формализуем описанную выше задачу. Пусть имеется n Потребителей. Пусть у каждого из Потребителей имеется некоторая реальная потребность в ресурсе r_i . Каждый Потребитель сообщает Центру число s_i (i = 1,2,..., n.) — заявку (рис. 4.1), которая, вообще говоря, не обязательно совпадает с реальной потребностью в ресурсе. Потребитель может сообщить Центру еще некоторую дополнительную информацию (на рис. 4.1 обозначено пунктирной стрелкой).

Далее Центр на основании заявок Потребителей, имеющегося в его распоряжении ресурса R и дополнительной информации о Потреби­телях вычисляет по некоторому правилу числа x_i (i = 1, 2,..., n) — объем ресурса, выделяемый i-му Потребителю Центром.

Если сумма заявок на ресурс меньше имеющегося в распоряжении Центра объема этого ресурса, т. е.

(отсутствие дефицита), то естественным решением Центра является следующее:

x₁= s_1, x₂= s₂, …., x_n= s_n.

Центр

R

Потребители

r₁ , r_2,…r _n

…

…

S_n

S₃

S₂

S₁

x₁

x₂

x₃

x_n

доп. информ.

Рис. 4.1

То есть каждый Потребитель получает столько, сколько просил. В даль­нейшем мы будем считать выполненным неравенство

,

т. е. сумма заявок Потребителей превосходит ресурс Центра.

Отметим следующее важное обстоятельство. Потребители формируют свои заявки на основании собственных реальных потребностей r_i , которые им известны, но неизвестны Центру. Можно сказать, что числа s_i являются стратегиями Потребителей как участников иерархической игры. В свою очередь, стратегией Центра являются числа x_i.

Механизм прямых приоритетов. Механизм прямых приоритетов относится к числу так называемых приоритетных механизмов, отличительной чертой которых является приписывание каждому Потребителю некоторого приоритета. Итак, наряду с размерами заявок s_i (i = 1,2,... ,n) Центр учитывает при­оритет каждого Потребителя, который определяется числом А_i (i = 1,2,…,n).

В соответствии с механизмом прямых приоритетов распределение ресурса осуществляется по правилу

x_i= min (4.1)

где γ — общий для всех Потребителей параметр — определяется из условия:

, (4.2)

– т. е. весь ресурс распределяется без остатка.

Особенно простой вид формула (4.1) приобретает в случае "равенства" Потребителей с точки зрения Центра, т. е. при

А₁ = А₂ = … = А_n = 1

(это условие не ограничивает общности, но упрощает дальнейшие выкладки). Тогда

x_i = min = , i=1,2,…,n.

Очевидно, что из сказанного раньше следует: 0 < γ < 1, (случай x_i = s_i невозможен, поскольку при этом каждый Потребитель получает столько, сколько просил, а это противоречит предположению о наличии дефицита). Из условия (4.2) получаем

.

Откуда

γ = /

Описанный механизм распределения ресурсов является, пожалуй, самым простым. Смысл его состоит в том, что все заявки пропорци­онально "урезаются" путем умножения на число γ.

Пример 4.1. Пусть шесть Потребителей подали заявки в размере 6, 8, 13, 7, 9 и 11. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составля­ет 36. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

Решение. По условию имеем:

s₁=6, s₂=8, s₃=13, s₄=7, s₅=9, s₅=11, R=36.

Так как

= 6+8+13+7+9+11=54 > 36 = R ,

то в этом случае имеем дело с дефицитом. Коэффициент γ будет равен:

γ = 36/54=2/3 0,667.

Умножая заявки на это число, приходим к результату:

х₁ = 0,667· 6 = 4,0;

х₂ = 0,667· 8 5,3;

х₃ = 0,667·13 8,7;

х₄ = 0,667· 7 4,7;

х₅ = 0,667· 9 = 6,0;

х₆ = 0,667· 11 7,3.

Ответ: x₁= 4,0; х₂ = 5,3; х₃ = 8,7; x₄ = 4,7; х₅ = 6,0; x₄ = 7,3.

Достоинствами механизма прямых приоритетов являются ясность идеи и простота расчетов. Однако следует отметить и недостатки.

Во-первых, каждый Потребитель получает меньше, чем просит. Между тем нетрудно представить себе ситуацию, когда Потребителю требуется на осуществление какого-либо проекта именно единиц ресурса, a γ уже не хватает.

Во-вторых, приведенный механизм вынуждает Потребителей к завыше­нию заявок в условиях дефицита, который, как правило, имеет место быть. Действительно, поскольку, чем больше Потребитель просит, тем больше получает, он может, за­вышая свои потребности, попытаться приблизить итоговое решение Центра x_i к своим реальным потребностям r_i. Тем самым дефицит еще более возрастает, причем Центр даже не имеет возможности узнать реальные запросы Потребителей r_i, поскольку они сообщают заявки s_i r_i. Центр в этом случае не обладает реальной информацией о состоянии дел, а это означает, что системой будет невозможно или затруднительно управлять, и что возможны серьезные просчеты.