- •Экономико-математические методы и модели в социально-экономических исследованиях
- •Экономико-математические методы и модели в социально-экономических исследованиях
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Модель границы производственных возможностей
- •Возможности и потребности. Модели и реальность
- •1.2. Альтернативная стоимость. Издержки и выбор
- •1.3. Экономический рост и эффективность
- •Графы, сети и их применение в экономике
- •Основные определения и характеристики графов. Плоские графы
- •2.2. Ориентированные графы. Построение минимального остовного дерева сети
- •2.3. Задача нахождения кратчайшего пути. Дерево решений
- •2.4. Сетевые графики
- •3. Управление запасами
- •3.1. Вводные замечания и основная модель
- •3.2. Модель производственных поставок. Модель поставок со скидкой
- •3.3. Модель управления запасами, включающая штрафы
- •3.4. Обобщенная модель определения оптимального размера партии
- •4. Распределение ресурсов
- •4.1. Постановка задачи распределения ресурсов. Механизм прямых приоритетов
- •4.2. Механизм обратных приоритетов. Конкурсный механизм
- •4.3. Механизм открытого управления
- •4.4. Открытое управление и экспертный опрос
- •5. Математические модели в финансовых операциях
- •5.1. Простые проценты. Сложные проценты
- •5.2 Начисление процентов в условиях инфляции.
- •5.3. Погашение кредита. Балансовое равенство
- •5.4. Балансовое уравнение
- •Иерархии и приоритеты
- •6.1. Приоритеты. Измерения и согласованность. Идеальные измерения
- •6.2. Обратно-симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности
- •6.3. Вычисление собственных характеристик обратно-симметричной матрицы
- •6.4. Проблема сравнения. Построение шкал. Иерархии
- •7. Методы прогнозирования
- •7.1. Анализ временных рядов. Метод подвижного (скользящего) среднего.
- •7.2. Метод проецирования тренда
- •7.3. Прогнозирование с учетом сезонной вариации. Аддитивная модель
- •7.4. Мультипликативная модель. Каузальные методы прогнозирования. Качественные методы прогнозирования
- •8. Основы управления рисками в экономике
- •8.1. Риски в экономике. Оптимизация портфелей банка
- •8.2. Диверсификация портфеля
- •8.3. Достижимое и эффективное множества
- •8.4. Выбор оптимального портфеля
- •9. Динамические модели
- •9.1. Модель народонаселения
- •9.2. Модель мобилизации
- •9.3. Модель гонки вооружений
- •9.4. Модель хищник – жертва
- •Глоссарий
- •Библиографический список
- •Порядковые номера дней в невисокосном году
- •Порядковые номера дней в високосном году
- •Предметный указатель
- •Оглавление
6.2. Обратно-симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности
Рассмотрим теперь квадратную положительную матрицу порядка n
|
|
a11 |
… |
a1k |
… |
a1n |
. |
|
… |
… |
… |
… |
… |
||
A= |
ai1 |
|
aik |
… |
ain |
||
|
… |
… |
… |
… |
… |
||
|
an1 |
… |
ank |
… |
ann |
Матрица А называется обратно-симметричной, если для любых i и k выполняется соотношение
a ki = 1 / a ik.
Из этого, в частности, следует, что
a ii = 1.
Матрица А называется согласованной, если для любых i, k и l выполнено равенство
a ik a kl = ail.
Сравнивая свойства идеальной матрицы сравнения с приведенными определениями, приходим к выводу, что идеальная матрица сравнений — обратно-симметричная и согласованная.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Положительная обратно-симметричная матрица является согласованной тогда и только тогда, когда порядок матрицы и ее наибольшее собственное значение совпадают: λ max = n.
Индекс согласованности. Если элементы положительной обратно-симметричной согласованной матрицы А изменить незначительно («пошевелить»), то максимальное собственное значение λmах также изменится незначительно. Пусть А − произвольная положительная обратно-симметричная матрица и λmах − ее наибольшее собственное значение.
Если
λmах = n,
то матрица А — согласованная.
Если
λmах n
(всегда λmах n), то в качестве степени отклонения положительной обратно-симметричной матрицы А от согласованной можно взять отношение
которое называется индексом согласованности (ИС) матрицы А и является показателем близости этой матрицы к согласованной.
Замечание. Считается, что если ИС не превышает 0,10, то можно быть удовлетворенным степенью согласованности суждений.
6.3. Вычисление собственных характеристик обратно-симметричной матрицы
Довольно естественно встает вопрос о том, как находить наибольшее собственное значение λmах положительной обратно-симметричной матрицы. Для n = 2 такую задачу решать мы умеем. Правда, это не так интересно: обратно-симметричная матрица 2-го порядка всегда согласованная. Действительно, рассмотрим обратно-симметричную матрицу:
-
1
a
1/a
1
.
Найдем ее собственные значения. Имеем:
1− λ |
a |
|
1/a |
1− λ |
=0 , |
Или иначе:
(1 − λ) 2 = 1,
Откуда нетрудно получить, возводя в степень и приводя подобные члены:
λ (λ − 2) 2 = 1.
Из последнего выражения следует, что λ1 = 2 и λ2 = 0.
Однако в общем случае эта задача хотя и разрешима, но технически достаточно сложна. Поэтому, желая содержательно, но относительно просто ответить на поставленный вопрос, мы вынуждены чем-то поступиться. Проще всего поступиться точностью вычислений, как это часто делается на практике, т. е. искать приближенное значение наибольшего собственного числа.
Решается эта задача так: сначала приближенно строится собственный столбец, а затем по нему ищется приближенное собственное значение.
Существует несколько способов приближенного вычисления собственного столбца.
1-й способ:
суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;
складываем все элементы найденного столбца;
делим каждый из элементов этого столбца на полученную сумму.
2-й способ:
суммируем элементы каждого столбца и записываем полученные результаты в столбец;
заменяем каждый элемент построенного столбца на обратный ему;
складываем элементы столбца из обратных величин;
делим каждый из этих элементов на полученную сумму.
3-й способ:
суммируем элементы каждого столбца;
делим элементы каждого столбца на их сумму;
складываем элементы каждой строки полученной матрицы;
записываем результаты в столбец;
делим каждый из элементов последнего столбца на порядок исходной матрицы п.
4-й способ:
перемножаем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;
извлекаем корень n-й степени из каждого элемента найденного столбца;
складываем элементы этого столбца;
делим каждый из этих элементов на полученную сумму.
5-й способ:
1)возводим матрицу парных сравнений в достаточно высокую степень;
2)суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;
3)складываем элементы этого столбца;
4)делим каждый из этих элементов на полученную сумму.
Следует пояснить, что такое достаточно высокая степень. С увеличением степени будет расти точность вычисления собственного вектора матрицы. Как только точность вычислений будет удовлетворять наперед заданной величине, степень можно считать достаточной.
Каждый из этих способов, будучи примененным к идеальной матрице, приводит к одному и тому же точному результату.
Покажем это для 1-го способа (для остальных проверка проводится столь же просто).
Пусть
|
|
w1/w1 |
w1/w2 |
… |
w1/wn |
|
|
A= |
w2/w1 |
w2/w2 |
… |
w1/wn |
(6.2) |
||
|
… |
… |
… |
… |
|
||
|
wn/w1 |
wn/w2 |
… |
wn/wn |
|
– идеальная матрица сравнений.
Просуммируем элементы каждой строки матрицы (6.2) и, записав полученные результаты в столбец
w1/w1 |
+ …+ |
w1/wn |
|
|
|
w1 |
|
|
||
…. |
…. |
…. |
|
= |
|
… |
(6.3) |
|||
wn/w1 |
+ …+ |
wn/wnn |
|
wn |
, |
сложим элементы этого столбца. Имеем:
w1 +…+wn = (w1 + …+ wn) = .
Поделим каждый из элементов столбца (6.3) на найденную сумму. В результате получим
|
|
|
|
w1 |
… |
=
|
… |
||
|
|
wn |
Нетрудно заметить, что итогом этих операций будет собственный столбец матрицы (6.2), сумма элементов которого равна единице, поскольку присутствует нормирующий множитель 1 / . Легко убедиться и в том, что соответствующее собственное значение равно n.
В применении к обратно-симметричной, но не согласованной матрице ни один из предложенных способов уже не дает точного значения собственного столбца. Тем не менее, при вычислении собственных столбцов таких матриц мы будем пользоваться именно этими способами, получая в результате приближенные значения собственных столбцов.
Сложность вычислений возрастает с увеличением номера способа, но увеличивается и точность. Особенно трудоемким является пятый способ вычисления собственного столбца, поскольку возведение матрицы в степень есть не что иное, как многократное умножение ее саму на себя (следует помнить правило перемножения матриц). В случаях принятия особо важных решений пользуются наиболее точными способами вычислений, или вычисляют сначала собственные значения матрицы классическим способом, а затем строят собственный вектор.
Замечание. Описанные первые 4 способа приближенного вычисления собственного столбца матрицы эффективны лишь для обратно-симметричных матриц, достаточно близких к согласованным. Последний, пятый способ можно использовать в любых случаях.
Пример 6.1. Рассмотрим обратно-симметричную матрицу 4-го порядка
1 |
4 |
5 |
6 |
1/4 |
1 |
3 |
5 |
1/5 |
1/3 |
1 |
3 |
1/6 |
1/5 |
1/3 |
1 |
и вычислим приближенно ее собственный столбец всеми пятью способами.
1-й способ (указаны результаты каждого шага):
|
16,00 |
|
|
0,51 |
|
1) |
9,25 |
, 2) 31,48 |
3) |
0,29 |
|
|
4,53 |
|
|
0,14 |
. |
|
1,70 |
|
|
0,05 |
|
|
1,62 |
|
0,62 |
|
|
0,64 |
|
1) |
5,53 |
, 2) |
0,18 |
, 3) 0,98, |
4) |
0,19 |
|
|
9,33 |
|
0,11 |
|
|
0,11 |
. |
|
15,00 |
|
0,07 |
|
|
0,07 |
|
2-й способ (указаны результаты каждого шага):
3-й способ:
После 1-го и 2-го шагов получаем матрицу
0,62 |
0,72 |
0,54 |
0,40 |
|
0,15 |
0,18 |
0,32 |
0,33 |
|
0,12 |
0,06 |
0,11 |
0,20 |
|
0,10 |
0,04 |
0,04 |
0,07 |
, |
в результате 3-го и 4-го шагов получим столбец
2,28 |
|
0,99 |
|
0,49 |
|
0,24 |
,
|
и окончательный результат:
0,57 |
|
0,25 |
|
0,12 |
|
0,06 |
. |
4-й способ дает после первого и второго шагов соответственно:
120 |
|
3,75 |
|
0,20 |
, |
0,01 |
|
3,31 |
|
1,39 |
|
0,67 |
. |
0,32 |
|
Сумма чисел последнего столбца равна 5,69 и, производя деление чисел последнего столбца на эту сумму, получаем следующий окончательный результат:
0,58 |
|
0,24 |
|
0,12 |
|
0,06 |
. |
|
|
5-й способ дает после возведения матрицы в третью степень, сложения элементов строк и нормирования соответственно:
353,22 |
|
143,21 |
|
68,06 |
|
34,41 |
, |
19,35 |
44,27 |
92,27 |
197,33 |
|
8,13 |
18,81 |
37,42 |
78,85 |
|
3,78 |
9,11 |
18,07 |
37,10 |
|
1,83 |
4,48 |
9,22 |
18,89 |
, |
0,59 |
|
0,24 |
|
0,11 |
|
0,06 |
. |
Для построения собственного столбца заданной матрицы традиционным (точным) методом необходимо решить характеристическое уравнение:
׀А – λЕ׀ = 0.
Решая уравнение, сначала найдем максимальное собственное число λ max , а затем – собственный вектор. Характеристическая матрица этого уравнения имеет вид:
1– λ |
4 |
5 |
6 |
|
1/4 |
1– λ |
3 |
5 |
|
1/5 |
1/3 |
1– λ |
3 |
. |
1/6 |
1/5 |
1/3 |
1– λ |
|
Характеристический многочлен, соответствующий этой матрице:
λ4 − 4λ3 – 667/180 λ − 147/225.
Уравнение для вычисления λ получим, приравняв нулю характеристический многочлен. Приближенное решение уравнения, например методом Ньютона, дает λ max 4,22. Найдем собственный вектор матрицы, соответствующий λ max. Для его нахождения необходимо решить уравнение, которое в матричной форме выглядит как (А − λ Е) α = 0, где α – собственный вектор матрицы. Матричному уравнению соответствует система уравнений:
–3,22 α1 + 4 α2 + 5 α3 + 6 α4 =0
1/4α1 – 3,22 α2 + 3 α3 + 5 α4 =0
1/5α1 + 1/3 α2 – 3,22 α3 + 3 α4 =0
1/6α1 + 1/5 α2 + 1/3 α3–3,22 α4 =0.
Решая систему уравнений, например методом исключения переменных, имеем: α1=0,61; α2=0,25; α3=0,12; α4=0,06, т. е. собственный вектор будет:
-
0,61
0,25
0,12
.
0,06
Напомним, что корни системы уравнений зависимы, в силу того, что определитель системы равен нулю, и собственный вектор получается назначением, к примеру, α4=0,06. Хотя для нахождения собственного вектора здесь мы использовали методы приближенных вычислений, но поскольку корни характеристического уравнения найдены с высокой степенью точности, будем называть найденный собственный вектор точным.
Вернемся к приближенным вычислениям собственных чисел по приближенным значениям собственных столбцов. Итак, собственный столбец найден. Теперь остается найти соответствующее собственное значение. Покажем, как это делается в случае приближенных вычислений.
Вспомним, что имеет место равенство: А α = λ α. Если мы хотим проверить, является ли предъявленный столбец α собственным столбцом матрицы А, то алгоритм действий будет следующий:
умножить матрицу А на этот столбец:
А α = y= λ α,
или подробнее:
a 11 |
… |
a 1n |
|
α 1 |
|
y1 |
|
α 1 |
|
|
… |
… |
… |
|
… |
= |
… |
= λ |
… |
. |
|
a n1 |
… |
a nn |
|
α n |
|
yn |
|
α n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разделить элементы полученного столбца у на соответствующие элементы столбца α:
y1 / α 1 , …., yn / α n
и, если
y1 / α 1 = ….= yn / α n , (6.4)
то это отношение и есть собственное значение λ матрицы А, отвечающее данному столбцу α.
Если же хотя бы одно из равенств (6.4) нарушается, то столбец α не является собственным столбцом матрицы А.
В данном случае столбец, получаемый любым из описанных выше четырех способов, мы заранее рассматриваем как приближение собственного столбца, и ожидать выполнения даже одного из равенств (6.4) нельзя.
Поэтому здесь мы поступим по-иному — считая каждое из отношений
y1 / α 1 , …., yn / α n
приближением к искомому собственному значению, выберем в качестве собственного значения их среднее арифметическое:
λmах = (1 / n) .
Продолжение примера 6.1. Для отыскания приближенного значения наибольшего собственного числа заданной матрицы используем приближение собственного столбца, например, вычисленное по 2-му способу. Умножив матрицу на соответствующий столбец, получаем
1 |
4 |
5 |
6 |
0,64 |
|
2,37 |
1/4 |
1 |
3 |
5 |
0,19 |
= |
1,03 |
1/5 |
1/3 |
1 |
3 |
0,11 |
|
0,51 |
1/6 |
1/5 |
1/3 |
1 |
0,07 |
|
0,25 . |
Поделив элементы найденного столбца-произведения на соответствующие элементы исходного столбца-сомножителя, получим следующие числа:
3,70, 5,42, 4,65, 3,59.
Найдем их среднее арифметическое. Имеем:
(3,70+5,42+4,65+3,59) = = 4,34.
Тем самым,
mах = 4,34.
Теперь уже совсем легко найти:
ИС = = = 0,11.
Напомним, что для точного собственного столбца было получено значение λmах = 4,22 и ему соответствует ИС = 0,07. 1-й способ дает значение mах = 4,32, ИС = 0,11; 3-й, 4-й и 5-й способы дают одинаковые результаты: mах = 4,22, совпадающие с точным, ИС = 0,07.