Волновые процессы

Волна - процесс распространения колебаний в сплошной среде. При распространении волны в какой-либо среде частицы среды совершают колебания около положения равновесия. За счет связей, существующих между частицами среды эти колебания передаются от одних частиц к другим. В среде возникает волна. Особенностью является перенос энергии без переноса вещества. Если направление колебаний частицы совпадает с направлением распространения волны, то такая волна называется продольной. Если направление перпендикулярно, то поперечной. Продольные волны могут возникать в среде, в которой появляются упругие силы при деформации сжатия (разрежения). Поперечные волны возникают в средах, в которой появляются упругие силы при деформациях сдвига.

Пусть поперечная волна распространяется в положительном направлении оси ох со скор. v. Min расстояние между точками волны, колеблющихся в одной фазе называется длиной волны. лямбда=vT. Пусть в точке х=0 находится источник гармонических колебаний. y(0,t)=Asinωt. Возьмем произв. точку волны, расположенную на расстояние х от источника. Колебания от источника дойдут до этой точки через t’=x/v. Таким образом, колебания в этой точке будут запаздывать. y(x,t)=Asin[ω(t-t’)] y(x,t)=Asin[ω(t-x/v)]. ω(t-x/v)= ωt-ωx/v= ωt-2πx/vT= ωt-2πx/λ. k=2π/λ - волновое число

y(x,t)=Asin(ωt-kx) - уравнение бегущей волны (описывает волну, распр.в «+»направлении оси ох. Если распространяется в отриц. направлении то за место «-» будет «+» ) Бегущая волна переносит энергию.

Стоячая волна образуется в результате наложения (интерференции) прямой волны и обратной, появляющейся при отражении прямой волны от какого-либо препятствия. Прямая волна переносит Е в «+» напр., обратная в «-». В результате этого суммарный перенос энергий этими волнами, а значит и стоячей волны равен 0. При стоячей волне в некоторых точках пространства амплитуда колебаний равна 0. Эти точки называется узлами. Точки, в кот. А достигает max называют пучностями. Стоячая волна образуется в том случае, когда расстояние от источника до преграды кратно λ/2.

Точки волны, колеблющиеся в одной фазе называются волновым фронтом. Если волновая поверхность представляет из себя плоскость, то волна плоская. Если фронт волны является сферой, то волна является сферической. Обычно сферическую волну дают точечные источники. Если плоская волна распространяются в непоглащающей среде, то А-const. Если сферическая, то A пропорционально 1/r

Фазовой скоростью называется скорость перемещения v точки волны с пост. Фазой

dФ = d (wt – kx – φ0) = wdt – kdx  dx / dt = w/k – фазовая скорость волны!

Т.к. строго монохроматическая волна является абстракцией, на практике имеем дело с волной, состоящую из большого числа налагающихся друг на друга волн с близкими частотами. Такая группа называется цугом или волновым пробегом. Для такого волнового пакета вводится понятие групповой скорости - скорости перемещения его максимума. Представим волновой пакет в виде суммы 2-х волн с близкими частотами и длинами волн.

dω<<ω; dk<<k;

y(x,t)=Asin(ωt-kx)+Asin[(ω+dω)t-(k+dk)x]=2A*sin(ωt-kx+(ω+dω)t-(k+dk)x)/2*cos(ωt-kx-(ω+dω)t+(k+dk)x)/2. y(x,t)=2Acos(tdω-xdk)/2*sin(ωt-kx). Из этого выражения видно, что в случае сложения 2-х близких по частоте и длине волн вдоль оси ох будет распространятся волновой пакет, частота которого равна ω, а длина определяется k. Амплитуда будет 2Acos(tdω-xdk)/2. Скорость перемещения этого волнового пакета будет соответствовать скорости перемещения точки с постоянной амплитудой, откуда tdω-xdk=const. u=dx/dt=dω/dk. v=ω/k. Эти скорости связаны. ω=vk. dω=kdv+vdk. dk=[2π/λ(ст2)]dλ. Подставляя эти выражение в формулу u= dω/dk. u=v+kdv/dk=v-(2π/λ)*(dv/2π)*(λ(ст2)/dλ). u=v-λ(dv/dλ). Из этой формулы видно, что групповая скорость зависит от знака производной dv/dλ. Знак этой величины определяется свойствами среды, в которой распространяется волна. Если dv/dλ не равно 0 , то такая среда называется дисперсирующей (в ней скорость распр. волны зависит от ее частоты ) Если dv/dλ=0, то такая среда называется недисперсирующей. Обычно дисперсия волн не наблюдается только в вакууме. Все реальные среды являются.

Групповая скорость и ее связь с фазовой скоростью. Если среда, в которой распространяются одновременно несколько волн линейно, т.е. ее свойства не зависят от возмущений, создаваемых волнами, то у этой среде применим принцип суперпозиции: при распространении нескольких волн в среде, каждая из них распространяется независимо от других, а результат их совместного действия является простой суммой действия каждой из этих волн.

Волновой пакет – это суперпозиция волн, мало отличающихся по частоте и занимающих в каждый момент времени ограниченную область пространства. (рисунок – график сжатой синусойды – сначало высота по y возрастает, а потом уменьшается, не периодична).

Рассмотрим простой волновой пакет, состоящий из 2х близких по частоте волн с одинаковой амплитудой.

Групповая скорость – это скорость перемещения в пространстве этого волнового пакета.

S1 = Asin (wt - kx) ; S2 = Asin [(w + dw) t – (k + dk) x] ; S = S1+S2;

S=2Asin (wt – kx) cos ((xdk – tdw) / 2) ; xdk – tdw = const ; u = dx/dt ;

d (xdk - tdw) = 0; dx dk – dt dw = 0  dx / dt = dw / dk ; u = dw / dk ;

w = kv ; dw = kdv + vdk ; u = v + k (dv / dk) ; k = 2ПИ / λ ;

dk = (2ПИ/ λ(ст.2)) dλ; u = v – λ (dv / dλ) ; Из этого выражения видно, что в зависимости от свойств среды групповая скорость может быть как больше, так и меньше фазовой скорости. Если среда не дисперсирующая, то dv / dλ = 0 и u = Ф. В теории относительности доказывается, что групповая скорость волны не может быть больше скорости света. На фазовую скорость ограничений не накладывается.

Одномерное волновое уравнение. Распространение волн в однородной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением 2го порядка. Если рассматривать трехмерный случай, то волна будет представлять вот что: S (x, y, z, t)

(д2 S/ дx (ст.2))+(д2 S/дy (ст.2))+(д2 S/ дz (ст.2)) = (1/v(ст.2)) (д2 S/дt (ст.2))

где v – фазовая скорость волны; (если из левой части вынести S, то получим оператор Лапласа, который обозначается перевернутым треугольником).

В одномерном случае будет так:

S (x, t) = Asin (wt – kx + φ0) ; Непосредственной подстановкой можно убедиться, что эта плоская волна удовлетворяет одномерному волновому уравнению.