4. Мера крутости

Крутость исследуемой кривой распределения сравнивается с крутостью нормальной кривой.

Как указано выше (п. 2), в нормальном распределении только 3 единицы из 1000 лежат вне пределов утроенного основного отклонения в ту и другую сторону от среднего значения (см. рис. 11). Если за эти пределы выходит большее число единиц совокупности, то такое явление, называемое эксцессом, сопровождается большей крутостью, т. е. большим скоплением значений около среднего значения, чем в нормаль­ном распределении. Получаемая при этом кривая называется остро­вершинной кривой распределения. Если же значения расположены в более узких пределах, чем в нормальном распределении, то это явле­ние, называемое дефектом, сопровождается крутостью менее нормаль­ной. Получаемая при этом кривая называется плоско вер шинной кривой распределения.

В качестве примера нормального распределения можно указать приведенные выше ряды распределения роста русских рабочих — муж­чин и женщин (см. рис. 7), а также ряды распределения роста и окруж­ности груди студентов (гл. I, § 2, п. 3). Точно так же нормальным яв­ляется следующий ряд распределения числа жилок в листьях крымско­го бука в верхней части буковой полосы на высоте 1300—1365 м «ад уровнем шря (я=2500) **:

Число жилок. .... 5 6 7 8 9 10 11 Сумма Число листьев %₀ . .4 42 217 471 224 40 2 1000

Среди таксационных признаков нормальное распределение наблю­дается в рядах распределения коэффициента формы. Ряд распределения

* Л. А. Иванов, 1946, стр; 23. ** Г. И. П о п л а в с к а я, 1927, стр. 68.

/]

Сгагнсгыки распределения

61

коэффициента формы лапландской сосны (ряс. 20) указан выше (п. 2). Приведем также ряд распределения коэффициента формы чержнэугьхо-вых 'насаждений типа ольшаник с ясенем (А1пиз д1и1Ьтоза):

Коэффициент формы, % . .62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 Сумма Число деревьев .... 1 4 13 29 43 57 51 30 10 2 240

Примером островершинной кривой могут служить следующие ряды распределения:

Ряд распределения окружности головы студентов (прило&й&ние 1)

Окружность головы, см . . 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 Сумма

Число студентов . 2 6 12 37 98 143 100 61 24 12 4 1 500

Ряд распределения числа цветков ландыша (Сопиа11аг1а та{аИ5) на отдельных стеблях,

собранных в окрестностях Москвы: *

456789

10

11 Сумма

46 270 430 280 96 27

1

1158

Число цветков на стебле 3 Число стеблей . . . 3

Ряд распределения (рис. 21) числа краевых цветков у стеблей

СпгузапНгетшп ыЫпсипг, собранных на Ледяной горе

(Урал, близ Кунеура)**

Число краевых цветков 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

37 Сумма 1 1292

Число стеблей

10 34 53112274453196 70 33 18 14 15

представляют, например, следующие

Плосковерпшнную кривую рады распределения:

18 4

Сумма 1000

Ряд распределения длины листьев дуба: *** Длина листа, см ... 4 6 8 10 12 14 16 Число листьев .... 15 93 205 284 249 124 26

Ряд распределения длины листьев осины (Рори1из 1гети1а) на северной стороне дерева: ****

Длина листа, мм , .15 25 35 45 55 65 75 85 Число листьев ... 8 58 132 224 252 205 111 15

95 Сумма 2 1007

\

20

53 57 61 65 69 73 77 в! 85 89 Коэффициент фермы. %

Рис. 20. Распределение коэффициента

формы лапландской сосны в возрасте

120—160 лет

На рис. 20, 21, 22 вместе с мно­гоугольниками распределения изоб­ражены соответствующие нормаль­ные кривые распределения. Из этих рисунков видно, что распределение коэффициента формы лапландской сосны практически полностью совпа­дает с нормальным распределением; распределение числа краевых цвет­ков хризантем имеет более широ­кий размах по сравнению с нормаль­ным распределением, а распределе­ние длины листьев осины оказывает­ся в более узких пределах, чем в Нормальном распределении.

Статистика, характеризующая крутость кривой распределения, на­зывается мерой крутости и обозначается через I. В случае нор-

* Л. К. Лахтин, Кривые распределения. М., ГИЗ, 1922, стр. 114. (Данные Н. С. Четверикова).

** А. Я. Гордягин, 1907, стр. 52. *** Ю. А. Филипченко, 1929, стр. 29. .-.•****. Л. К. Лахтин, НО. (Данные С. С. Четверикова).

62

Анализ распределения

[гл. П

малыюй кривой распределения мера крутости равна «улю, для остро* вершинных кривых мера крутости больше нуля, для штосковерыгинных кривых мера крутости меньше нуля. Вычисление цмеры 'крутости показа­но в л. 5.

9 ,'/ 13 /5 17 19 21 23 25 27 29 31 .33 35 37

число краебь/х цветков Рис. 21. Распределение числа краевых цветков хризантем

Мера крутости для приведенных выше рядов распределения оказа­лась следующей:

Число жилок в листьях крымского бука +0,031

Коэффициент формы лапландской сосны +0,204

Коэффициент формы черно-ольховых насаждений —0,150

Окружность головы студентов . +0,558

Число цветков ландыша +0,560

Число краевых цветков у хризантем +2,619

Длина листьев дуба —0,331

Длина листьев осины . . . . . —0,494

Пределом меры крутости <в от­рицательную сторону является — 2, в положительную же сторону пре­дела не существует.

15 25 35 Ь5 55 65 75 85 90 Длина листьев, им

Рис. 22. Распределение длины листьев осины

Если отрицательная мера кру­тости значительна, то это означает, что в средине кривая распределе­ния оказывается вдавленной, при­чем наблюдается переход в двух­вершинную кривую. Подобная двух-верш'ин'ность кривой свидетельст­вует о неоднородности ряда распре­деления, т. е. о том, что этот ряд представляет распределение значе­ний не одной случайной величины, а в данном случае двух. Мера крутости, равная —2, указывает на то, что двухвершинная кривая распределения распадается на две отдельные кривые распределения.

Пока мы имеем дело с одной случайной величиной, т. е. с одно­родной совокушюстью ее значений, геометрическим изображением этой совокупности почти всегда является одновершинная кривая распределения — симметрическая или асимметрическая. Практически можно считать, что однородность всегда сопровождается одновершин-ностью кривой распределения, но обратное заключение 'Неверно: одно-

Статистики распределения

ер шинная кривая распределения может изображать не однородную, а сложную совокупность.

Рассмотрим, например, следующий ряд распределения диаметра ели (лес не тронутый рубкой).: *

Диаметр, см ... 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 Сумма Число деревьев . . 56 189 186 169 148 120 78 30 18 6 -1000

Изображение этого ряда представляет одновершинную кривую (см. рис. 23). Однако неправильная форма этой кривой наводит на мысль, что здесь мы имеем не однородную, а сложную совокупность. Действительно, при составлении этого ряда были объединены значения диаметра ели I и II ярусов (I поколение в 160 лет, II поколение в 70 лет), а именно: .

Диаметр, см ... 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 Сумма Число { П— 9 66 129 144 129 78 30 18 б 600

деревьев .. \ II/56 180 120 40 4 — - — — — 400

36 40 44 Т) СМ

40

200г

Рис. 23. Распределение диаметра ели

Распределения диаметра деревьев для каждого из этих ярусов изобра­жены на рис. 23 пунктиром.

Статистики распределения не остаются все время одними и теми же, а изменяются с изменением условий.

Рассмотрим, например, ряды распределения длины листьев крым­ского бука на разной высоте над уровнем моря (см. табл. 21). В зави­симости от-изменения условий произрастания—от более благоприятных на нижней части буковой -полосы к менее благоприятным на верхней части буковой полосы—уменьшаются как средние значения, так и ос­новные отклонения рядов распределения.

Рассмотрим также статистики приведенных выше (см. табл. 9) ря­дов распределения средней месячной температуры воздуха в Ленингра­де за 100 лет, с 1816 по 1915 г. (табл. 22).

Данные табл. 22 свидетельствуют о том, что наинизшая темпера­тура воздуха в Ленинграде бывает в январе и феврале, наивысшая — в июле; температура воздуха в зимние месяцы подвержена значитель-

* П. В. Горский, 1965, стр. 15—16.