3.4 Критерий равенства средних значений двух нормально распределённых совокупностей

Если дисперсии генеральных совокупностей равны, т.е. σ²₁ = σ²₂ = σ², то для проверки нулевой гипотезы а₁ = а₁ = а вычисляют оценку дисперсии σ²

s² = . (3.17)

и статистику

t = , (3.18)

которую сопоставляют с критическим значением t_α,k (таблица 2.9), найденным для выборочного уровня значимости α и числа степеней свободы k = n₁ + n₂ –2. Если справедливо неравенство

|t| ≤ t_α,k, (3.19)

то нулевую гипотезу не отвергают.

Если σ²₁ ≠ σ²₂, то для проверки нулевой гипотезы а₁ = а₁ = а вычисляют оценку статистику

t = , (3.20)

Число степеней свободы определяют из выражения

= +

где

с = ,

если выполняется неравенство (3.19) то нулевую гипотезу не отвергают.

Пример 3.7. Для условий примера 3.4 проверить гипотезу о равенстве средних значений. (n₁ = 30, = 401, s²₁ = 82; n₂ = 20, = 409, s²₂ = 71).

При решении примера 3.4 было показано, что гипотеза о равенстве генеральных дисперсий (σ²₁ = σ²₂ = σ²) не противоречит опытным данным. В связи с этим по формуле (3.17) находим оценку генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения:

s² = = 77,6;

s = = 8,81.

По формуле (3.18) вычисляем статистику

t = = –3,15.

Задавшись α = 0,05 (для k = 30 + 20 – 2 = 48 > 30 t_α ≈ z_1–α/2), по таблице 2.8 находим критическое значение t_0,05 ≈ z_0,975 = 1,96.

В связи с тем, что условие (3.19) не выполняется, нулевую гипотезу о равенстве средних значений отвергаем.

3.5 Однофакторный дисперсионный анализ

Равенство (однородность) ряда средних значений, т.е. не значимость влияния различных технологических факторов производства полуфабрикатов и деталей, конструктивных особенностей испытуемых элементов, влияния условий испытаний и т.д. на средние значения исследуемых характеристик оценивают с помощью дисперсионного анализа результатов испытаний.

Первоначально для каждой партии вычисляют оценки среднего значения и дисперсии, после чего проверяют гипотезу об однородности ряда дисперсий. В случае подтверждения гипотезы определяют оценку общего среднего

= , (3.21)

где m – общее число партий; – оценка среднего значения характеристик свойства i-й партии; n_i – число образцов i-й партии.

Определяют дисперсию s²₁ (межпартийная компонента) характеризующую рассеяние по факторам (число степеней свободы k₁ = m – 1)

s²₁ = . (3.22)

Определяют дисперсию s²₂ (внутрипартийная (остаточная) компонента) характеризующую внутреннее рассеяние, связанное с неоднородностью конструкционных материалов, случайными условиями испытаний и т. д. (число степеней свободы k₂ = – m)

s²₂ = . (3.23)

Проверку нулевой гипотезы о равенстве (однородности) средних проверяют с помощью критерия F.

Если дисперсионное отношение F = s²₁ / s²₂ окажется меньше табличного значения F_1–α, найденного для числа степеней свободы k₁ = m – 1; k₂ = – m и уровня значимости α (таблица 3.3), то исследуемые факторы не оказывают значимого влияния на исследуемые свойства, т.е. нулевая гипотеза не отклоняется. В этом случае все рассматриваемые результаты испытаний принадлежат одной генеральной совокупности, распределённой нормально с параметрами σ² и a.

Оценкой σ² служит выборочная полная (общая) дисперсия s², а оценкой а – выборочное общее среднее .

s² = . (3.24)

Доверительные интервалы для а и s² для k = – 1 степеней свободы могут быть найдены из выражений (32) и (34)

, (3.25)

. (3.26)

Если справедливо неравенство F = s²₁ / s²₂ > F_1–α, то нулевую гипотезу о равенстве средних значений характеристик рассматриваемых свойств отвергают.

В общем случае здесь имеется m нормально распределённых генеральных совокупностей с общей дисперсией σ² и разными средними значениями а_i. Оценкой генеральной дисперсии σ² является величина s²₂, оценками генеральных средних а_i – выборочные средние . Доверительные интервалы для σ² и а_i для k = – m степеней свободы определяют на основании выражений, аналогичных формулам (3.25) и (3.26):

, (3.25)

. (3.26)

Степень вариации генеральных средних характеристик рассматриваемых свойств отдельных совокупностей, вызванная влиянием уровня исследуемого фактора, оценивается с помощью статистики

σ²_a = , (3.27)

называемой дисперсией значений. Это название является условным, так как генеральные средние а₁, а₂, …, а_i, …, а_m представляют собой детерминированные величины, а не случайные.

Дисперсия σ²_a является количественной характеристикой стабильности технологического процесса по исследуемым свойствам.

Выборочную дисперсию средних значений (оценку σ²_a) для разных объёмов отдельных партий вычисляют по формуле

s²_a = (3.28)

и при n₁ = n₂ = … = n_i = … = n_m = n по формуле

s²_a = (s²₁ – s²₂)/n. (3.29)

Пример 3.8. По результатам испытаний провести дисперсионный анализ с целью проверки равенства средних значений

Результаты испытаний	Объём выборки		s^2i
403; 404; 411; 403; 405; 408; 410; 407; 405; 410 413; 408; 415; 415; 416; 408 400; 400; 405; 410; 407; 403 420; 412; 406; 412; 408; 418; 416 400; 410; 415; 416; 403 421; 418; 416; 415; 410 405; 406; 405; 415; 401 425; 421; 415; 420; 419; 416 408; 410; 419; 400; 403 428; 421; 409; 418; 413 408; 418; 416; 416; 415; 410 420; 418; 425; 406; 413 403; 405; 418; 410; 407; 405; 410 412; 406; 412; 408; 418 412; 416; 402; 408; 408	10 6 6 7 5 5 5 6 5 5 6 5 6 5 5	406,6 412,5 404,2 414,6 408,8 416,0 406,4 419,3 408,0 417,8 413,8 416,4 408,3 411,2 409,2	9,16 13,10 15,77 16,95 50,70 16,50 26,80 13,07 53,50 53,70 15,37 52,30 25,24 21,20 27,20

Учитывая, что в каждой партии число образцов n_i ≥ 5 и объёмы выборок неодинаковые, проверку однородности дисперсий производим по критерию Бартлета

По формуле (3.13) вычисляем статистику

χ² = = 11,6337,

где с = 1 + = 1,0777;

s² = = 25,06.

В таблице 2.10 для α = 0,01 и числа степеней свободы k = m – 1 = 14

χ²_0,01 = 29,1

Условие (3.16) выполняется

χ² = 25,06 < χ²_0,01 = 29,1

Следовательно дисперсии можно считать однородными.

Оценку генерального среднего производим по формуле (3.21)

= = 411,33.

Межпартийная компонента дисперсии (3.22) (число степеней свободы k₁ = m – 1 = 14)

s²₁ = = 126,39.

Внутрипартийная (остаточная) компонента дисперсии (3.23) (число степеней свободы k₂ = – m = 87 – 15 = 72)

s²₂ = = 25,4

Дисперсионное отношение

F = s²₁ / s²₂ = 4,974.

Меньше табличного (таблице 3.3)

В этом случае все рассматриваемые результаты испытаний принадлежат одной генеральной совокупности, распределённой нормально с параметрами

= 411,33.

s² = 25,06.