21.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости системы векторов.

Рассмотрим алименты x1, x2, xn (1) линейного пространства V.

y=₁x1+₂x₂+…+_nx_n,  принадлежит R.

Система векторов (1) линейно зависима, если

₁x1+₂x₂+…+_nx_n = 0, при этом хотя бы одно не равно нулю.

Система векторов (1) линейно независимой, если

₁x1+₂x₂+…+_nx_n = 0, при всех  = 0.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы одно  выражается через остальные.

1 Всякая система векторов, имеющая нулевой вектор – линейно зависима.

2 Если К векторов (К<n) системы (1) линейно зависима, то и система (1) линейно зависима.

3 Если из системы линейно независимых векторов отбросить r векторов (r<n), то оставшаяся система линейно независима.

4 Если среди векторов системы (1) имеются такие x_k и x_n, что x_k=x_n, то система линейно зависима.

5 Векторы x1+x₂+…+x_n линейно зависимы т. и т.т., когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Пусть n – натуральное число. Линейное пространство V называется n-мерным, если в нем существуют n линейно независимых векторов, а всякие (n+1) линейно зависимы. n-называется размерность линейного пространства. обозначается dimV. Если пространство нулевое, то его размерность = 0. обозначается dimV.

Базисом n- мерного пространства называется любая упорядоченная система n-линейно независимых векторов.

[Теорема]: Критерий линейной зависимости. Система векторов х₁,х₂,…,х_n Î V линейно зависима в том и только том случае, когда хотя бы один из векторов линейно выражается через остальные.

[Док-во]: а) Необходимость. 1) Пусть х₁,х₂,…,х_n – линейно зависимы, тогда найдутся l₁, l₂,…,l_n (|l₁|+|l₂|+…+|l_n|¹0) такие, что l₁x₁+l₂x₂+…+l_nx_n=0. Допустим, что l₁¹0, тогда x₁=(-l₂/l₁)x₂+…+(-l_n/l₁)x_n, т.е. x₁ линейно выражается через остальные вектора.

2) Пусть х_n линейно выражается через вектора х₁,х₂,…,х_n-1, тогда существуют b₁, b₂,…,b_n такие, что х_n=b₁x₁+b₂x₂+…+b_(n-1)x_(n-1) => b₁x₁+b₂x₂+…+b_(n-1)x_(n-1)+(-1)x_n=0. Т.к. b_n=-1¹0, то векторы х₁,х₂,…,х_n линейно зависимы.

б) Достаточность. 1) Если среди элементов х₁,х₂,…,х_n имеется нулевой элемент 0, то эти элементы линейно зависимы. 2) Если система содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима. 3) Если система линейно независима, то любая ее подсистема линейно независима.

22.Базис и размерность лп.

Базис и размерность пространства

Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.

На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.

        Определение 18.2   Базисом линейного пространства  называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.         

В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

Пример 18.2   Пусть  -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.

Предположим противное. Пусть векторы  образуют в этом пространстве базис.

Каждый вектор пространства   -- это многочлен. Пусть

Размерность линейного пространства. Теорема о связи размерности и базиса.

[О.1]: Линейное пространство V называется n-мерным, если в нём существует n линейно независимых элементов, а любые (n+1) элементов линейно зависимыми. n называют размерностью пространства V.

dimV=n – обозначение.

[О.2]: Пространство называют конечномерным, если в нем существует конечное число линейно независимых векторов, в противном случае пространство называется бесконечномерным.

[Теорема]: 1) Если V – n-мерное линейное пространство, то любая упорядоченная система из n линейно независимых элементов этого пространства образует его базис. 2) Если в V существует базис из n элементов, то dimV=n.

[Док-во]: 1) По определению 1 в n-мерном линейном пространстве V существует система из n линейно-независимых элементов (e₁,e₂,…,e_n) Возьмём произвольный элемент х пространства V, тогда по определению 1 система (n+1) элементов (x,e₁,e₂,…,e_n) линейно зависима => a₀х+a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n=0 (|a₀|+|a₁|+…+|a_n|¹0) a₀¹0, т.к. e₁,e₂,…,e_n – линейно независимы. x=(-a₁/a₀)e₁+(-a₂a₀)e₂+…+(-a_na₀)e_n. Т.к. х-произвольный элемент V, то это равенство доказывает, что система e₁,e₂,…,e_n является базисом пространства V. 2) Пусть система из n элементов e₁,e₂,…,e_n является базисом пространства V. Тогда достаточно доказать, что любые (n+1) элементов этого пространства x₁,x₂,…,x_n+1 линейно зависимы (т.к. e₁,e₂,…,e_n – линейно зависимы)

(x₁=a₁₁e₁+a₁₂e₂+…+a_1ne_n; x₂=a₂₁e₁+a₂₂e₂+…+a_2ne_n;…; x_n+1=a_(n+1)1e₁+a_(n+1)2e₂+…+a_(n+1)ne_n), где a₁₁,a₂₂,…,a_(n+1)n – некоторыечисла.

Очевидно, линейная зависимость элементов x₁,x₂,…,x_n+1 эквивалентна линейной зависимости строк матрицы A=||a₁₁,a₁₂,…,a_1n;…;a_(n+1)1,a_(n+1)2,…,a_(n+1)n||, но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т.к. порядок базисного минора этой матрицы (содержащей (n+1) строк и n столбцов) не превосходит n, и хотя бы одна из (n+1) её строк не является базисной и по теореме о базисном миноре (Теорема о базисном миноре: Базисные строки линейно независимы. Любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных строк. Аналогично и для столбцов.) представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк.

[Сл.1]: Если в V существует базис из n элементов, то любой базис пространства состоит из n элементов.

[Сл.2]: В линейном пространстве базисов бесконечно много.

23.Основная теорема о связи базиса и размерности ЛП. Теорема. (о связи между базисом и размерностью)

1. Пусть dimV=n; тогда базис в V будет образовывать любую ЛНЗС из n элементов.

2. Пусть e₁,…,e_n – базис ЛП в V. Тогда dimV=n=число элементов в базисе.

Доказательство:

1. dimV=v. Берем в V какую-либо ЛНЗС из n элементов x₁,x₂,…x_n (такая система найдется по определению размерности)

Условие 1 в Опр1 уже есть. Проверим 2.

Возьмем любой xV и рассмотрим систему

она ЛЗ (по определению размерности)

x=ЛК x₁,x₂,…x_n, т.е. условие 2 по Опр1 базиса тоже выполнено.

Итак, любая ЛНЗС из n элементов является базисом ЛП в V.

----------------------------------

[О.1]: Линейное пространство V называется n-мерным, если в нём существует n линейно независимых элементов, а любые (n+1) элементов линейно зависимыми. n называют размерностью пространства V.

dimV=n – обозначение.

[О.2]: Пространство называют конечномерным, если в нем существует конечное число линейно независимых векторов, в противном случае пространство называется бесконечномерным.

[Теорема]: 1) Если V – n-мерное линейное пространство, то любая упорядоченная система из n линейно независимых элементов этого пространства образует его базис. 2) Если в V существует базис из n элементов, то dimV=n.

[Док-во]: 1) По определению 1 в n-мерном линейном пространстве V существует система из n линейно-независимых элементов (e₁,e₂,…,e_n) Возьмём произвольный элемент х пространства V, тогда по определению 1 система (n+1) элементов (x,e₁,e₂,…,e_n) линейно зависима => a₀х+a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n=0 (|a₀|+|a₁|+…+|a_n|¹0) a₀¹0, т.к. e₁,e₂,…,e_n – линейно независимы. x=(-a₁/a₀)e₁+(-a₂a₀)e₂+…+(-a_na₀)e_n. Т.к. х-произвольный элемент V, то это равенство доказывает, что система e₁,e₂,…,e_n является базисом пространства V. 2) Пусть система из n элементов e₁,e₂,…,e_n является базисом пространства V. Тогда достаточно доказать, что любые (n+1) элементов этого пространства x₁,x₂,…,x_n+1 линейно зависимы (т.к. e₁,e₂,…,e_n – линейно зависимы)

(x₁=a₁₁e₁+a₁₂e₂+…+a_1ne_n; x₂=a₂₁e₁+a₂₂e₂+…+a_2ne_n;…; x_n+1=a_(n+1)1e₁+a_(n+1)2e₂+…+a_(n+1)ne_n), где a₁₁,a₂₂,…,a_(n+1)n – некоторыечисла.

Очевидно, линейная зависимость элементов x₁,x₂,…,x_n+1 эквивалентна линейной зависимости строк матрицы A=||a₁₁,a₁₂,…,a_1n;…;a_(n+1)1,a_(n+1)2,…,a_(n+1)n||, но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т.к. порядок базисного минора этой матрицы (содержащей (n+1) строк и n столбцов) не превосходит n, и хотя бы одна из (n+1) её строк не является базисной и по теореме о базисном миноре (Теорема о базисном миноре: Базисные строки линейно независимы. Любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных строк. Аналогично и для столбцов.) представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк.

[Сл.1]: Если в V существует базис из n элементов, то любой базис пространства состоит из n элементов.

[Сл.2]: В линейном пространстве базисов бесконечно много.