3. Модификация метода моделирования дискретных случайных величин с повышенной эффективностью.

Сократим число циклов. Математическое ожидание числа циклов (сколько в среденем раз будем вычитать до того как получим :- единица появляется из-за того что в любом случае программа должна выполнится хотя ба 1 раз.

дает вклад в это число, его надо уменьшить.

В этом случае большая, т.к совершается много шагов.

В этом случае значительно меньше.

Суть метода заключается в том что, получив (сгенерировав) мы начинаем проверку не с первого отрезка, а делаем сразу большой шаг, а потом смотрим, осталось ли оно справа или слева, после чего идем все меньшими шагами в нужную сторону.

Рассмотрим пример с распределением Пуассона. (на графике изображены вероятности). В этом распределении максимум соответствует среднему значению . пусть - максимальная из вероятностей, тогда (в этом примере)- целая часть есть смысл это делать, если, т.к. если оно близко к 1 то теряется смысл этого алгоритма, потому что мы не сделаем в начале «большой шаг». Можно вычислить .

Присваиваем Р – максимальное значение вероятности, m – ее номер, а Q – значение суммы всех предыдущих вероятностей. Значение будет больше нуля, еслисправа от отрезка, и меньше в противном случае. Если , то мы уменьшаем значение, и снова сравниваемс нулем. Если, то значит мы попали в нужный отрезок и числоmдаст номер ответа. Если, то снова немножко уменьшаем значение Р и проверяем М. Если , то сравниваем с нулем величину, если, то мы попали в нужный отрезок иmдаст номер ответа. Если нет, то изменяем значение Р и снова проверяем М.

4. Общий метод моделирования непрерывных случайных величин.

Из получаем- непрерывная величина:, которая подчиняется заданному распределению, т.е. известна либо функция распределения, либо плотность распределения:.

Пусть решаем неравенство относительно.

- монотонно возрастающая. Можем записать первое равенство потому что события иабсолютно эквивалентны между собой. А второе равенство можно записать следуя определению и свойствам случайной величины:равномерно распределена на отрезке от 0 до 1, тогда можно записать что вероятность, а нашем случае как раз ситуация когда.

Таким образом или. Т.е. в качестве функции, которая преобразуетв искомую случайную величинуберем функцию обратную данной функции распределения.

- монотонно убывающая. Таким образомили.

Получили что

иобладают одинаковыми распределениями и следовательно их не отличаем, поэтому общая формула для получения непрерывной случайной величины имеет вид:

Этот метод называется методом обратных функций.

Эквивалентная формула через плотность: решить относительно уравнение(или решить относительноуравнение).

Используем этот метод, чтобы промоделировать длину свободного пробега.

- вероятность того что частица провзаимодействует на отрезке [x,x+dx].

Она складывается из вероятностей долететь до этого участка и из вероятности на нем провзаимодействовать.

Какой вид будет иметь ?

	вероятность того, что пробег не меньше х	вероятность провзаимодействовать на [x, x+dx]

Тогда и полное решение запишется в виде (математически корректно записать так):.

Для того чтобы промоделировать :. Под знаком логарифма должна стоять величина, равномерно распределенная на [0.1], поэтомузаменили на.