1. Классическое определение вероятности

Вероятностное пространство есть тройка (,,P), где={}– непустое множество, элементыкоторого интерпретируются как взаимно исключающие исходы изучаемого случайного явления;– набор подмножеств множества, называемых событиями (является-алгеброй, т.е. предполагается, что множествосодержити замкнуто относительно взятия противоположного события и суммы событий в не более чем счетном числе); вероятностьP– функция, определенная на событияхAи удовлетворяющая следующим условиям:

1. P{A}0 при любомA.

2. P{}=1.

3. , еслиA_iA_j=при любыхij.Здесь символобозначает пустое множество или невозможное событие.

Пусть ={₁,…,_n}. В-алгебру событийвключаются все 2ⁿподмножествA={,…,} множества. В классическом определении вероятности полагаютP(_j)=1/n,j=, поэтому вероятность событияA={,…,}равна отношению числа элементарных событий_j, входящих вA, к общему числу элементарных событий в:

.

Классическое определение вероятности является хорошей математической моделью тех случайных явлений, для которых исходы опыта являются в каком-то смысле симметричными, и поэтому представляется естественным предположение об их равновозможности.

Геометрическая вероятность

Пусть –ограниченное множествоn-мерного евклидова пространства. Будем предполагать, чтоимеет объем. Рассмотрим системуподмножеств множества. Для любогоAположим

P{A}=,

где (С)–объем множестваС. Если под объемом множеств понимать его меру Лебега, то система множеств– это-алгебра измеримых по Лебегу множеств, и тогда функцияP{A} является вероятностью. Отметим, что система, в частности, содержит все подмножества, измеримые по Жордану. В большинстве задач рассматривается именно этот частный случай.

Формула сложения вероятностей. Урновые схемы.

Приведем две часто встречающиеся вероятностные схемы. Пусть ={i₁,…,i_n}-упорядоченный набор изnэлементов множества,nm. Вероятностная схема, в которой

={={i₁,…,i_n}:i_k,k=}

и все элементарные события равновероятны, называется схемойслучайного выбора с возвращением. ||=mⁿ.

Схемой случайного выбора без возвращенияназывают вероятностную схему, в которой

={={i₁,…,i_n}:i_k,k=, средиi₁,…,i_nнет одинаковых}

и элементарные события равновероятны. ||=m(m–1)…(m–n+1).

При вычислении вероятности часто оказываются полезными различные комбинаторные формулы. Приведем основные из них. Пусть дано множество B={b₁,…,b_m} изmэлементов. Подмножества множестваBназываются сочетаниями. Число сочетаний, которое можно образовать изmэлементовB, выбирая различными способами подмножества поnэлементов, обозначают. Справедлива формула

(говорят “n из m”или “из mпо n”).

Упорядоченные цепочки , образованные из различных элементов, называются размещениями. Число размещений, образованных выбором различных упорядоченных цепочек длиныnизmэлементов, обозначают. Дляимеем формулу

= m(m–1)…(m–n+1) ( число различных размещений изmпоn).

Частный случай размещения при m=nназываютперестановкой. Число различных перестановок, образованных изmэлементов, равноm!.

Событие A+Bназываетсясуммой событийA и B, еслиA+Bпроисходит, когда происходит хотя бы одно из событийA или B.Произведение событийAB– это событие, состоящее в том, что происходит и событиеA, и событиеB. СобытияA и Bнесовместны, еслиA и Bне могут произойти одновременно. Если событияA и Bнесовместны, тоAB–невозможное событие.

Если использовать задание случайных событий посредством перечисления благоприятствующих элементарных событий, то суммой событий A+Bможно назвать событие, состоящее из элементарных событий, каждое из которых входит хотя бы в одно из событийA или B; произведениеABсостоит из элементарных событий, входящих и вA, и вB.

Справедлива формула

P{A+B}= P{A}+ P{B}– P{AB}.

Если среди событий A₁,…, A_nлюбые два события несовместны, то

P{A₁+…+ A_n}= P{A₁}+…+ P{A_n}.

Событие , противоположное событиюA, состоит в том, чтоAне произошло.

Формула

P{A}=1– P{}

оказывается полезной в тех случаях, когда вероятность события вычислить проще, чем вероятность событияA.