Производящие и характеристические функции.
Характеристической функцией случайной величины называется функция действительного переменного t
f(t)=Eeit, –<t<+,
в частности, если распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность (x), то
,
если –дискретная случайная величина, то
.
Производящей функцией случайной величины называется функция комплексного переменного z
, |z|1.
Свойства характеристической функции:
1. Если P{||<}=1, то f(0)=(1)=1.
2. Если E ||k< для некоторого целого k1, то ,.
3. Если случайные величины 1,…, n независимы, то
, .
В частности, ,.
Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Пусть 1,2,…n–независимые одинаково распределенные случайные величины, причемEj=a, Dj==2<. Тогда
для любого>0, (1)
Соотношение (1) называется законом больших чисел.
Центральная предельная теорема. Если 1,2,…–независимые одинаково распределенные случайные величины, En=a, Dn=2< (n=1,2,…),то для любых–<x1< x2<,
.
Цепи Маркова. Определение. Марковское свойство.
Цепь Маркова является моделью зависимых испытаний, в которых исход в данном испытание зависит лишь от последнего известного исхода и не зависит от более далекого прошлого. Обычно исходы в цепях Маркова называются состояниями цепи Маркова.
Будем считать, что nсостояний цепи Маркова занумерованы числами 1, 2,…,n. Элементарным событием вmиспытаниях цепи Маркова является цепочки состояний, или исходов, длиныm+1, описывающие начальное состояние и результатыmиспытаний: (i0, i1,…, im). Здесь исходitможет при любомt(t=) может принимать любое значение 1, 2,…,n. Таким образом, множество элементарных событий
m={ (i0, i1,…, im):it=,t=}.
Если обозначить Atисход в испытанииtцепи Маркова, то условие независимости от более далекого прошлого можно записать в виде
P(At+1| A0…At)= P(At+1| At), t= . (1)
Иногда номер испытания называют моментом времени.
Мы будем предполагать, что цепь Маркова однородна во времени. Пусть событием Atявляется наступление исходаiвt-м испытании, аAt+1является наступление исходаjв (t+1)-м испытании. В этом случаеP(At+1|At)=pij,t=. Вероятностьpijявляется условной вероятностью того, что в испытанииt+1 состоянием цепи Маркова былоj, если в моментtсостояниемi. Эти вероятности называютсявероятностями перехода или переходными вероятностями.
Если задать вероятности q0,…, qnначальных состояний (состояний перед началом испытаний) цепи Маркова и переходные вероятностиpij(i,j=), то
P(i0, i1,…, im)=.
Для задания вероятностей достаточно задать матрицу вероятностей перехода
,pij0,, (i,j=)
и вектор начальных состояний(q0,…, qn),qj0,j=,.
Цепи Маркова 2
Пусть t (t=0, 1, 2,…) состояние однородной цепи Маркова в моментt. Положимpij(t)=P{t=j|0=i}. Тогда (системы уравнений Колмогорова)
.
Обозначим P(t) матрицу вероятностей переходаpij(t):
.
Тогда P(t+s)=P(t)P(s),P(t)=Pt, гдеP=P(1) – матрица вероятностей перехода за один шаг.
Теорема.Если при некотором t0>0 все элементы матрицы положительны, то существуют положительные пределы
и не зависят от начального состояния. Предельные вероятности удовлетворяют системе уравнений
Распределение 1,…,nназываетсястационарным распределением.
Обозначим j(t) время пребывания, или число попаданий в состояниеj, цепи Маркова за времяt. Будем говорить, что частотаj(t)/tпопадания в состояниеjудовлетворяет закону больших чисел, если для любого>0 приt
.
При изучении величины j(t) часто оказывается полезным ее представление в виде суммы:
j(t)= j(1)+ j(2)+…+ j(t),
где j(s)=1, если в моментs(s=) состоянием цепи былоj, и j(s)=0 в противном случае.