Вопросы по ТВиМС

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

1. Вероятностное пространство. События и их свойства.

2. Алгебра событий и -алгебра. Вероятностная мера и ее свойства.

3. Дискретные и конечные схемы. Равномерное, гипергеометрическое, биномиальное, полиномиальное распределения.

4. Случайные величины (с.в.). Индикаторы, простые с.в. Функция распределения с.в. и ее свойства.

5. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения. Плотность.

6. Многомерные с.в., их функции распределения. Независимость с.в.

7. Условные вероятности и независимые события. Формула полной вероятности и формула Байеса.

8. Функции распределения и плотности многомерных с.в. с независимыми компонентами.

9. Функция распределения и плотность суммы независимых с.в.

10. Независимые испытания. Схема Бернулли и полиномиальная схема.

11. Математическое ожидание (м.о.) с.в. и его свойства. М.о. функции от с.в., произведения с.в.

12. Моменты, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Условное м.о.

13. Неравнство Коши-Буняковского. Неравенства Чебышёва.

14. Производящие функции (п.ф.) целочисленных с.в. Мультипликативное свойство п.ф.с.в. Теорема непрерывности.

15. П.ф. биномиального, полиномиального, пуассоновского, равномерного дискретного распределения. Производящая функция моментов.

16. Характеристические функции (х.ф.) с.в. и их свойства. Х.ф. нормального, равномерного, гамма-распределений.

17. Формула обращения и теорема непрерывности для х.ф.

18. Сходимость с.в. Виды сходимости. Предельные теоремы для схемы Бернулли: теорема Пуассона о редких событиях, теоремы Муавра-Лапласа.

19. Закон больших чисел (ЗБЧ). Теоремы Чебышёва, Бернулли.

20. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых.

21. Х.ф. многомерных распределений и их свойства.

22. Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения.

23. Цепи Маркова (ц.М.). Матрица переходных вероятностей. Вероятности достижения состояний, условные вероятности перехода из состояния в состояние.

24. Стационарное распределение на состояниях ц.М. Теорема существования стационарного распределения.

25. Теорема о пределе степеней матрицы переходных вероятностей, имеющей неотрицательную степень. Стационарное распределение для такой ц.М.

26. Распределения экстремальных значений с.в. Теорема о предельном распределении максимума. Предельное распределение максимума с.в., равномерно распределенных на отрезке.

27. Предельное распределение максимума нормальных с.в..

28. Общая проблема статистических решений.

29. Несмещенность решающих правил.

30. Проверка статистических гипотез. Основные определения и свойства.

31. Лемма Неймана-Пирсона.

32. Оптимальный критерий для проверки простых гипотез о среднем значении нормального распределения.

33. Оптимальный критерий для проверки простых гипотез о дисперсии нормального распределения.

34. Оптимальный критерий для проверки простых гипотез о вероятности успеха в схеме Бернулли .

35. Последовательный критерий отношения правдоподобия. Постановка задачи. Выбор границ. Свойства вероятностей ошибок приближенного критерия

36. Тождество Вальда.

37. Несмещенные критерии. Определение и свойства.

38. Равномерно наиболее мощный несмещенный критерий для проверки простой гипотезы при сложной двусторонней альтернативе (для матожидания нормального распределения).

39. Оценка среднего числа наблюдений в последовательном критерии отношения правдоподобия с помощью тождества Вальда.

40. Достаточные статистики. Необходимое и достаточное условие достаточности.

41. Выборочное распределение. Эмпирическая функция распределения. Теоремы Колмогорова и Гливенко.

42. Оценка моментов распределения.

43. Оценка параметров нормального распределения.

44. Оценка вероятности успеха в схеме Бернулли.

45. Теорема Фишера. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

46. Метод максимума правдоподобия