Учебники и справочники / Обработка результатов наблюдений. Учебное пособие по метрологии

Если отсутствуют данные о функциях распределения составляющих погрешности, то результаты измерений представляют в виде: X ; Sx ; n ; θ при доверительной вероятности P = PД .

111

10 Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях значение искомой физической величины Y находится на основании результатов измерений аргументов (отдельные

результаты наблюдений в ряду измерений) x1 , x2 , …, xm ,	связанных с
искомой величиной известной функциональной зависимостью:
Y = F(x1, x2 ,K, xm ).	(10.1)

Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей могут быть получены из прямых, косвенных, совокупных, совместных измерений или из литературных источников.

Функция F должна быть известна из теоретических предпосылок или установлена экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь.

При оценивании доверительных границ погрешностей результата косвенного измерения обычно принимают вероятность, равную 0,95 или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.

В пособии рассматривается определение результатов косвенных измерений и оценивание их погрешности при условии, что в процессе выполнения измерений параметры объекта не изменяются во времени.

Разработаны методики /19/ определения результатов косвенных измерений и оценки их погрешности:

1)при линейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями изменений аргументов;

2)при нелинейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов;

3)для коррелированных погрешностей измерений аргументов при наличии рядов отдельных значений измеряемых аргументов.

10.1Обработка результатов косвенных измерений при линейной зависимости

Для решения задачи косвенных измерений необходимо, чтобы были известны: вид функций, результаты измерений аргументов x1 , x2 , …, xm , и

оценки их погрешностей.

Условием справедливости нулевой статической гипотезы об отсутствии корреляционной связи между погрешностями результатов измерения i-го и (i +1)-го аргументов является выполнение неравенства для критерия Стьюдента.

t = r	n −2	,	(10.2)
1−n2

где n – число измерений.

112

Значение t , полученное из (10.2), сопоставляют с табличным значением tq , которое берут для принятого уровня значимости q и числа

степеней свободы f = n −2 . При t > tq подтверждается значимость

выборочного коэффициента корреляции.

При условии, что распределение случайных погрешностей результатов измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, критерием отсутствия корреляционной связи между погрешностями результатов измерений аргументов является выполнение неравенства.

r

n −2

< tq ,

(10.3)

1−r 2

где tq

– коэффициент

Стьюдента,

соответствующий

уровню

значимости q и числу степеней свободы f = n −2 ;

r

– оценка коэффициента корреляции между погрешностями

аргументов xh и x j , найденная по формуле:

∑n (xh

−

h )(x ji −

j )

X

X

i

r =

i=1

,

(10.4)

∑n

(xh −

h )2 ∑n

(x ji −

j )2

X

X

i=1

i

i=1

где xh

; x ji

– результаты i-го измерения h-го и j-го аргуменов;

i

n j

= ni

= n – число измерений каждого из аргументов.

Если измеряемая величина зависит от m аргументов, необходимо проверить отсутствие корреляционных связей между погрешностями всех парных сочетаний аргументов.

Если существует линейная зависимость и отсутствует корреляция между погрешностями измерений аргументов, то обработку результатов

выполняют в следующей последовательности.
		Искомое значение Y	связано	с m	измеряемыми	аргументами
x1 ,	x2	, …, xm , уравнением:
		Y = b1 x1 +b2 x2 +K+bm xm ,				(10.5)
		где b1, b2 , K, bm – постоянные		коэффициенты при		аргументах
x1 ,	x2	, …, xm , соответственно.				b1, b2 , K, bm
		При экспериментальном	определении		коэффициентов

результат измерения величины получается после выполнения 2-х этапов.

113

На первом этапе оцениваются каждое слагаемое bi xi как косвенно

измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин. На втором этапе находят оценку измеряемой величины Y .

Результат косвенного измерения для известных значений результатов аргументов (т. е. точечные оценки рядов измерений аргументов) x1 , x2 , …, xm равен:

= F(

1,

2 ,

3,...,

m ).

(10.6)

Y

X

X

X

X

вычисляется по формуле:

Или, с учетом зависимости 10.5, результат Y

m

= ∑bi

i ,

(10.7)

Y

X

i=1

где Xi – результат измерения i-го аргумента (параметра Xi );

m – число аргументов.

Причем, следует напомнить, что каждый аргумент (в случае многократных измерений) может быть повторен n раз.

Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения вычисляется по формуле:

m

∂F

2

m

2

2

SY = ∑

S Xi

=

∑bi

S Xi

,

(10.8)

i=1

∂X i

i=1

где SX i – оценка среднего квадратического отклонения измерения аргумента xi , определяемого по известной формуле.

10.1.1 Представление результатов измерений

Ввиду того, что каждый аргумент может иметь соответствующие доверительные границы неисключенной систематической и случайной погрешностей, то задача определения погрешности косвенного измерения в этих случаях делится на три этапа:

а) суммирование частных неисключенных систематических погрешностей аргументов;

б) суммирование частных случайных погрешностей аргументов; в) сложение систематической и случайной составляющих погрешности.

Доверительная граница неисключенной систематической погрешности косвенного измерения при условии одинаковой доверительной вероятности

114

частных погрешностей и их равномерного распределения внутри заданных границ определяется по формуле (без учета знака):

			m		∂x	j		2
	θy	= k ∑						∆2x j ,		(10.9)
					∂F
			j=1
	где θy – доверительная	граница				неисключенной				систематической

погрешности среднего значения X j -го аргумента.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами оценка СКО случайной погрешности косвенного измерения вычисляется по формуле:

m		∂F	2
S y = ∑			Sx2j ,	(10.10)
j=1		∂x j

где Sx j – оценка СКО случайной погрешности результата измерения X j -го аргумента.

При нормальном распределении погрешностей косвенного измерения доверительная граница случайной составляющей погрешности вычисляется по формуле:

&	S y ,	(10.11)
∆ = ±t p
где t p – квантиль Стьюдента при	доверительной	вероятности P с

эффективным числом степеней свободы kэф, определяемом при малых объемах выборки по формуле:

m

∂F

2

2

∑

Sx2j

∂x j

j=1

kэф =

−2 .

(10.12)

m

1

∂F

4

∑

Sx4j

n

+1

∂x

j=1

j

j

При больших объемах число степеней свободы находится по формуле:

115

k =		m2		.
	m	1
				(10.13)
	∑
	j=1 n j −1

Доверительная граница суммарной погрешности результата косвенного измерения определяется по правилам, изложенным выше.

10.2 Обработка результатов косвенных измерений при нелинейной зависимости

Существуют два метода определения точечной оценки результата косвенного измерения и её погрешности: линеаризации и приведения.

10.2.1 Метод линеаризации

Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используется метод линеаризации.

Метод линеаризации основан на том, что погрешность измерения значительно меньше измеряемой величины, и поэтому вблизи средних значений X i аргументов нелинейная функциональная зависимость

линеаризуется и раскладывается в ряд Тейлора (члены высокого порядка не учитываются).

Линеаризуя функцию нескольких случайных аргументов (какими и являются результаты измерений и их погрешности), можно получить, как правило, достаточно простое выражение для вычисления оценок среднего значения и среднего квадратического отклонения функции.

Разложение нелинейной функции в ряд Тейлора имеет вид:

							m		∂F
	Y = F(x1, x2 , x3 , ..., xm )= F(X1, X 2 , X 3 , ..., X m )+ ∑										∆X i + R . (10.14)
							i=1		∂X i Xi

Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом R .

Остаточным

членом

R =

1

m

∂2 F

2

2

∑

2

(∆X i )

пренебрегают, если

i=1

∂X I

i

X

m

∂F

2

2

S Xi

,

где SX

– среднее

квадратическое отклонение

R < 0,8 ∑

i=1

∂X I

i

X

случайных погрешностей результата измерения xi -го аргумента.

116

Первое слагаемое правой части уравнения есть точечная оценка истинного значения косвенной величины, которая получается подстановкой в функциональную зависимость средних арифметических X i , значений

аргументов:

Y = F(

1,

2, K,

m ).

(10.15)

X

X

X

m

∂F

Второе слагаемое ∑

∆X i , есть сумма

составляющих

i=1

∂X i

i

X

погрешности косвенного измерения, называемых частными погрешностями,

а частные производные ∂F - коэффициентами влияния.

∂Xi

Отклонения ∆Xi должны быть взяты из полученных значений

погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R .

Если частные погрешности косвенного измерения не зависят друг от друга, т. е. являются некоррелированными, и известны доверительные границы погрешности аргументов при одинаковой вероятности, то предельная погрешность (без учета знака) косвенного измерения вычисляется по формуле:

m

∂F

∆

x

=

∑j=1

∆x

j

,

(10.16)

∂x j

где

∂F

– значения

частных

производных

функциональной

∂x j

зависимости определяются при средних значениях аргументов

∂F

=

∂F

.

∂x j

∂x j

Этот метод, называемый максимум-минимум, дает значительно завышенное значение погрешности косвенного измерения.

Относительно правильная оценка погрешности косвенного измерения, получается, по методу квадратического суммирования:

∆		= ±	m		∂F		2	.	(10.17)
	y		∑				∆2
							x j
			j=1		∂X I

В ряде случаев расчет погрешности косвенного измерения значительно упрощается при переходе к относительным погрешностям. Для этого используется прием логарифмирования и последующего дифференцирования

117

функциональной зависимости. Когда предельная погрешность косвенного измерения, полученная по методу максимума-минимума:

				m	∂lnY
	δ	y	= ±	∑j=1			∆x	j	,	(10.18)
					∂x j

а по методу квадратического суммирования:

	m	2
		∂lnY ∆2x j .
δ y = ± ∑				(10.19)
	j=1	∂x j

Рассмотрим пример:

На стендовых испытаниях двигателя измерялась тяга с помощью тягоизмерительной системы с погрешностью ±0,12 % и секундный массовый расход m топлива с погрешностью ±0,5 % при доверительной вероятности P = 0,95. Требуется вычислить удельный импульс I двигателя и границы погрешности, если регистрирующие средства измерения показали значения:

PТ = 812 Н; m = 0,2 кг/с.

Функциональная связь имеет вид:

I =	Pm	.	(10.20)
	m

Определим точечную оценку удельного импульса по формуле (10.20):

I = 8120,2 = 4060 Нкгс.

Погрешности аргументов выражены в относительных величинах, поэтому для оценки погрешности удельного импульса используем прием логарифмирования и последующего дифференцирования функциональной зависимости, вычислим по формуле предельную погрешность по методу максимум-минимум (без учета знака):

m

∂lnY

1

1

δ

=

∑j=1

∆x

j

=

∆

p

+

∆

m

= δ

p

+δ

m

;

(10.21)

I

∂x j

P

m

δI = 0,12 +0,5 = 0,62 %.

118

По методу квадратического суммирования относительная погрешность будет:

m

2

m

∂lnY

δI

=

∑

∆2x j

= ∑δJ2 ;

(10.22)

∂x j

j=1

j=1

δI

=

0,122 +0,52

= 0,51 %.

Примем относительную

погрешность

косвенного

измерения

δI = ±0,51 %, тогда абсолютная погрешность находится по формуле:

∆I

= I δI ;

Н с

(10.23)

∆I

= 4060 0,51 %= ± 21

.

кг

Результаты представим в форме:

I =

(4060 ± 21)

Н с

; P = 0,95.

кг

Рассмотрим другой пример:

Определить амплитуду A виброперемещения некоторой точки корпуса вертолета и границы погрешности при доверительной вероятности P = 0,95. По результатам многократных наблюдений получены следующие исходные

данные: частота колебаний				f =145,2 Гц; θ f = 0 ;						S f = 0,04 Гц; n = 20;
амплитуда виброускорения a = 4,2 q ; θa								= 0,1 q ; Sa		= 0,02 q ; n = 20.
Функциональная зависимость имеет вид:
				A =		a			.	(10.24)
						π 2	f 2
				4
Найдем через средние значения аргументов точечную оценку
амплитуды виброперемещения по формуле (10.24):
			4,2 9,8 106
A =								= 49,45 мкм.
			4	π 2 145,22

119

Вычислим доверительную границу (без учета знака) неисключенной систематической погрешности косвенного измерения по формуле, учитывая,

что при P = 0,95; k =1,1.

			m		∂F			2
θ		= k ∑						θx2j ;		(10.25)
	A
					∂x
			j=1			j

θA =1,1 4 π 211452 2 (0,1 9,8 106 )2 =1,30 мкм.

Определим оценку СКО S A случайной погрешности косвенного измерения по формуле (10.26):

m

∂F

2

1

2

1

2

2

2

S A

= k ∑

Sx j =

2

2

Sa

+ −2

2

2

S f ;

(10.26)

4 π

f

f

j=1

∂x j

4 π

1

2

2

S A =

(0,02 9,8 106 ) +

0,042 .

4 π 2 145,22

4 π 2

145,22

Поскольку отношение неисключённой систематической погрешности к

оценке

СКО

S

находится

в

пределах

0,8 <

θ

=

1,30

= 5,4 < 8, то

A

A

S

0,24

A

суммарную погрешность косвенного измерения определяем по формуле:

&

∆A = ±K (∆A

+θA ).

(10.27)

Для этого из таблицы 9.3 при P =

0,95 и θ

= 5,4 находим K = 0,785.

S

Доверительная граница случайной составляющей погрешности (без

учёта знака):

∆

= t0,95 S

= 2,04 0,24 = 0,49 мкм,

A

A

где t0,95 = 2,04

определена

из

таблицы 3.2

при

доверительной

вероятности P = 0,95 и числе степеней свободы, найденном по формуле:

120