Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории - Занг В.Б

Сформулируем задачу на собственные значения

где k — собственное значение, a S — соответствующий собственный вектор. Это уравнение в частных производных размерности 1, и решение его хорошо известно. Обозначим наименьшее собственное значение как k0, а соответствующий собственный вектор как φ(r). Отнормируем этот вектор так, что maxφ(r)= 1. Можно проверить, что k0 и φ(r)положительны.

Теорема 8.5.3. Пусть граничными условиями задачи (8.5.3) являются условия (8.5.12). Тогда тривиальное решение (0,0) задачи (8.5.3) асимптотически устойчиво в глобальном смысле (относительно неотрицательных возмущений), если α1 < k0Θ1, α0 < k0Θ2, и неустойчиво, если α1 > k0Θ1или α2 > k0Θ2.

Если емкость городского пространства слишком мала, в нем не поместится никакая группа. Условие неустойчивости означает, что произвольное малое возмущение тривиального решения приведет к новой городской структуре. Конечно, нас интересует только случай неустойчивости тривиального решения. Равновесие системы (8.5.1) определяется как решение системы уравнений

Теорема 8.5.4. Пусть система (8.5.3) удовлетворяет граничным условиям (8.5.12). Тогда

i)Если α1 > k0Θ1и α2 < k0Θ2, то система (8.5.14) имеет единственное положительное решение (X* (r), 0); и для любой пары начальных функций (F, H), удовлетворяющих условиям

где ε может быть произвольно малым, решение (8.5.3) удовлетворяет условиям

ii)Если α1 > k0Θ1 и α2 > k0Θ2, то система (8.5.13) обладает положительным решением (0, Y* (r)), и для любой пары начальных функций (F, H), удовлетворяющих условиям

где ε может быть произвольно малым, решение системы (8.5.3) удовлетворяет условиям

Так как α1 > k0Θ1, условие α2 < k0Θ2 в пункте (i) можно переписать в виде Θ1/k1 < a/k0 < Θ2/k2; это означает, что вместимость городского пространства ограничена сверху характеристикой группы 1 и снизу — группы 2. В этом случае группа 2 с течением времени вытиснится группой 1.

Наконец, можно показать, что если α1 > k0Θ1 α2 > k0Θ2 то при подходящих начальных условиях в системе могут сосуществовать обе группы. Явный вид таких начальных условий можно найти в работе Занга (1989с).

8.6Урбанистические образования типа бегущих волн

В предыдущих разделах мы анализировали разнообразные проблемы градоформирования. Было показано, что число возможных форм городских структур в структурно устойчивых системах довольно ограничено. Неустойчивость увеличивает разнообразие городских структур. Чтобы проиллюстрировать, как именно неустойчивость может усложнить городскую систему, мы рассмотрим модель города, которая вблизи неустойчивых особых точек ведет себя подобно бегущей волне. Эта модель была предложена автором книги (Занг,

1989е).

Географические характристики рассматриваемой городской системы подобны тем, что приведены в разд. 8.4. Предполагается, что модель описывается двумя переменными:

n(r,t) — плотность населения в точке (r,t); q(r,t) — качество жилищного фонда в точке (r,t),

где r — расстояние от ЦДР до места проживания.

Следует подчеркнуть, однако; что модель, обсуждаемая в разд. 8.4, касается иных аспектов процесса формирования городской структуры, нежели та модель, которую мы будем строить здесь.

Предполагается, что в течение изучаемого периода численность населения не изменяется. Мы пренебрегаем демографическими процессами и процессами миграции между городом и «внешним миром». Согласно работе Занга (1989е), городская система описывается следующими динамическими уравнениями:

где G обозначает область городского пространства, а — параметр адаптации, Θ и δ — соответственно параметр диффузии населения и скорость разрушения жилого фонда. Система удовлетворяет определенным начальным и граничным условиям. Диффузионные эффекты изменения качества жилья отсутствуют.

Для интерпретации (8.6.1) опустим диффузионный член. Итак, имеем

Считается, что вид функции f(q) можно найти из предположения рациональности поведения домохозяйств. Эта функция определяет равновесное значение плотности населения при заданном качестве жилого фонда.

Уравнение (8.6.2) описывает, как качество жилья изменяется во времени. Член —δq описывает эффекты разрушения жилого фонда. Предполагается, что состояние жилищ поддерживается владельцами, которые определяют величину расходов на содержание жилого фонда, и стоимость жилья зависит от дохода владельца с единицы жилого фонда. Пусть общий доход обозначен как I. Доход в определенной точке зависит от плотности населения и качества жилого фонда, т. е. I = I(n, q), причем производная In этого функционала знаконеопределена, а производная Iq положительна. Знак In в общем случае при фиксированном уровне q не определен, так как увеличение либо уменьшение дохода при увеличении плотности населения зависит от конкретной ситуации. Производная Iq положительна, потому что улучшение качества жилья при фиксированном уровне плотности населения должно привести к возрастанию дохода владельца. Предполагается, что затраты на поддержание жилого фонда положительно связаны с доходом, т. е. dH/dI > 0. Для простоты мы определим функцию затрат на поддержание жилого фонда как

где µ и σ — положительные коэффициенты. Если интерпретировать q2/(l + σn) как ренту единицы жилого фонда, то величина nq2/(1+σn) представляет собой полный доход домовладельца в данной точке. Параметр µ можно интерпретировать как отношение затрат на поддержание фонда к общему доходу.

Для анализа системы проведем следующие преобразования:

В результате система (8.6.1)-(8.6.2) может быть записана как

с соответствующими начальными и граничными условиями. Мы предполагаем, что в системе (8.6.5) асимптотическое равновесие существует. Нас интересует существование периодических решений типа бегущих волн вблизи асимптотического статического равновесия. Для решения этой задачи воспользуемся теорией бифуркаций.

Периодические решения типа бегущих волн обычны для уравнений в частных производных и часто наблюдаются в физике, химии и биологии. Подобное поведение можно проиллюстрировать схемой, приведенной на рис. 8.11. Если интерпретировать такое поведение как эволюцию городской структуры в пространстве, то видно, что в начальной стадии наиболее плотно заселенное пространство, т. е. пространство с наибольшей разностью между реальной и равновесной плотностью, располагается вблизи ЦДР. С течением времени наиболее плотно заселенное пространство удаляется от ЦДР, и позже наибольшую плотность можно обнаружить около середины прилегающего к центру городского пространства.

Решение системы (8.6.5) типа бегущей волны можно записать в

виде

где ε — положительный параметр, который нужно еще определить. Периодическая городская структура типа бегущей волны определяется как решение, периодическое относительно r - εt. Введя функцию W(r - εt) = N'(r - εt) и подставив (8.6.6) в (8.6.5), мы получим

где штрих означает производную по (r- εt). Таким образом, наша задача сводится к доказательству существования предельного цикла в системе (8.6.7). Здесь применима теорема Хопфа о бифуркациях.

Как показано в работе автора (Занг, 1989е), равновесие в системе (8.6.7) — которое обозначим далее как (N0, W0, Q0), где W0 = 0, — определяется по схеме, изображенной на рис.

8.12.

Доказательство существования предельных циклов можно провести, используя метод теории бифуркаций, описанный в гл. 5. В работе Занга (1989е) доказана следующая теорема:

Теорема 8.6.1. Имеется непустое множество значений параметров, при которых в системе (8.6.7) существует периодическая

Рис. 8.12. Существование единственного положительного равновесия.

городская структура типа бегущей волны вида

где D определяется параметрами задачи, а ε достаточно мало.

Следует заметить, что в качестве бифуркационного мы выбрали параметр ν. Поскольку ν = δ/а, значение этого параметра может быть изменено либо при изменении фактора износа жилого фонда, либо при изменении скорости установления в уравнении для плотности населения. Как сказано в работе Занга (1989е), теорема утверждает, что при малом возмущении бифуркационного параметра формируется новая городская структура. Статическая асимптотическая городская структура бифурцирует к зависящей от времени структуре типа бегущей волны.

Так как параметр ε достаточно мал, завершение полного цикла в системе требует значительного времени.

8.7Неустойчивости и градообразование

В этой главе мы рассматриваем разнообразные модели города в рамках приближения динамического пространственного взаимодействия. Так же, как и в предыдущих главах, нас интересует неустойчивая эволюция города. Разобранные нами примеры показывают, что неустойчивость является источником сложной эволюции. Основной упор в этой главе был сделан на характер городской структуры и ее изменений. Было показано, что вследствие малых изменений внешней среды от однородной, не зависящей от времени городской структуры могут бифурцировать пространственно упорядоченные, зависящие от времени гетерогенные структуры.

Из примеров, приведенных здесь, мы видим, какую важную роль в процессе формирования городской структуры играет фактор диффузии: неустойчивая модель города может быть стабилизирована введением пространственных переменных. Конечно, можно найти и противоположные примеры. Фактически влияние размеров и фактора диффузии на эволюцию города еще мало изучено. Представляется, что малые городские ареалы имеют тенденцию к однородности, тогда как большие — к гетерогенности. Поскольку процесс расширения города обычно течет очень медленно, мы можем рассматривать размер города как бифуркационный параметр. При переходе этого параметра через некоторые критические значения могут развиться более сложные городские структуры. Это

интуитивное предположение приводит к иному объяснению разнообразия и сложности эволюционных процессов в городах. Однако, чтобы хорошо понять подобные процессы, необходимо построить более сложные модели городов и разработать более мощные аналитические методы исследования.

Приложение: Структурные изменения в двухкомпонентной модели

В этом приложении мы приведем два примера моделей формирования структур. Мы покажем, как применяются различные аналитические методы к исследованию поведения решений уравнений в частных производных. Важным примером для объяснения концепции зарождения порядка из хаоса служит в синергетике модель морфогенеза (см. Хакен, 1977). В качестве же примера, иллюстрирующего процесс самоорганизации в диссипативной системе, хорошо известна модель брюсселятора.

8.7.1 Модель морфогенеза

Прекрасной моделью морфогенеза является гидра — живое существо длиной в несколько миллиметров, состоящее из ~ 105 клеток примерно 15 типов. Предполагается, что процесс морфогенеза может вызываться участием в биохимических процессах по крайней

мере двух типов химических веществ: активатора и ингибитора. Обозначим концентрацию активатора буквой а, а ингибитора — буквой h. Модель записывается следующим образом:

где r, k', s, с, v, Da и Dh, — константы, x — дистанционный параметр. На рис. 8.13 и 8.14 показаны некоторые результаты численного решения этой системы (см. Хакен, 1977). Поскольку нас не интересуют конкретные значения параметров, просто опишем некоторые возможные структуры.

Рис. 8.14. Двумерная модель морфогенеза: а) концентрация активатор»! b) концентрация ингибитора.

Введя обозначения

мы можем переписать (8.А.1) как

Стационарное однородное решение системы (8.А.2) имеет вид

Введя параметры q1 = А – A0 и q2 = Η — Н0, получим новую форму системы (8.А.2)

Для линейного анализа устойчивости стационарного решения этого Уравнения, опустив g(q) и подставив q = αβxρ(ίβφ + θt), где α, β и φ[= (X,Υ)T] — векторы, мы получим следующие собственные значения:

Легко показать, что при некоторых значениях β и R имеет место неустойчивость. Применяя к задаче принцип подчинения, Хакен (1977) аналитически показал, что из этой нелинейной системы могут зарождаться очень сложные структуры21.

8.7.2 Брюсселятор

Другим хорошо известным примером модели «реакция-диффузия» является тримолекулярная модель брюсселятора. Эта модель идеально подходит для изучения кооперативных процессов химической кинетики (Николис и Пригожий, 1977). Поскольку математический анализ этой модели предполагает некоторую математическую искушенность, мы приведем его в деталях. Последующее изложение основано на работах Николиса и Пригожина (1977) и Хакена

(1977).

Рассмотрим схему реакций брюсселятора между молекулами следующих типов: A, X, Υ,

В, D и Ε

Соответствующие «приведенные» концентрации веществ А, В, X и Y обозначены как α, β, x и у. Концентрации а и β считаются здесь постоянными, тогда как x и у — переменными. Согласно Николису и Пригожину (1977), «приведенные» переменные x и у в одномерном пространстве независимой переменной r удовлетворяют уравнениям

где Θ1 и Θ2 — диффузионные константы, и 0 ≤ r < R. Граница области обозначена как D. Имеются два типа граничных условий

21В терминах К = ||kij|| = K(0) условие диффузионной неустойчивости, ведущей к появлению пространственных структур, имеет следующий вид: detK > 0, tr K < 0 и k11 < 0 => k22 > 0 (см. Разжевайкин В. Н., «Исследование пространственных структур в задачах математической экологии», ЖВМ и МФ, 1982, т. 22, вып. 3, с. 611-622). — Прям. ред.