Глава 3.

Области применения математики

Мы уже установили, что Платон сравнительно мало интересовался применением математики в повседневной жизни. Он ценил ее скорее как образец чистого мышления, способного к абстракции. Занятия математикой очищают и оттачивают душевные силы разума, поднимая их на более высокий уровень. Они имеют и психологическое значение: тот, кто не умеет считать, легко может быть устрашен высшими и, возможно, зловещими силами1. Однако в некоторых диалогах Платон использует математические факты и методы совершенно конкретным образом. Ниже мы приводим несколько примеров этого.

3.1. Числа и числовые соотношения

В параграфе 2.6 мы сказали, что Платон мог свободно использовать числа для описания философских или нравственных проблем. Приведем теперь несколько примеров.

Первый пример. Душа, согласно Платону, была сотворена раньше тела, а ее положение — повелительницы этого тела — является более почетным. При создании души ее Творец придерживался точных числовых соотношений.

Текст, который мы собираемся интерпретировать, совсем не прост. Так считал, например, В. Еремеев: «Описание принципов

Тимей. 40c-d: «Что касается хороводов этих божеств, их взаимных сближений, обратного вращения их кругов и забеганий вперед, а также того, какие из них сходятся или противостоят друг другу и какие становятся друг перед другом в таком положении по отношению к нам, что через определенные промежутки времени они то скрываются, то вновь появляются, устрашая тех, кто не умеет расчислить сроки».

186 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

построения антропоморфного космоса, данное Платоном в "Тимее",

— одно из самых темных мест в философии этого мыслителя» . Несмотря на кажущуюся непонятность этого фрагмента, нам более близка позиция физика-теоретика и философа Карла Фридриха фон Вайцзеккера: «Конечно, мое понимание Платона не бесспорно, так как в его трудах имеются места, которых я еще до конца не понял, но я убежден, что он точно знал, о чем говорил» . Вот этот текст:

Слив их [т. е. три начала] таким образом при участии сущности и сделав из трех одно, он это целое в свою очередь разделил на нужное число частей, каждая из которых являла собою смесь тождественного, иного и сущности. Делить же он начал следующим образом: прежде всего отнял от целого одну долю, затем вторую, вдвое большую, третью — в полтора раза больше второй и в три раза больше первой, четвертую — вдвое больше второй, пятую — втрое больше третьей, шестую — в восемь раз больше первой, а седьмую

— больше первой в двадцать семь раз. После этого он стал заполнять образовавшиеся двойные и тройные промежутки, отсекая от той же смеси все новые доли и помещая их между прежними долями таким образом, чтобы в каждом проме­ жутке было по два средних члена, из которых один превышал бы меньший из крайних членов на такую же его часть, на какую часть превышал бы его больший, а другой превышал бы меньший крайний член и уступал большему на одина­ ковое число. Благодаря этим скрепам возникли новые проме­ жутки, по 3/2, 4/3 и 9/8, внутри прежних промежутков. Тогда он заполнил все промежутки по 4/3 промежутками по 9/8, оставляя от каждого промежутка частицу такой протяжен­ ности, чтобы числа, разделенные этими оставшимися проме­ жутками, всякий раз относились друг к другу как 256 к 243. При этом смесь, от которой бог брал упомянутые доли, была истрачена до конца4.

Еремеев. Теория психосемиозиса и древняя антропокосмология. С. 19.

3Weizsäcker. Platonische Naturwissenschaft im Laufe der Geschichte. S. 327.

4Тимей. 35b-36b.

188 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Первый средний член — назовем его H — таков, что он «превышал бы меньший из крайних членов на такую же его часть, на какую часть превышал бы его больший», т. е. (Н - а) : а = (Ь - Н) : Ь. Если мы вычислим H из этой пропорции, то увидим, что H является средним гармоническим чисел а и Ь:

Η-a	b-H	H	, t H	„	„, 0 , _	„	lab
α	= —;— -*	a	1 = 1-—	-*	Ha + Hb = 2ab	-*	# = г
	b		b			a + b

Второй средний член — назовем его А — таков, что он «превышал бы меньший крайний член и уступал большему на одинаковое число», т. е. А - а = b - А. Значит, А является средним арифмети­ ческим чисел а и Ь:

А-а = Ь-А -> 2А = а + Ь -> Α^^γ-

Это значит, что в «двойной» прогрессии 2-4-8 Бог наполнил: промежуток между 2 и 4 дробями 8/3 и 3, промежуток между 4 и 8 дробями 16/3 и 6.

Мы получаем прогрессию 2···^'"3···4"*γ"'6···8

В «тройной» прогрессии 1-3-9-27 Бог наполнил: промежуток между 1 и 3 дробями 3/2 и 2, промежуток между 3 и 9 дробями 9/2 и 6, промежуток между 9 и 27 дробями 27/2 и 18.

Мы получаем прогрессию 1...^-2-*3···^···6'"9···γ···]Β'"27

В этом месте Платон продолжает свое изложение следующим образом: «Благодаря этим скрепам возникли новые промежутки, по 3/2, 4/3 и 9/8, внутри прежних промежутков». Если мы интер­ претируем это так: «разделить соседние дроби» (вторую разделить на первую), то получим действительно эти и только эти три дроби (или, по Платону, «промежутки»):

2 8 3 4 1 6 6 8

и

1 3 2 3 9 6 9 2 7 1 8 2 7

4	9		4	4	9	9	3	4	3	3		"Т""Т'"~3~'"~4~"~3~'
3	8	3		3	8	8	2	3			2	2	3	2	2	3	2

Числа и числовые соотношения 189

Теперь мы видим, что скрывалось за данной конструкцией: эти три дроби соответствуют музыкальным интервалам (3/2 ~ квинта, 4/3 ~ кварта, 9/8 ~ целый тон). И если мы согласимся с интерпретацией М. Бергер, согласно которой ряд четных и нечетных чисел показывают трехмерность пространства5, то увидим, что, по Платону, Бог-демиург создал Вселенную и душу согласно законам гармонии.

Но данная конструкция, видимо, все еще слишком «груба», поэтому начинается заполнение еще более мелких подразделений. Бог «заполнил все промежутки по 4/3 промежутками по 9/8, оставляя от каждого промежутка частицу такой протяженности, чтобы числа, разделенные этими оставшимися промежутками, всякий раз относились друг к другу как 256 к 243».

Возьмем в качестве примера первые дроби первой						прогрессии
				2	8
2/1 и 8/3 с «промежутком» 4/3, т. е. кварту у					·—, и заполним ее
				2		8
промежутками	х, у, ζ	следующим образом:			γ··χ··γ·ζ-·-~.
Платоновская	конструкция		требует,	что ^T:^ = "Ö И Х:ТЖ~О·			МЫ
64		9			ζ	64 9	256
получаем ζ = — и		* = Т'	И з ЭТ0Г0	с л е д У е т	У = ~= ~yf:Τ=		243 '
Последная дробь представляет собой полутон.
Значит, кварту	4					9
	-т- Бог заполнил двумя целыми тонами					-^ и одним
256 3						о
полутоном ^тт;

Berger. Proportion bei Platon. S. 173.

190 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Мы можем проделать такую операцию со всеми квартами. Тогда все кварты «исчезнут», и мы будем иметь три интервала: квинту К, целый тон Ц, полутон П. В итоге «двойная» прогрессия 2-4-8 и «тройная» прогрессия 1-3-9-27 принимают «музыкальный вид»6:

ЦПЦЦЦПЦЦПЦЦЦ и КЦПЦККЦПЦККЦПЦК

Конечно, Платон не сам изобрел всю эту теорию. Известно, что пифагорейцы тщательно исследовали музыкальные законы. Все по­ лученные Платоном дроби мы встречаем и в пифагорейском строе:

до	ре		ми	фа		соль	ля	си до
EZZ:	ι		i	l		ι	ι	i	l
ι	9		81	4		3	27	243	?
	8		64	3		2	16	128	L
9		9	^25б"		9	9	9	^25б"
8		8	243		8	8	8	243

Приведенное толкование, представленное такими авторы, как, например, А. Ф. Лосев, В. Е. Еремеев считал формально верным, «но в результате получается очень громоздкая конструкция, не имеющая, пожалуй, никакого отношения к реальному положению дел... Звукоряд, состав­ ленный А. Ф. Лосевым посредством всех проделанных им операций, охватывает диапазон в четыре октавы с большой секстой (1-27). Но такой огромный диапазон никогда не использовался в теории древних греков...

"совершенная неизменная система" имела диапазон в две октавы. И это максимум, что древние греки могли себе позволить. Меньший диапазон — пожалуйста. Например, малая "совершенная неизменная система" имела диапазон октавы с квартой (иначе, чистой ундецимы)» (Еремеев. Теория психосемиозиса и древняя антропокосмология. С. 22). Далее Еремеев указывает на то, что Платон мыслил космическую душу в качестве объемного образования. Поэтому следует рассматривать ряд чисел в виде трех групп: 1-2-3, 12-22-32 и 13-2 -З3. «Первая группа будет соответствовать подразделению линии на пропорции музыкального звукоряда диапазоном в октаву с квинтой (иначе, в чистую дуодециму); вторая — аналогичному подразделению плоскости; третья — объему. Таким образом, объемная космическая душа подразделяется на октаву с квинтой по всем трем координатам». Но в главном Еремеев приходит к такому же выводу: «что внешняя часть космической души... коррелирует с интервалами квинты второй октавы. Значит, и космический ум имеет такую же "музыкальную" корреляцию» (Там же. С. 24).

Числа и числовые соотношения 191

Но интересно, каким образом Платон использовал эти результаты для своего изложения строя Вселенной. Он заканчивает свой рассказ словами: «При этом смесь, от которой бог брал упомянутые доли, была истрачена до конца». Это значит, что мир и душа состоят из фундаментальных интервалов К, Ц и П, и только из них. Мир и душа созданы Богом по математическим и музыкальным законам.

Поэтому неудивительно, что цифры 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27 (доли, которые Бог впервые отнял от смеси) отражаются также в орбитах небесных тел (согласно пифагорейской системе мира), и начинает звучать знаменитая гармония сфер:

Земля

Луна 1

Солнце 2

Венера 3

Меркурий 4

Марс 8

Юпитер 9

Сатурн 27

Кстати, о трех «двойных» и трех «тройных» долях с их промежутками и об их связующих членах (три вторых, четыре третьих и девять восьмых) Платон говорит также в диалоге «Тимей»; там он настаивает на том, что «бог сотворил числа и их отношения», поэтому «никто не сможет разрушить их вечную гармонию» .

Тимей. 43d.

192 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Второй пример. Платон утверждал, что цель его набросков законов для государства состоит в том, чтобы «сделать людей возможно более счастливыми и дружелюбными»8. Для этого необходимо устроить все справедливо:

Надо разделить на двенадцать частей и самый город, и всю страну. Эти двенадцать частей должны быть равноценными, поэтому те участки, где почва хороша, будут меньше, а где плоха — больше. Всех наделов устанавливается пять тысяч сорок... Граждан также надо разделить на двенадцать частей9.

Но почему числа 12 и 5040 играют такую фундаментальную роль? Платон объясняет:

Теперь нужно внимательно рассмотреть, какой смысл в этом решенном нами разделении на двенадцать частей. Ведь внутри этих двенадцати частей есть много подразделений, а также других, вытекающих из этих последних как их естественное порождение. Так мы дойдем и до числа пять

10

тысяч сорок .

Значит, числа 12 и 5040 подходят из-за того, что их можно раз­ делить множество раз по-разному: 12 = 2 6 = 3 4 , 5040 =12 420 = 1 2 2 2 3 5 7 = 2 4 3 2 5 7 . В этом случае справедливость может распространяться даже на самые мелочи:

При этом не надо бояться упрека в мнимой мелочности, когда будет устанавливаться количество обиходной утвари, и не допускать несоразмерности даже здесь. Следуя общему правилу, надо считать числовое распределение и разно­ образие числовых отношений полезным для всего, без­ различно, касается ли это отвлеченных чисел или же тех, что обозначают длину, глубину, звуки и движение — прямое,

Законы. 743с.

9	Там же. 745c-d.
10	Там же. 746d.

Числа и числовые соотношения 193

вверх и вниз или же круговое. Законодатель должен все это иметь в виду и предписать всем гражданам по мере их сил не уклоняться от этого установления. Ибо для хозяйства, для государства, наконец, для всех искусств ничто так не важно и никакая наука не имеет такой воспитательной силы, как занятие числами11.

Мы не будем спорить с Платоном об этих числах и об особенностях его конструкции. В конце концов, сам Платон знает, что реальность нельзя втискивать в числовой корсет. Поэтому он и говорит о том, что реальная жизнь требует отбрасывать некоторые законы. Но начинать необходимо с идеала12, т. е. с умозрительной конструкции, при которой в теории гарантируется, что «должности и почести распределяются как можно более равномерно» и которая не допускала бы «ни тяжкой бедности среди некоторых граждан, ни, в свою очередь, богатства»14. Для конструирования такого идеала очень помогают подходящие числа. Кроме того, важно, что граждане понимают их смысл, видят роль этих чисел, и для этого, кстати, необходимо, чтобы числами занимались даже люди от природы вялые и невосприимчивые — ведь это пробуждает их и делает вопреки природе «восприимчивыми, памятливыми и проницательными» .

Законы. 746е-747Ь.

«Я держусь того мнения, что правильнее всего в каждом наброске будущего не опускать ничего из самого прекрасного и истинного; это будет служить образцом, к которому мы должны стремиться. Если там встретится что-либо неосуществимое, то, конечно, его нужно будет избегать и не стремиться к его выполнению. Но в остальном надо стараться осуществить то, что ближе всего к подобающему и по своей природе более всего ему сродни. Стало быть, надо дать законодателю возможность довести до конца все его намерения. Но затем надо вместе с ним рассмотреть, что из сказанного им полезно, а что слишком резко для законодательства» (Законы. 746Ь-с).

13Там же. 744с.

14Там же. 744d.

15Законы. 747Ь.

194 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Третий пример. В «Государстве» (546b-d) находится число, из­ вестное под названием «свадебного». В этом фрагменте Платон старается определить подходящие периоды для бракосочетаний и зачатий:

Для божественного потомства существует кругооборот, охва­ тываемый совершенным числом, а для человеческого есть число, в котором — первом из всех — возведение в квадрат­ ные и кубические степени, содержащие три промежутка и четыре предела (уподобление, неуподобление, рост и убыль), делает все соизмеримым и выразимым. Из этих чисел четыре трети, сопряженные с пятеркой, после трех увеличении дадут два гармонических сочетания, одно — равностороннее, то есть взятое сотней столько же раз, а другое — с той же длиной, но продолговатое: иначе говоря, число выразимых диаметров пятерки берется сто раз с вычетом каждый раз единицы, а из невыразимых вычитается по двойке, и они сто раз берутся кубом тройки. Все в целом это число геометри­ ческое, и оно имеет решающее значение для лучшего или худшего качества рождений. Коль это останется невдомек нашим стражам и они не в пору сведут невест с женихами, то не родятся дети с хорошими природными задатками и со счастливой участью .

К сожалению, удовлетворительного толкования этого текста

17

пока не существует . Даже само число, которое Платон имел в виду, нам не известно — разные авторы, согласно Бергер18, предлагают 12 960 000 (Д. Адам), 24 300 (Р. Брамбо), 10 000 (К. Гайзер), а К. Пиковер думает о числе 216, которое обнаруживается «в неясном для истолкования отрывке из "Государстве"» . Правда, в этом тексте имеются детали, которые понятны, рациональны и

16Государство. 546b-d.

17Крайне любопытную историю самых разных толкований этого текста в течение последних столетий см. в работе: Brumbaugh. Plato's Mathematical Imagination. P. 143-150.

18Berger. Proportion bei Platon. S. 84-85.

19Pickover. Die Mathematik und das Göttliche. S. 67.

Числа и числовые соотношения 195

интересны с точки зрения математики; это показывает, что Платон использовал настоящие математические рассуждения . Но «мате­ матическое содержание представляется поэтически-риторическими языковыми средствами. Вследствие этого оно, с одной стороны, ускользает, так как не сформулировано на обычном научном языке. С другой стороны, оно представляется более многослойным, так как в дополнение к чисто математической релевантности ему приписы­

ваются другие значения, хотя мы и должны признать, что их трудно

21

ухватить» . Поэтому неудивительно, что Нейгебауэр говорит о «числовом мистицизме» и «каббалистических правилах» , а Жмудь

— об «арифмологических спекуляциях», игравших значительную роль не только у пифагорейцов, но и у Платона .

Д. Хелвиг указывает на то, что все якобы приводимые Платоном расчеты — это на самом деле речь муз, которая в действительности является игрой. Если в ней и кроется какая-то истина, то мы не узнаем ее, в лучшем случае мы сможем только догадаться. Платон использует здесь «софистическую форму беседы», «горгиевскую риторику», которую он сам критикует в диалоге «Евтидем». Таким образом он уходит из диалектического дискурса и представляет числа как магическую силу, способную действовать на людей. Зачем он делает это — трудно сказать. Но ясно, что числовые соотношения интересуют его: уже число 216, которое можно получить из первой половины текста, демонстри­ рует свойства, связанные с числами 2, 3, 4 и 5:

216 = 23-33 = 63, 216 = 33 + 43 + 53.

Платон говорит о «совершенном числе», т. е. он знал о существовании натуральных чисел, равных сумме всех своих делителей (например, 28 имеет делители 1, 2, 4, 7, 14, и их сумма равна 28). См. также: Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 175-176.

21Berger. Proportion bei Platon. S. 84.

22Neugebauer. The Exact Sciences in Antiquity. P. 27.

23Жмудь. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. С. 232.

4Hellwig. Adikia in Piatons «Politeia». Interpretationen zu den Büchern VIII und IX. Amsterdam: B. R. Grüner, 1980.

196 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Также из текста можно получить геометрический ряд чисел, начи­ ная с числа З3 = 27, и с множителем 4/3: 27, 36, 48, 64:

2 7 - ( | ) ° - 2 7 . 3 6 - ( ΐ ) ' · 2 7 . 4 8 - ( f ) 2 - 2 7 , 64 = ( l ) 3 - 2 7 .

Особое толкование дает Я. Фриз25, который ссылается на текст 545d-e: «Обратимся с мольбой к Музам, чтобы они нам поведали, как впервые вторгся раздор, и вообразим, что они станут отвечать нам высокопарно, на трагический лад и как будто всерьез, на самом же деле это будет с их стороны лишь шутка, и они будут под­ дразнивать нас, как детей».

Для Фриза текст Платона является загадкой, «шуткой», хотя его тема вполне серьезна. Поэтому нахождение загадочного числа имеет двоякий облик: это головоломка, с одной стороны, и определение «числа геометрического», которое «имеет решающее значение для лучшего или худшего качества рождений» — с другой. А «хорошее качество рождений» — крайне важный аспект хорошего и справедливого государства. И здесь Фриз вспоминает «Законы»: там число 5040, как мы видели, является лучшим средством для учреждения хорошо и справедливо функционирующего государства. Может быть, 5040 — это также «свадебное число»? Любопытно, что это число обладает свойствами, которые хорошо соответствуют частично мало­ понятным вычислительным инструкциям Платона: его множители (5040 = 1 2 3 4 5 6 7), как пробует подробно доказать Фриз, хорошо соотносятся с текстом Платона, хотя он иногда вынужден подправлять и «адаптировать» текст. Фриз также приводит цитаты из Никомаха, Ямвлиха и Плутарха, которые показывают, что уже древние мыслители мучились с этим текстом, но в которых находятся идеи, которые могут пролить какой-то свет. Плутарх, например, ссылался на диаграмму, которую приписывал Платону:

Fries. Piatons Zahl, de Republica. 1.8. P. 546. Steph. Eine Vermuthung. Heidelberg: Christian Friedrich Winter, 1823.

Числа и числовые соотношения 197

Он хвалил число 35 и говорил, что пифагорейцы назвали его «гармонией» из-за того, что оно является суммой чисел 6, 8, 9, 12. Эти числа представляют интервалы греческой октавы: 8 : 6 = 4 : 3 = кварта, 9 : 8 = целый тон, 12:9 = 4 : 3 = кварта, а также 12 : 6 = 2 : 1 = октава.

Если мы заметим, что в диаграмме появляются оба ряда из «Тимея» (35b-36b): 2-4-8 и 3-9-27, которые мы исследовали выше, то мы увидим связь этих двух платоновских текстов. «Гармони­ ческое устройство» необходимо как в устройстве государства, так и в частной жизни. Фриз заканчивает свою попытку толкования утверждением, что Платон никогда не играл числами поверхностно, «применение им чисел имеет глубокое основание в его натур­ философии, несмотря на то что мы их больше не применяем» .

Четвертый пример. В нижеследующем тексте Платон рассчиты­ вает, во сколько раз тиран живет хуже хорошего царя, и оказы­ вается, что в 729 раз.

Значит, тиран будет вести жизнь, совсем лишенную удовольст­ вий, а у царя их будет много. — Да, и это совсем неизбежно.

—А знаешь, во сколько раз меньше удовольствий в жизни тирана, чем у царя? — Скажи мне, пожалуйста, ты. — Существуют, как видно, три вида удовольствий: один из них

—подлинный, два — ложных. Тиран, избегая закона и разума, перешел в запредельную область ложных удовольствий. Там он и живет, и телохранителями ему служат какие-то рабские удовольствия. Во сколько раз умалились его удовольствия, не так-то легко сказать, разве что вот как... — Как? — После олигархического человека тиран стоит на третьем месте, а

Fries. Piatons Zahl. S. 28.

198 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

посредине между ними будет находиться демократ. — Да. — И сравнительно с подлинным удовольствием у тирана, считая от олигарха, получится уже третье призрачное его подобие, если верно все сказанное нами раньше. — Да, это так. — Между тем человек олигархический и сам-то стоит на третьем месте от человека царственного, если мы будем считать последнего тождественным человеку аристократическому. — Да, на третьем. — Значит, трижды три раза — вот во сколько раз меньше, чем подлинное, удовольствие тирана. — Повидимому. — Значит, это призрачное подобие было бы [квадратной] плоскостью, выражающей размер удовольствия тирана. — Верно. — А если взять вторую и третью степень, станет ясно, каким будет расстояние, отделяющее тирана [от царя]. — По крайней мере ясно тому, кто умеет вычислять. — Если же кто в обратном порядке станет определять, насколько отстоит царь от тирана в смысле подлинности удовольствия, то, доведя умножение до конца, он найдет, что царь живет в семьсот двадцать девять раз приятнее, а тиран во столько же раз тягостнее. — Ты сделал поразительное вычисление! Вот как велика разница между этими двумя людьми, то есть между человеком справедливым и несправедливым, в отношении к удовольствию и страданию. — Однако это число верно и вдобавок оно подходит к [их] жизням, поскольку с ними находятся в соответствии сутки, месяцы и годы. — Да, в соответствии. — Если даже в смысле удовольствия хороший и справедливый человек стоит настолько выше человека подлого и несправедливого, то насколько же выше будет он по благообразию своей жизни, по красоте и добродетели! — Клянусь Зевсом, бесконечно выше27.

Олаф Жигон подробно истолковал весь текст о страданиях

28

тирана (577с-588а) — за исключением нашего отрывка! О нем он только сказал: «Завершением всего приведенного доказательства является короткая часть, которая выглядит для современного

27Государство. 587Ь-588Ь.

28Gigon. Die Unseligkeit des Tyrannen in Piatons Staat. S. 129-153.

Числа и числовые соотношения 199

интерпретатора взбалмошной, так же как и известное место 546ЬЗd3, — игра чисел, относительно которой мы можем только признать, что не знаем, какое значение она имела для самого Платона» . Другие авторы были менее пессимистичны, они признавали расчеты Платона более или менее ясными, за исключением странных деталей. Почему, например, Платон берет вторую и третью степень? Бергер напоминает нам об античном толковании: «Царь и тиран — трехмерные существа (Arist. Quint. De Mus. III). Поэтому промежуток между ними должен представляться как кубическое число»30.

Как бы то ни было, ясно, что Платон стремился получить число 729, так как оно есть сумма дней и ночей одного года, и если сказано, что царь живет в 729 раз лучше тирана, это означает, что царь проживает лучше каждый день и каждую ночь в году, — а тиран, соответственно, хуже. Можно что угодно думать о расчетах Платона, но надо признать, что ему удалось представить мораль в форме «рассказа», который нелегко забыть...

Пятый пример. Существует и современная теория, полагающая, что за словами диалогов Платона скрываются числовые соотношения, которые Платон сознательно использовал, дабы придать своим текстам «математическую» структуру, в частности, двенадцатичастную структуру, которая отражает музыкальные взгляды пифаго­ рейцев. Эти структуры обнаруживаются с помощью стехиометрических компьютерных исследований. Как считает Д. Кэннеди , это касается как длины диалогов, так и размеров речей в них.

Примеры, подтверждающие первую теорию: в «Апологии» 1200 строк, или 100 χ 12. В «Протагоре», «Кратиле», «Филебе» и «Пире»

— по 2400 строк в каждом, или 200 χ 12. В «Горгии» 3600 строк, или 300 χ 12. В «Государстве» 12 000 строк, или 1000 χ 12. В «Законах» 14 400 строк, или 1200 χ 12.

Ibid. S. 152.

Berger. Proportion bei Platon. S. 71. Примеч. 199.

Kennedy. Plato's Forms, Pythagorean Mathematics, and Stichometry. P. 1-31.

200 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Примеры второго утверждения: в «Пире» речи Павсания, Эриксимаха (включая иронизирование над икотой Аристофана) и Аристофана составляют примерно 1/12 от всего диалога каждая. Долгая речь Сократа, включая беседы с Агафоном и Диотимой, занимает 3/12, или 1/4 всего диалога. Речь же Алкивиада — это оставшиеся 2/12 диалога.

Кэннеди резюмирует свои исследования так: «В настоящее время есть несколько видов доказательств того, что диалоги Платона имеют стехиометрическую структуру: продолжительность речей, выстраивание некоторых речей и ключевых понятий в двенадцатичастном порядке, параллельные отрывки и параллельные отрицательные и положительные цепочки рассуждений. Музыкаль­ ная интерпретация этих черт является естественной и последова­ тельной: шкала из двенадцати нот с гармоническими и диссонирую­ щими диапазонами лежит в основе поверхностного повествования в диалогах. Доказательство и его интерпретация соответствуют исто­ рическому контексту: стехиометрия была обычной практикой и применялась в диалогах Платона, аллегории широко обсуждались, Платон и Академия продвигали новую математику, числовое пред­ ставление музыкальной гаммы и гармонической теории было хоро­ шо известно, корреспонденты, коллеги и последователи Платона связывали его с пифагореизмом, и неопифагорейцы сделали шкалу из двенадцати регулярно расположенных нот частью своих иссле­ дований метафизики, предположительно спрятанной в диалогах»32.

Это были примеры конкретного использования чисел и числовых отношений Платоном. Но до самого главного мы пока не добрались. Для этого необходимо обратиться к диалогу «Государство», где Платон обосновывает основополагающую и единственную в своем роде роль чисел — и роль арифметики как науки о числах. Вот каков ход мыслей Платона (все цитаты взяты из: Государство. 525а-526с):

Kennedy. Op. cit. P. 26-27.

Числа и числовые соотношения 201

1)Рассуждение начинается с вопроса: «Кого же иного заставишь ты встать на страже государства, как не тех, кто вполне сведущ

вделе наилучшего государственного правления, а вместе с тем имеет и другие достоинства и ведет жизнь более добро­ детельную, чем ведут государственные деятели? — Никого».

2)Поэтому следует рассмотреть, «каким образом получаются такие люди и с помощью чего можно вывести их наверх, к свету».

3)Может быть, подойдут «мусическое искусство, и гимнастика, и все остальные искусства»? Нет, они оказываются полезными, но недостаточными.

4)Их недостаточность заключается в том, что они не подстре­ кают разум. «Кое-что в наших восприятиях не побуждает наше мышление к дальнейшему исследованию, потому что достаточно определяется самим ощущением». «Если нечто единичное достаточно хорошо постигается само по себе, будь то зрением, будь то каким-либо иным чувством, то не возникает стремления выяснить его сущность».

5)«Но кое-что решительно требует такого исследования, поскольку ощущение не дает ничего надежного».

6)Значит, надо искать другой предмет обучения: «Если, кроме них, мы уже ничем не располагаем, давай возьмем то, что рас­ пространяется на них всех».

7)Подходящим предметом является «арифметика и счет», т. е. «то общее, чем пользуется любое искусство, а также рассудок и знания; то, что каждый человек должен узнать прежде всего. — Что же это? — Да пустяк: надо различать, что такое один, два и три. В общем я называю это числом и счетом».

8)Пригодность этих искусств заключается в том, «что как раз онито и ведут к истине», поскольку относятся «к тому, что ведет человека к размышлению, то есть к тому, что мы с тобой ищем».

9)Этот решающий пункт Платон объясняет более подробно. Существуют ощущения, которые, как мы уже сказали, не

202 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

возбуждают разум: если мы видим, допустим, разные виды пальцев, то они просто разные, и мы удовлетворяемся этим фактом. Но если мы занимаемся единицей, ситуация другая. «Если же в нем постоянно обнаруживается какая-то противо­ положность, так что оно оказывается единицей не более чем ее противоположностью, тогда требуется уже какое-либо суж­ дение: в этом случае душа вынуждена недоумевать, искать, будоражить в самой себе мысль и задавать себе вопрос, что же это такое — единица сама по себе! Таким-то образом познание этой единицы вело бы и побуждало к созерцанию бытия». «Не меньше это наблюдается и в том случае, когда мы созерцаем тождественное: одно и то же мы видим и как единое, и как бесконечное множество».

10)«Раз так бывает с единицей, не то же ли самое и со всяким чис­ лом вообще? — Как же иначе?»

11)Это значит, что арифметика и счет действительно являются теми науками, которые подстрекают разум «и ведут к истине». «Они принадлежат к тем познаниям, которые мы искали. Воину необходимо их усвоить для войскового строя, а философу — для постижения сущности, всякий раз как он вынырнет из области становящегося, иначе ему никогда не стать мысли­ телем».

12)Заключение таково: «Эта наука, Главкон, подходит для того, чтобы установить закон и убедить всех, кто собирается занять высшие должности в государстве, обратиться к искусству счета».

13)К сожалению, пока «никто не пользуется арифметикой действи­ тельно как наукой, увлекающей нас к бытию». Обычно ею занимаются «как попало», «по-торгашески», «ради куплипродажи». Если это так, то спрашивается, как надо заниматься математикой в новом, «философском» смысле.

Последний вопрос является решающим, хотя мы практически ничего не знаем о том, какие средства и методы использовались в Академии для математического обучения, понимаемого в этом новом