Математик как охотник, философ как повар 61

2.2. Математик как охотник, философ как повар

Если мы верим, что душа созерцала математические сущности и законы в идеальном мире, то можем заключить, что они не созданы человеком, а существуют там вечно и неизменно. Например, прямо­ угольный треугольник не был придуман неким математиком с целью измерения земельных участков — эта фигура в ее чистой форме, как идея, существовала и существует независимо от людей. Теорема Пифагора также является не изобретением математиков, а вневременным идеальным фактом. Для подтверждения концепции припоминания Платон ссылается на старинный миф, согласно которому не человек, а Тевт, один из богов, был первым, кто «изобрел число, счет, геометрию, астрономию»29. Конкретно о числах Платон рассуждает в чисто философской манере:

Чужеземец: Всякое число ведь мы относим к области бытия?

— Теэтет: Если только вообще что-нибудь следует признать бытием. — Чужеземец: Так нам поэтому не должно и пытаться прилагать к небытию числовое множество или единство30.

Итак, математик занимается «божественными предметами». Значит ли это, что он напрямую созерцает нечто божественное, некий «мир идей»? Всегда существовали математики, считавшие это возмож­ ным, по крайней мере, в значительной степени31. Но, по Платону,

Федр. 274c-d.

Софист. 238а-Ь. См. также: Парменид 144а — «Парменид: Следовательно, если существует одно, то необходимо, чтобы существовало и число. — Аристотель: Необходимо. — Парменид: Но при существовании числа должно быть многое и бесконечная множественность существующего. В самом деле, разве число не оказывается бесконечным по количеству и причастным бытию? — Аристотель: Конечно, оказывается».

Например, математик и физик Герман Вейль сказал: «Математические исследования сами по себе поднимают человеческий дух ближе к божест­ венному, чем все другие способы» (цитата из: Pickover. Die Mathematik und das Göttliche. S. 15). Математик Пауль Хенклер писал, что исследования бесконечных рядов показали ему «совершенную математическую

62 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

такое созерцание доступно только философу, использующему диа­ лектику. Тем не менее он считает, что математические исследо­ вания необходимы в качестве важнейшего этапа философского размышления. Чтобы наглядно продемонстрировать это, Платон применяет следующее сравнение. В диалоге «Евтидем» он исполь­ зует образ охоты, выступающей первым, но незаменимым шагом к истинному познанию. Охотник ищет и убивает дичь: этим его задача исчерпывается . Затем он передает свою добычу повару для дальнейшей обработки. Следовательно, Платон считает, что ис­ кусство повара (философа) «выше» искусства охотника (матема­ тика), так как только повар в состоянии распорядиться добычей с пользой. С другой стороны, без охотника даже самый умелый повар остался бы с пустыми руками и не смог бы приготовить трапезу. Стоит процитировать это место из диалога «Евтидем»:

Никакое охотничье искусство не идет далее того, чтобы схватить, изловить. А после того как дичь, за которой охотятся, схвачена, звероловы и рыбаки уже не знают, что с

духовность», которую он мог бы приравнять к Богу (Mathesius [Paul Henkler]. Weg zu Gott. S. 264). Физик-теоретик Вальтер Хайтлер придержи­ вался точки зрения, что математика вводит нас в духовный мир и раскрывает высоты, «которые позволяют нам предположить существо­ вание божественного с не меньшей силой убежденности, чем та, которую мы находим в человеческом знании вообще» (Heitier. Die Natur und das Göttliche. S. 130). Крайне интересно также, что выдающийся логик и математик Курт Гедель попробовал возродить онтологический аргумент существования Бога с помощью математической логики (см. об этом: Muck. Eigenschaften Gottes im Licht des Gödelschen Arguments. S. 60-86).

Выражение «убивает дичь» намекает на процесс абстрагирования, после осуществления которого рассматриваемый объект перестает восприни­ маться как «живое существо».

Этот платоновский образ использует современный математик Бэрроу. Он показывает на примере доказательства теоремы четырех цветов с помощью компьютера, что математиков часто интересует не столько конечный результат, сколько способ его получения и доказательства. Бэрроу резю­ мирует: «Математики, как правило, больше заинтересованы в охоте, чем в добыче» (Barrow. Ein Himmel voller Zahlen. S. 359).

Математик как охотник, философ как повар 63

нею делать, но передают свою добычу поварам; а геометры, астрономы и мастера счета, которые тоже ведь охотники, ибо не создают сами свои задачи, чертежи и таблицы, но исследуют существующие, — они (поскольку не знают, как этим пользоваться, а занимаются лишь охотой), если только не совсем лишены разума, передают диалектикам заботу об использовании своих находок34.

Здесь мы находим в сжатой форме три существенных положения: а) математик — это охотник, а не изобретатель или конструктор; б) математик не знает, что делать со своей, добычей; в) добыча математика — если мы хотим придать ей высший смысл — передается философу, который принимает ее и приготавливает по всем правилам искусства. Остановимся на этом немного подробнее:

а) Математик — это охотник, а не изобретатель или конструк­ тор. Эта точка зрения стала преобладающей в сфере математики, а придерживающееся ее направление получило название «математи­ ческого платонизма». Для него характерно рассмотрение матема­ тических объектов (точек, линий, плоскостей, тел, чисел, структур и т. д.), а также математических законов как существующих в идеаль­ ном мире. Они существовали всегда, еще до возникновения нашей Вселенной, и они существуют независимо от того, думает ли о них какой-нибудь математик или нет. Эти объекты и законы являются частью нематериальной, неизменной реальности. Например, простые числа35 как обособленная группа натуральных чисел, так же как и законы, определяющие их специфичность, в соответствии с математическим платонизмом считаются не созданием матема­ тиков , а вечно существующими в идеальном мире вещами. Если,

34Евтидем. 290с.

35Простое число — это натуральное (т. е. целое положительное) число, имеющее только два натуральных делителя — 1 и самого себя (например, 2,3,5,7, 11, 13, 17, 19 и т. д.).

36Вместе с тем, естественно, не исключено, что математик в своей «охоте» применяет средство, им же самим изобретенное. В ограниченном смысле

64 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

например, Евклид в «Началах» (IX, § 20) доказал, что ряд простых чисел бесконечен, то он лишь сделал этот идеальный факт ясным для нас. То же самое можно сказать и о гипотезах, которые ученые до сих пор не могут подтвердить или опровергнуть, — например, о гипотезе Гольдбаха, согласно которой всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел, или гипотезе о существовании бесконечного множества простых чисел-близнецов (это пары простых чисел, отличающихся на 2), — в идеальном мире они решены изначально. Это значит, что в конечном итоге математик, в результате всех своих усилий, «получает» свой результат из какого-то «высшего» мира, или даже «от Бога», как это описывал Карл Фридрих Гаусс. Мы уже цитировали его слова: «Определение радикала долго мучило меня...», но сейчас стоит прочитать продолжение: «Наконец, несколько дней назад, я преуспел, — но не благодаря моим тяжелым поискам, а только милостью Бога — так я хотел бы сказать. Ответ пришел внезапно подобно удару молнии, и загадка была разрешена; я сам не смог бы выявлять связующую нить между тем, что я знал раньше, моими последними попытками и тем,

он также является конструктором. Венгерский математик А. Реньи написал «платоновский диалог», в котором его Сократ излагает это следующим образом: «Математик больше похож на открывателя. Он — смелый мореплаватель, плавающий по неизвестному морю и исследующий его побережья, острова и водовороты. Я хотел бы только добавить, что математик в некотором роде также изобретатель, в особенности когда он вводит новые понятия. Ведь каждый открыватель должен быть в какой-то мере изобретателем. Например, если мореплаватель хочет достичь мест, до него никем не достигнутых, он должен построить корабль, который был бы лучше других кораблей. Новые понятия, введенные математиками, подобны новым кораблям, которые поддерживают исследователя в великом море мыслей. Прежде всего математик является открывателем; изобретателем он является лишь постольку, поскольку им должен быть открыватель» (Реньи. Диалоги о математике. С. 33-34). Притом ясно, что «изобретения» математика обусловлены соответствующей объективной не­ обходимостью.

Математик как охотник, философ как повар 65

вследствие чего попытка удалась» 7. Современные представители математического платонизма, конечно же, не имеют обыкновения ссылаться на молнию, ударившую из идеального мира, или на милость Бога — ведь это нежелательная метафизика! — но они могут, по крайней мере, повторить слова блестящего математика и лауреата Нобелевской премии Джона Нэша: «Если мы узнаем чтото в математике, то мы имеем дело с истиной, которая уже существовала, прежде чем мы обнаружили ее. В математике мы совершаем не изобретения, а только открытия»38. Охотниками, а не изобретателями чувствуют себя и современные русские мате­ матики; так, Е. М. Вечтомов пишет: «Математики открывают новое знание, а не изобретают его. Нет французской математики, но есть математика во Франции». В целом он утверждает, что и сегодня платонизм, — или, лучше сказать, умеренный платонизм, — «признается подавляющим большинством действующих математи­ ков и преподавателей математики» .

Письмо Гаусса к Олберсу от 3 сентября 1805 г. (Gauss. Werke Х/1. S. 25).

Nash. Sonntags-Interview. S. 4. Антиплатоники выражаются прямо противо­ положным образом: «Математические объекты не найдены человеком в природе, а сконструированы учеными. Конструктор как программа задает элементы и правила действия с ними» (Сычева. Философия математики на пути от философии к науке. С. 160). Или, без обиняков: «Математик — изобретатель, а не открыватель» (Витгенштейн. Замечания по основаниям математики. I, 167). Следовательно: «Математика есть часть человеческой культуры» (Шапошников. Натурализм и современная философия матема­ тики. С. 163).

Вечтомов. Математическая реальность и действительность. С. 26. Это, разумеется, не значит, что «математический платонизм» является строго определенной и навечно зафиксированной областью; по мнению Л. Г. Антипенко, например, «фундаментальная онтология Хайдеггера вносит в математический платонизм существенную поправку. Отныне высший мир платоновских идей или эйдосов приобретает статус существования под эгидой времени. Творческий характер времени позволяет по-новому взглянуть на творческие процессы в математике» (Антипенко. Сущность математического творчества в свете фундаментальной онтологии Хайдеггера. С. 7).

66 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

б) Математик ничего не умеет делать с добычей. В догреческие времена математика представляла собой лишь свод практических правил; греческие математики, наоборот, интересовались только — или хотя бы преимущественно — теоретическими рассуждениями . Конечно, в повседневной жизни людей математические правила (счет, геометрические измерения, правило «золотого сечения» в архитектуре и т. д.) продолжали играть значительную роль, и Платон одобрял это, требуя даже применения этих навыков на практике41. Но на высшем уровне познания эти навыки не работают

и как подчеркивал Платон, здесь математик ничего не может, он не

всостоянии сделать что-то стоящее и «умное» со своими результатами.

в) Добыча математика — если мы хотим придать ей высший смысл, — передается философу, который принимает ее и приготавливает по всем правилам искусства. Дичь, зверь в лесу, является, так сказать, существом жизненного мира; в этом мире может возникнуть только обыденное, а не «истинное» знание. Математик-охотник убивает зверя, извлекая его из мира жизни и чувств, то есть совершает операцию абстрагирования. Это важное действие, но на нем возможности охотника заканчиваются. Лишь философ-диалектик в состоянии сделать последний, завершающий

Это доказывают «Начала» Евклида, которые являются чистой математикой (прежде всего геометрией). Эту мысль также подтверждает исторический анекдот: некий человек спросил Евклида, в чем состоит польза матема­ тики. Вместо ответа Евклид приказал своему слуге: «Дай этому человеку немного золота, он хочет изучать математику только для получения прибыли!»

См., напр.: Государство. 526d — «Поскольку геометрия применяется в военном деле, ясно, что подходит. При устройстве лагерей, занятии мест­ ностей, стягивании и развертывании войск и разных других военных построениях как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется разница между знатоком геометрии и тем, кто ее не знает».

См., напр.: Евтидем. 290с — «Никакое охотничье искусство, — отвечал он [Клиний. — В. 1], — не идет далее того, чтобы схватить, изловить. А