Суть аксиоматического метода 511

В7: Суть аксиоматического метода

Метод, возводящий здание математики на системе аксиом, осво­ бождает ее, как предполагается, ото всех «метафизических» предмнений (что считается желательным). Поэтому уже самая древняя часть математической науки, теоретическая геометрия, с самого начала была построена на аксиомах. Она исходит из некоторых предположений, по поводу которых Платон заметил, что матема­ тики «не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим,

18

словно это всякому и без того ясно» . Современная математика применяет этот метод, примерно с 1900 г., практически везде. Он основан, как сказал Лоренцен, на «мифе о середине». Этот миф сравнивает истину с деревом. Человек, который озабочен истиной, хватается за ствол этого дерева — там все ясно и гарантировано. Ученый — это тот человек, который взбирается на дерево, чтобы исследовать его ветви, насколько они надежны, вплоть до всех мелких ответвлений. А философ — это тот, кто начинает копать, чтобы освободить и исследовать корни дерева. К сожалению, ветви и корни этого мифического дерева простираются до бесконечности, поэтому ученым и философам приходится прилагать бесконечные усилия. При взгляде на эту досадную двойную бесконечность аксиоматик упрямо ограничивается серединой, отказываясь от поисков «истины» сверху и снизу, и рассматривает аксиомы как гипотезы, которые можно или нужно поменять на другие, в зависимости от положения дел. С этой точки зрения аксиоматика стоит в тесной связи с естествознанием, и теоретическая физика может, в конце концов, послужить оправданием математики — и наоборот. Можно сказать, что математик верит в аксиомы, так как они физически необходимы, а физик верит в аксиомы, так как они гарантированы математически. Слепой и парализованный помо­ гают друг другу...

Но вспомним, что существует и критический взгляд на чисто аксиоматический метод (см. выше мнение Финслера).

18 Государство. 510.

512 ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ

В8: Этноматематика

В связи с процитированным выше пунктом ВЗ-5 — «Влияют ли на развитие математики внешние обстоятельства или только внутрен­ ние?» — обратим внимание на исследования «этноматематиков»,

19

направленные против европоцентризма в истории математики . Они утверждают, что «западноевропейская математическая пара­ дигма представляет собой лишь одну из возможных парадигм, ко­ торая, как и все остальные придуманные человеком системы, нахо­ дится в прямой зависимости от предметной деятельности и усло­ вий, в которых человек существует»20. Также они считают, «что первичные (базовые) понятия и идеи математики не даны человеку до его личностного, практического опыта, что они не существуют сами по себе вне человека, вне его бытия, вне его деятельности. Эти идеи и понятия рождались и рождаются вместе с рождением самого человека как "человека разумного", вместе с возникнове­ нием у него "способности к суждению", вместе с обретением им сознания. Учитывая то, что современный человек — результат многовековой эволюции, что каждый из людей обладает генетичес­ кой памятью, которая хранит в том или ином виде опыт предшест­ вующих поколений его предков (архетипы Юнга), можно сказать, что кажущиеся внеопытными, априорными (в смысле Канта) фун­ даментальные математические понятия (и не только математичес­ кие) на самом деле не являются таковыми. Они возникают как представления и формируются как понятия в процессе повседнев­ ной обыденной практической деятельности, в процессе социализа­ ции личности, что и находит свое подтверждение в результатах работ многих исследователей, работающих в области этноматематематики. Иными словами, результаты такого рода работ можно рассматривать в качестве дополнительных аргументов в пользу

См.: Яшин. Этноматематика и природа базовых понятий математики. С. 165-169. Тот же самый вопрос касается и философии: какие внешние факторы влияют на ее развитие и на развитие ее отдельных форм?

Там же. С. 167.

Вопросы Витгенштейна 513

взаимосвязи априоризма и эмпиризма в математическом познании, на которую сегодня обращают внимание некоторые философы»21.

Свидетельствует ли это высказывание против платонизма и против точки зрения сторонников универсальности и единствен­ ности математики? Наверное, не совсем. Во-первых, этноматематика интересуется проблемами не формальной, «академической» математики, а «опытной», обусловленной спецификой предметной деятельности, характерной для каждой из культур, внутри которой она возникает. Во-вторых, «результаты этих исследований говорят о том, что универсальные математические структуры ("число" и "числовая прямая", "симметрия", "прямая линия" и некоторые

22

другие) обнаруживаются в любой культуре» , и это значит, что хотя бы базовую, универсальную часть математики можно воспри­ нимать как математический платонизм, а более разработанные ветви отнести на счет более изобретательных математиков.

В9: Вопросы Витгенштейна
Е. Е. Медведева23 и 3. А. Сокулер	обратили внимание на фило­
софию Витгенштейна, который,	по	мнению	его	покровителя
Б. Рассела, был одновременно	и	«глуп»,	и	«гениален».

Действительно, в его трудах мы находим размышления и вопросы, которые, с одной стороны, удивляют (мягко говоря), а с другой — дают пищу для размышлений. Назовем некоторые из них.

-«А в чем же состоит характерная неумолимость математики?»

-«Необходимо уяснить, в чем, собственно, состоит умозаклю-

26

чение» .

21Яшин. Указ. соч. С. 167-168.

22Там же. С. 167.

23Медведева. Витгенштейн versus платонизм в математике. С. 140-144.

24Сокулер. Интерпретация Витгенштейном теоремы Гедсля и диагональной процедуры Кантора. С. 152-154.

25Витгенштейн: Замечания по основаниям математики, с. 5.

514ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ

-«Предположим, кто-то записывает ряд 1, 3, 5, 7... по формуле 2х + 1. И он задает себе вопрос: "А делаю ли я всякий раз одно и то же или каждый раз нечто иное?" Если кто-то со дня на день

обещает другому: "Завтра я навещу тебя", — говорит ли он каж­ дый день одно и то же или же каждый день что-то другое?»27

-«"Но я все же знаю и то, что, какое число мне ни предложи, я смогу дать следующее за ним безо всяких колебаний". — Разумеется, если этому не воспрепятствует моя смерть или множество иных происшествий. Но моя уверенность в том, что я

28

смогу продолжить ряд, безусловно, очень важна» .

BIO: Трансцендентальный конструктивизм

Более «философская» задача: исследовать рассуждения Канта по поводу данных вопросов. Базовым текстом может послужить статья С. Л. Катречка, где сказано: «Трансцендентальный кон­ структивизм можно рассматривать не только как программу обос­ нования абстракций математики, но и как новый тип онтологии» .

Ell: Компьютерные доказательства

Доказательства — это «знак математики», ее отличительная черта. Но что это такое на самом деле? Если в школе учитель доказывает теорему Пифагора, то для многих учеников на самом деле ничего не было доказано, так как у них не хватает знаний или способностей, чтобы проследить за каждым шагом и убедиться в его правильности. Но иногда споры разгораются и между знаме-

Витгенштейн. Замечания по основаниям математики. С. 6. Витгенштейн. Философские исследования. С. 168.

Там же. С. 5.

Катречко. Трансцендентальный конструктивизм как программа обосно­ вания математики и как новый тип онтологии. С. 171-174.

Компьютерные доказательства 515

нитыми математиками: действительно ли доказана какая-то тео­ рема или нет? Когда Брауэр изложил, в чем состоит ошибочность одной из основных теорем Вейерштрасса, то некоторые матема­ тики сочли, что он действительно предложил доказательство, направленное против этой теоремы, но многие не согласились с этим, так как не разделяли его основные взгляды и методы30. Сегодня встречается и следующая сложность: «Доказательства не­ которых знаменитых математических проблем напрямую связаны с проблемой обозримости доказательств, поскольку важнейшим фактором, влияющим на убедительность доказательства, является его обозримость, то есть возможность его мысленного схватывания целиком. С развитием математики и появлением все более сложных и длинных доказательств они теряют свое методологическое досто­ инство — свойство убедительности» . Эта проблема обостряется при необходимости использовать мощные компьютеры; возникает такой вопрос: «Можно ли считать математически легитимным такое доказательство, которое выполнено на компьютере? Если философски акцентировать эту проблему, то, по существу, она сводится к проблеме "доверия к компьютерам". Появление мощных компьютеров породило естественное сомнение в надежной методологической обоснованности имеющихся машинных

32

способов доказательства математических теорем» . В 1977 г., например, было представлено доказательство знаменитой «теоремы четырех цветов», но оно могло было быть выполнено лишь с помощью компьютера. И так как человеческих возможностей недо­ статочно, чтобы отследить всю операцию, проделанную компью­ тером, возникает вопрос: был ли использован здесь «рациональный метод»? Некоторые математики считают, что да, другие -— что нет.

Теорема Вейерштрасса: «Любая непрерывная функция f(x), определенная всюду в пределах отрезка I, имеет максимум». Доказательство Брауэра см. в: Brouwer. Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in

der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie. S. 1-7.

31Михайлова. Проблема обоснования современной математики в контексте новых философско-метологических кризисов. С. 189.

32Там же. С. 188.