Haustova_Kichigina-alg
.pdf
|
|
3 |
2 |
1 |
- 2 |
|
|
|
|
||||||
Пример 3. Вычислить определитель D = |
|
2 |
-1 |
2 |
6 |
|
. |
|
|
5 |
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
- 3 |
4 |
|
|
Заметим, что все элементы последнего столбца кратны двум. Общий множитель
|
3 |
2 |
1 |
- 2 |
|
|
|
3 |
2 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
два можно вынести за знак определителя: |
2 |
-1 |
2 |
6 |
|
= 2 × |
|
2 |
-1 |
2 |
3 |
|
. |
|
5 |
4 |
1 |
2 |
|
|
|
5 |
4 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
- 3 |
4 |
|
|
|
1 |
1 |
- 3 |
2 |
|
|
Выберем строку (или столбец), в которой будем делать нули. Пусть это будет третий столбец. Рабочей будет первая строка. Она останется без изменения. Получим нули в этом столбце следующим образом: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим получившиеся числа к соответствующим элементам второй строки:
|
|
3 |
2 |
1 |
-1 |
|
× (- 2) |
|
|
3 |
2 |
|
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2× |
|
2 |
-1 2 |
3 |
|
|
= 2 × |
|
- 4 - 5 |
|
0 |
5 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5 |
4 |
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
4 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
- 3 |
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
- 3 |
2 |
|
|
Теперь элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки:
|
|
3 |
2 |
1 |
-1 |
|
× (-1) |
|
|
3 |
2 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 × |
|
- 4 - 5 0 |
5 |
|
|
|
= 2 × |
|
- 4 - 5 |
0 |
5 |
|
. |
|||
|
|
5 |
4 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
1 |
- 3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
- 3 |
2 |
|
|
Чтобы получить нуль в третьем столбце последней строки, элементы первой строки умножим на 3 и прибавим к соответствующим элементам четвертой строки, затем применим теорему Лапласа, разложив определитель по третьему столбцу:
11
|
|
3 |
2 |
1 |
-1 |
|
× (3) |
|
|
3 |
2 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 × |
|
- 4 - 5 |
0 |
5 |
|
|
|
= 2 × |
|
- 4 - 5 |
0 |
5 |
= |
||
|
|
2 |
2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
0 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
- 3 |
2 |
|
|
|
|
|
10 |
7 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(1× A13 + 0 × A23 + 0 × A33 + 0 × A43 ) = 2 × A13 .
Алгебраические дополнения элементов определителя находятся по формуле
Aij = (-1)i+ j Mij , где |
Mij - определитель, получающийся из исходного вычеркива- |
||||||||||||
нием i -й строки и |
j-го столбца: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 × A13 = 2 × (-1)1+3 × |
|
- 4 |
- 5 |
5 |
|
= 2 × (-1)4 × 2 × |
|
- 4 |
- 5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
. |
|||
|
|
|
10 |
7 |
-1 |
|
|
|
10 |
7 |
-1 |
|
|
Общий множитель второй строки был вынесен за знак определителя. Получим теперь нули в первом столбце, в первой и третьей строках. Для этого умножим вторую строку вначале на 4 и прибавим к соответствующим элементам первой строки, а затем на (-10) и прибавим к элементам третьей строки. Применим теорему Лап-ласа:
4 × |
|
- 4 |
- 5 |
5 |
|
= 4 × |
|
0 |
-1 |
9 |
|
= 4 ×1× A21 = 4 × (-1)2+1 × |
|
-1 |
9 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
10 |
7 |
-1 |
|
|
|
0 |
- 3 |
-11 |
|
|
|
- 3 |
-11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 × (-1)3 × [(-1)× (-11) - (- 3)× 9] = (- 4)× (11 + 27) = (- 4)× 38 = -152.
Ответ: = −152.
Контрольные варианты к задаче 3. Вычислить определитель.
1. |
|
|
|
2 |
3 |
- 3 |
4 |
|
2. |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
3. |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 1 |
-1 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 2 - 3 |
||||||||
|
|
|
|
6 |
3 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
11 5 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
- 2 -1 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
3 |
0 - 5 |
|
|
|
|
|
5 |
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
- 2 - 3 2 |
1 |
|
|
||||||
4. |
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
5. |
|
|
6 |
9 |
|
3 |
3 |
|
6. |
|
0 |
1 |
3 |
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
-1 |
4 |
- 9 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
3 4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
- 2 4 |
|
2 |
0 |
|
|
|
- 3 - 2 0 |
- 5 |
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
-1 |
- 2 2 |
|
|
|
4 |
3 |
- 5 0 |
|
|
12
7. |
|
|
|
|
1 |
3 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9. |
|
|
2 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 5 7 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 − 1 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 |
10 8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 7 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 − 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
9 9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 1 3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 − 3 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
7 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
10. |
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
3 |
3 |
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − 1 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 5 |
8 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
− 6 − 6 9 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
− 4 − 4 2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 |
5 7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13. |
|
4 |
1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
14. |
|
|
|
2 |
− 5 |
1 |
2 |
|
|
|
|
15. |
|
|
|
− 3 |
|
9 |
|
3 |
6 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− 3 − 2 − 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 7 − 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
− 5 8 |
|
2 |
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − 2 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − 9 2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
4 − 5 − 3 − 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 − 3 0 − 3 |
|
|
|
|
|
|
4 − 6 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 − 8 − 4 − 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
3 |
− 3 |
5 |
|
8 |
|
|
|
17. |
|
|
2 |
|
− 5 |
4 |
3 |
|
|
|
|
18. |
|
3 |
− 3 |
|
− 2 |
|
|
− 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 3 2 |
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
− 4 7 5 |
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
4 |
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 − 5 − 7 5 |
|
|
|
4 |
|
− 9 8 5 |
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
8 |
|
7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 4 3 |
5 − 6 |
|
|
|
|
− 3 2 − 5 3 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
|
3 |
− 5 |
− 2 |
2 |
|
|
|
|
|
20. |
|
|
3 |
|
− 5 |
2 |
|
− 4 |
|
21. |
|
3 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 4 7 |
4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 4 − 5 3 |
|
|
|
|
|
9 − 8 5 10 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 − 9 − 3 7 |
|
|
|
|
|
|
|
− 5 7 − 7 5 |
|
|
|
|
|
5 − 8 5 8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 − 6 − 3 2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
− 8 5 − 6 |
|
|
|
|
|
6 − 5 4 7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
22. |
|
7 |
6 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
|
|
6 |
|
− 5 |
8 |
4 |
|
24. |
|
7 |
3 |
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 5 7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
7 |
5 |
2 |
|
|
|
|
8 |
− 9 4 9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 4 3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
5 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
7 |
− 2 7 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 6 5 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 8 − 8 − 3 |
|
|
|
5 |
− 3 3 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
|
|
1 |
− 2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
26. |
|
|
1 |
− 3 5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
27. |
|
5 |
7 |
|
8 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 1 − 4 3 |
|
|
|
|
|
3 − 5 7 − 1 |
|
|
|
|
|
3 |
2 9 − 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 − 4 − 1 − 2 |
|
|
|
|
|
5 − 7 1 − 3 |
|
|
|
|
|
3 |
7 4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 3 |
|
2 − 1 |
|
|
|
|
|
7 − 1 3 − 5 |
|
|
|
|
|
4 |
3 9 6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
28. |
|
2 |
3 |
- 3 |
4 |
|
29. |
|
6 |
5 |
9 |
3 |
|
30. |
|
7 |
4 |
- 5 |
- 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
-1 |
2 |
|
|
|
5 |
8 |
8 |
- 2 |
|
|
|
- 8 |
- 5 |
8 |
9 |
|
|
6 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
4 |
5 |
5 |
2 |
|
|
|
- 4 |
- 3 |
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
0 |
- 5 |
|
|
|
7 |
8 |
10 2 |
|
|
|
- 5 |
- 2 |
7 |
6 |
Задача 4. Система линейных уравнений является крамеровской, если число уравнений системы равно числу неизвестных и определитель матрицы системы отличен от нуля. Крамеровскую систему можно представить в виде матричного
уравнения A × X = B и найти решение по формуле |
X = A−1 × B. Систему Крамера |
|
можно решить также по формулам Крамера: xi = |
i |
, где D - определитель мат- |
|
||
|
D |
рицы системы (главный определитель), i - определитель, полученный из главно-
го заменой i -го столбца на столбец правых частей системы (столбец свободных членов), xi - искомые неизвестные.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений 4x - 3y =11 двумя спосо-
3x + 5y =1
бами: а) по формулам Крамера, б) матричным методом. Сделать проверку.
а) D = |
|
4 - 3 |
|
|
|
= 4 × 5 - 3 × (- 3) = 29 , |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D1 |
= |
|
|
|
11 - 3 |
|
=11× 5 -1× (- 3) = 58 , |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
D2 |
= |
|
4 11 |
|
|
= 4 ×1 - 3 ×11 = −29 , |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x = x1 = |
D1 |
= |
58 |
= 2, |
||||||||||||||
|
D |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2 |
= - 29 = -1. |
||||||||
y = x 2 = |
|
|||||||||||||||||
|
D |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
Сделаем проверку найденного решения, подставив x = 2 и y = −1 в данную сис-
4 × 2 - 3 × (-1) =11 |
8 + 3 =11 |
11 =11 |
тему: 3 × 2 + 5 × (-1) =1 |
= 6 - 5 =1 |
1 =1 . |
|
|
|
Ответ: (2; -1).
14
б) Пусть |
4 |
− 3 |
, |
11 |
, |
x |
Тогда данная система запи- |
||
A = |
|
B = |
|
X = |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
1 |
|
y |
|
шется в виде матричного уравнения |
AX = B, решение которого |
X = A−1 × B. Най- |
||||||||||||||||||||||||||||
дем A−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
|
A |
|
= |
|
|
4 - 3 |
|
|
= 29 , |
|
|
|
|
4 |
- 3 T |
|
|
4 3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) AT = |
|
= |
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
||||||
3) |
|
AT |
|
= |
|
4 3 |
|
, |
|
|
A11 = (-1)2 × 5 = 5 , |
A12 = (-1)3 × (- 3) = 3 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
||||
|
|
|
|
A = (-1) × 3 = -3 , |
A = (-1) × 4 = 4 , |
A |
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
~ T |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
- 3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
4) A−1 = |
|
1 |
~ |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
× AT |
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем |
X = A−1 × B. Матрица |
A−1 имеет размер |
|
2 × 2 , матрица В - 2 ×1. |
||||||||||||||||||||||||||
Матрица Х будет иметь размер 2 ×1. |
|
|
|
|
|
|
|
X = A−1
Ответ:
|
|
1 |
|
|
5 |
× B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
29 |
|||
x |
= |
|
2 |
||
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
y |
|
-1 |
3 11 |
|
2 |
|
1 |
5 ×11 + 3 |
|
1 58 |
|
|
2 |
||||
|
|
= |
|
, |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 29 |
|
|
|
4 |
1 |
|
-1 |
|
29 |
- 33 + 4 |
|
29 |
|
|
- 1 |
Контрольные варианты к задаче 4. Решить систему линейных уравнений двумя способами: а) по формулам Крамера, б) матричным методом. Сделать проверку.
1. |
2x - 3y =1 |
2. |
2x + 3y = 2 |
3. |
6x - y =1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 11y = 2 |
|
5x + 2y = 2 |
|
- 3x + 5y =1 |
|
3x |
||||
4. |
5x - 3y = 2 |
5. |
11x + 2y = 4 |
6. |
7x + 2y =1 |
||||
|
|
+ 2y = 5 |
|
|
- 2y |
= 5 |
|
|
- 2x = 5 |
|
13x |
|
3x |
|
3y |
||||
7. |
13y + 2x = 3 |
8. |
5y - 2x = 4 |
9. |
11x + 5y = 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
= -3 |
|
|
- 8y = 6 |
|
7x - 2y = 4 |
|
x + 10y |
|
7x |
||||
10. |
13x |
- 3y = 2 |
11. |
9x |
+ 2y |
= -5 |
12. |
7x |
+ 3y = -4 |
|
|
- y = 5 |
|
|
- 3y |
= 7 |
|
|
-10y = 5 |
|
20x |
|
4x |
|
3x |
15
13. |
6x − 7y = 2 |
14. |
3x − 11y = 5 |
15. |
7x + 10y = 2 |
|||
|
|
+ 10y = 3 |
|
|
+ 5y = 13 |
|
|
− 2y = 5 |
|
5x |
|
2x |
|
3x |
|||
16. |
− 2x + 5y = 7 |
17. |
3x + 10y = 5 |
18. |
11x + 2y = 5 |
|||
|
|
− 6x = 10 |
|
|
+ 7x = −10 |
|
|
− x = 7 |
|
3y |
|
3y |
|
3y |
|||
19. |
13x + 2y = 5 |
20. |
9x + 2y = 1 |
21. |
3x − 5y = 7 |
|||
|
|
− x = 7 |
|
|
+ 5y = −3 |
|
|
+ 7y = 3 |
|
3y |
|
2x |
|
2x |
|||
22. |
7x + 9y = 4 |
23. |
6x − 4y = 2 |
24. |
3x − 2y = 10 |
|||
|
|
− 5y = 1 |
|
|
+ 5y = −3 |
|
|
|
|
3x |
|
7x |
|
17x + 5y = 2 |
|||
25. |
7x + 8y = −2 |
26. |
5y + 2x = −5 |
27. |
3x − 5y = 7 |
|||
|
|
− 5y = 4 |
|
|
− 7y = 1 |
|
|
+ 2x = 1 |
|
3x |
|
3x |
|
3y |
|||
28. |
7x − y = −3 |
29. |
10x + 2y = 7 |
30. |
3x + 10y = 2 |
|||
|
|
|
|
|
− 13y = 1 |
|
|
− 7y = 1 |
|
x + 3y = 5 |
|
3x |
|
5x |
Задача 5. Определители третьего порядка можно находить методом треугольников
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
+ + + |
|
|
|
− |
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a 21 |
a 22 |
a 23 |
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 31 |
a 32 |
a 33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a11 × a 22 × a 33 + a12 × a 23 × a 31 + a13 × a 21 × a 32 - a13 × a 22 × a 31 - a11 × a 23 × a 32 - a12 × a 21 × a 33 .
В квадратных скобках приведена схема, по которой получены слагаемые. Три элемента, соединенные отрезками, перемножают, перед полученным произведением ставят знак, указанный сверху.
2x + 2y + 3z = 10 |
||
Пример 5. Решить систему линейных уравнений x − y = 4 |
|
по форму- |
|
+ z |
= −3 |
− x + 2y |
лам Крамера и матричным методом. Сделать проверку.
а) Главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных, найдем с помощью свойств определителя и теоремы Лапласа, разлагая определитель по третьему столбцу:
16
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
5 |
|
- 4 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D = |
1 |
-1 0 |
|
= |
1 |
-1 |
0 |
= |
||||||
|
-1 2 |
1 |
(- 3) |
|
|
-1 2 1 |
|
|||||||
=1× A33 |
= (-1)6 |
|
5 |
- 4 |
|
= 5 × (-1) -1× (- 4) = -1 ¹ 0. |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система является крамеровской. Найдем ее решение по формулам Крамера. |
||||||||||||||
Определитель 1 , |
получающийся из |
заменой первого столбца на столбец |
из свободных членов (правых частей системы), найдем методом треугольников.
|
10 |
|
2 |
3 |
=10 × (-1)×1 + 2 × 0 × (- 3) + 3 × 4 × 2 -10 × 0 × 2 - 2 × 4 ×1 - 3 × (-1)× (- 3) = |
|||||||||||||||||||||||||
D1 = |
4 -1 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
- 3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −10 + 0 + 24 + 0 − 8 − 9 = −3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Определитель |
2 получим из |
|
|
|
|
заменой второго столбца на столбец из сво- |
||||||||||||||||||||||||
бодных членов и вычислим, получив еще один нуль в третьем столбце: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
D2 = |
|
2 |
10 |
3 |
|
|
|
= |
|
5 |
19 |
|
0 |
|
= 1× A33 = (-1)6 |
|
5 19 |
|
= 5 × 4 -1×19 = 1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
4 0 |
|
|
|
|
1 |
|
4 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
-1 - 3 1 |
× (- 3) |
|
|
-1 - 3 1 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 , полученный |
|
|
|||||||||||||||||||||
Вычислим |
методом треугольников определитель |
из |
заменой |
|||||||||||||||||||||||||||
третьего столбца свободными членами, методом треугольников |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
D3 = |
|
1 -1 4 |
|
= 6 - 8 + 20 -16 + 6 -10 = -2. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 2 - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдем неизвестные по формулам Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x = x1 = |
|
1 |
= |
− 3 = 3; |
y = x 2 |
= |
|
|
|
2 |
= |
1 |
= -1; |
z = x3 |
= |
3 = |
− 2 = 2. |
|||||||||||||
D |
D |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
D |
-1 |
||||||||||||
Проверка. Подставим найденные значения |
x = 3, y = −1, x = 2 |
в каждое |
||||||||||||||||||||||||||||
уравнение системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
2 × 3 + 2(-1) + 3 × 2 =10 |
10 =10 |
||
|
(-1) = 4 |
|
4 = 4 |
3 - |
|
||
|
+ 2 × (-1) + 2 = -3 |
|
- 3 = -3 |
- 3 |
|
||
|
2x + 2y + 3z =10 |
||
б) Запишем систему x - y = 4 |
|
в матричном виде. |
|
|
|
+ z |
= -3 |
|
- x + 2y |
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
Пусть |
A = |
1 |
0 |
, |
|
|
|
-1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|||
Найдем A−1 |
по формуле |
|
|
10 |
|
|
x |
|
|
|||||
B = |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Тогда A × X = B |
и X = A−1 × B . |
||
|
|
|
|
|
, X = |
|
y . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
z |
|
|
|||||||
A−1 = |
|
1 |
~ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Ат . |
|
|
|
|
|||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
1) |
A |
= −1; 2) AT = 2 |
2 . |
|||
|
|
|
3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
3) A11 = (-1)2 |
|
-1 2 |
|
= -1 |
A12 |
= (-1)3 × |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
= 4 |
|
A13 |
= (-1)4 × |
|
|
|
2 -1 |
|
= 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
||||
A21 |
= (-1)3 × |
|
1 -1 |
|
= -1 A22 |
= (-1)4 × |
|
|
2 -1 |
|
|
= 5 |
A23 |
|
= (-1)5 × |
|
2 1 |
|
= 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
A31 |
= (-1)4 × |
|
1 -1 |
|
=1 |
A32 |
= (-1)5 × |
|
2 -1 |
|
= -6 A33 |
= (-1)6 × |
|
2 1 |
|
= -4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ T |
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= -1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
- 6 - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 4 |
3 |
|
1 |
- 4 - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4) A−1 = |
|
|
|
|
|
AT = (-1) |
-1 5 |
3 |
= 1 |
- 5 - 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- 6 |
- 4 |
-1 |
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
|
|
|
1 |
- 4 - 3 |
10 |
|
1×10 + (- 4)× 4 + (- 3)(- 3) |
|
|
3 |
||||||||||
Найдем X = A−1 × B = |
|
1 |
- 5 |
- 3 |
|
× |
|
4 |
|
= |
|
1×10 + (- 5)× 4 |
+ (- 3)(- 3) |
|
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
-1 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1)×10 + 6 × 4 |
+ 4 × (- 3) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
-1 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: y |
= |
-1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные варианты к задаче 5. Решить систему линейных уравнений двумя способами: а) по формулам Крамера, б) матричным методом. Сделать проверку.
1. |
x + y - z = -2 |
|
|
|
|
|
2. |
x + 2y + z = 4 |
|
3. |
|
4x + 2y - 3z = -1 |
|||||||||||||||
|
|
|
- 4y + z = -4 |
|
|
|
|
|
|
+ 4z |
= -7 |
|
|
|
+ y - z =1 |
||||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
x -12y |
|
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
- 3y + z =1 |
|
|
|
|
|
|
- 5y |
+ 3z |
=1 |
|
|
|
|
+ 3y |
- 6z = 2 |
|||||||||
|
4x |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
8х |
|||||||||||||||||
4. |
x - 5y - z = -14 |
|
|
|
5. |
x + 9y - 4z = 9 |
|
6. |
|
7x + 5y + z =16 |
|||||||||||||||||
|
|
- 2y + 3z = 6 |
|
|
|
|
|
|
+ 5y |
- 3z |
= 4 |
|
|
|
|
+ 8y |
- z = 7 |
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
5x |
|||||||||||||||||
|
|
|
+ 3y - 4z = 20 |
|
|
|
|
|
- 3y |
+ 2z |
= 9 |
|
|
|
+ 2y + 3z =1 |
||||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
4x |
|
|
x |
||||||||||||||||||
7. |
x |
1 |
- x |
2 |
+ x |
3 |
= 6 |
|
|
|
8. |
2x + 5y + 3z = 8 |
9. |
|
x + 3y + 5z = 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5y |
- 6z |
= -7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2x1 + x 2 + x3 = 3 |
|
|
|
|
3x |
|
|
2x + 4y + 6z = 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
+ x 2 + 2x3 = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 9y |
+ 7z = -1 |
|||||||||
|
x1 |
|
|
|
|
x - 4y - 2z = -3 |
|
|
8x |
||||||||||||||||||
10. |
3x − 4y + 5z = 1 |
|
|
|
11. |
3x + y − z = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
- 3y + z =1 |
|
|
|
|
|
|
- 3y |
+ z = -11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
- 5y - z =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3x |
|
|
|
|
|
|
x + 4y + 5z = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12. |
|
1 |
|
1 |
|
1 x |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
13. |
|
1 |
2 1 |
x |
|
|
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
-1 1 |
× x |
2 |
= |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
-1 3 × x |
2 |
= |
9 |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
-1 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
-1 2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|||||||||||||
14. |
|
2 |
|
1 |
|
1 x |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
15. |
|
3 |
− 3 |
2 x |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2 1 × y |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
- 5 2 × y |
= 1 |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 2 z |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 6 4 z |
|
3 |
|||||||||||
16. |
|
3 |
|
2 |
|
− 4 |
x |
|
|
8 |
|
|
|
17. |
|
2 |
1 |
− 3 x |
|
|
5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
4 - 5 × y = |
11 |
|
|
|
1 |
- 4 1 × y |
= |
- 9 |
||||||||||||||||
|
|
4 |
|
- 3 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
|
|
3 |
19
18. |
|
3 |
2 |
1 |
x |
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
2 -1 |
3 × |
х |
2 |
9 |
|||||||||
|
|
-1 1 |
- |
|
|
х |
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
1 |
|
3 |
|
- |
|
|||||||
20. |
|
2 |
-1 |
- 2 x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 × x 2 |
= 11 |
|
||||||||||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 4 x3 |
|
|
14 |
|
|
|||||||
22. |
|
1 |
- 2 |
3 x |
|
|
|
- 2 |
|
|
||||
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
× y |
|
= |
- 4 |
|
|
||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
24. |
|
2 |
-1 |
- 3 x |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
1 2 |
3 × x 2 |
|
= 9 |
|
|
||||||||
|
|
2 |
- 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x3 |
|
10 |
|
|
||||||||
26. |
|
2 |
-1 |
5 |
x |
|
|
|
|
- 6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
13 × x 2 |
= - 2 |
|
||||||||||
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
-1 x3 |
|
|
|
|
|
|||||||
28. |
-1 |
3 |
- 2 x |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
- 4 1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 × y |
2 |
|
|
||||||||
|
|
3 - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
5 z |
|
7 |
|
|
19. |
|
1 |
5 |
- 2 |
x |
|
|
|
|
-1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- 3 1 |
× |
у |
|
= |
8 |
|
|||||||
|
|
1 |
- 2 3 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
21. |
|
1 |
2 |
1 |
x |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
- 1 4 |
× x 2 |
= |
- 3 |
|
|||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
- 2 1 x |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
23. |
|
2 |
1 1 x |
|
|
|
- 4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 1 × x 2 |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||
|
|
5 1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
25. |
|
1 |
- 4 |
- 2 x |
|
|
|
7 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
1 |
× x 2 |
|
= |
2 |
|||||||
|
|
- 3 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
- 7 |
|
||
|
|
|
x3 |
|
|
||||||||||
27. |
|
1 |
- 2 |
3 |
|
x |
|
|
|
|
- 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 - 4 |
× y |
|
= |
0 |
|
||||||||
|
|
3 |
- 2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z |
|
|
|
|
- 2 |
|
|||||||
29. |
|
2 |
-1 |
- 5 x |
|
|
|
|
-11 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
1 |
0 × y |
|
= |
1 |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
- 2 -1 z |
|
|
|
|
|
|
3 -1 |
2 x |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
30. 1 |
2 |
-1 × y |
= |
7 |
|||
|
2 |
-1 |
5 |
|
|
|
|
|
z |
|
- 3 |
Задача 6. Для решения систем линейных уравнений применим метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Для этого расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над строками приводится к «трапециевидной форме», т. е. к виду, когда все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.
Элементарными преобразованиями над строками матрицы будем считать:
1)умножение всех элементов строки на число, отличное от нуля;
2)перестановку местами двух строк;
3)прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.
20