Haustova_Kichigina-alg

23.

A(− 1; − 2; 4), B(− 4; − 2; 0), C(3; − 2; 1),

24.

A(− 1; − 2; 4), B(− 4; − 2; 0),

a = AB + AC.

C(3; - 2; 1),

a= CB - AC.

25.

A(− 1; − 2; 4), B(− 4; − 2; 0), C(3; − 2; 1),

26.

A(− 1; − 2; 4), B(− 4; − 2; 0),

a = AC - AB.

C(3; - 2; 1),

a= CA - CB.

27.

A(− 1; − 2; 4), B(− 4; − 2; 0), C(3; − 2; 1),

28.

A(− 1; − 2; 4), B(− 4; − 2; 0),

a = AB + CB.

C(3; - 2; 1),

a= CB - AB.

29.

A(− 1; − 2; 4), B(− 4; − 2; 0), C(3; − 2; 1),

30.

A(− 1; − 2; 4), B(− 4; − 2; 0),

a = AB + CA.

C(3; - 2; 1),

a= CB + AC.

Задача 9.

Если даны

векторы

a {a1; a 2 ; a3 }

и b{b1; b2 ; b3 },

то

a × b = a1 × b1 + a 2 × b2 + a3 × b3 .

a × b

Тогда

cos a, b =

a

×

b

;

проекция

вектора

b

на направление

вектора a

прa b =

a × b

, условие перпендикулярности ненулевых векторов выглядит следую-

a

щим образом: a × b = 0.

a 3

Условие коллинеарности векторов:

a1

=

a 2

=

.

b1

b2

b3

Пример 9. Даны вершины треугольника A(1; 1; 1), B(5; 4; 1), C (6; 13; 1). Найти

угол при вершине А и проекцию вектора

AB на сторону АС.

С

Внутренний угол при вершине А образован векторами AB и AC ,

AB{5 -1; 4 -1; 1 -1}= AB{4, 3, 0},

А

В

AC {5; 12; 0}.

Тогда

cos AB, AC =

AB

×

AC

.

AB × AC = 4 × 5 + 3 ×12 + 0 = 56,

AB

×

AC

cos ÐA =

56

=

56

.

AB = =

42

+ 32 = 5,

AC =

52 + 122 =13.

5 ×13

65

Проекция

AB на направление вектора AC : пр

АB =

AB × AC

=

56

.

AC

AC

13

31

Контрольные варианты к задаче 9

1. Даны векторы

a = 2i - 4 j + k и b

= -i + j + 3k. Найти

прa+b b.

2. Найти косинус угла, образованного вектором

b =10i

- 2 2 ×

j

- 6k и осью OZ.

3. Даны векторы

a = 5 j + k и

Найти косинус угла между диа-

b = i + 4 j + 3k .

гоналями параллелограмма, построенного на векторах a и

b .

a = -6 i - 5k и

b{5;

6}. Вычислить прb (a + b).

4.

Даны векторы

3;

5.

Найти косинус угла, образованного вектором

a = 3 i - 2 j + k и осью ОУ.

6.

Даны векторы

a = {3; 1; -1}

и

b = −2i + 3j + 4k . Найти косинус угла, обра-

зованного вектором

a + b и осью ОХ.

7.

Даны векторы

и

AC = 2 i + 4 j + k . Найти пр

(AB + 2AC).

AB = i − 3j + k

AC

8. Вычислить проекцию вектора

a = 5 i + 2 j + 5k

на ось вектора

b = 2 i - j + 2k .

9. Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах a = 3 i + 4 j + 5k и b = 4 i + 5 j - 3k .
10. Определить, при каком значении	m векторы a = mi + j и b = 3 i − 3 j + 4k
перпендикулярны.	α векторы a = α i − 3 j + k и	b{1; α; 2}
11. Определить, при каком значении
взаимно перпендикулярны.
12. Даны вершины треугольника: A(-1; - 2; 4), B(- 4; - 2; 0), C(3;		- 2; 1). Оп-

ределить внутренний угол при вершине В.

13.Даны вершины треугольника: A(3; 2; - 3), B(5; 1; -1), C(1; - 2; 1). Определить внутренний угол при вершине А.

14.Найти вектор x , коллинеарный вектору a{2; 1; − 1} и удовлетворяющий

условию x × a = 3.		M(- 5; 7; - 6) и		N(7; - 9;		9). Вычислить проекцию векто-
	15. Даны две точки
ра	a{1, - 3, 1} на ось вектора		MN.
		a = 2 i −	4 j + k и		= − i + j + 3k . Вычислить прa+2b b.
	16. Даны векторы:			b
	17. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на
векторах a{2; 1; 0}, b = - j + k .					b{1; 4;	− 5}, c = 3 i − 4 j + 12k . Найти
	18. Даны три вектора: a{3; - 6; -1},
прc	(a + b).
	19. Даны три вектора: a{1; - 3; 4}, b{ 3; − 4; 2},					c = − i + j + 4k . Найти прb+c a .
	20. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на
векторах a{2; 1; 0} и
		b = −2 j + k.

32

21.

Даны три вектора:

a {3; − 6; − 1},

b{1; 4; − 5}, c = 3 i - 4 j +12k . Вычислить

прa

(b + c).

22.

Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен векторам

и

a = 2 i - k

b = 3 j

x × (2i - j + k)= -6.

и удовлетворяет условию

23.

Найти вектор

x , коллинеарный вектору a = 2 i + j - k и удовлетворяющий

условию x × b = 6.

24.

Даны вершины треугольника: A(− 1; − 2; 4), B(− 4;

− 2;

0), C(3; − 2; 1). Оп-

ределить внешний угол при вершине А.

25.

Даны вершины треугольника: A(3;

2;

− 3), B(5;

1;

− 1), C(1; − 2; 1). Опре-

делить внешний угол при вершине А.

26.

Дан вектор

a = 3 i + 2 j - k

и точки

M(3; − 1;

2)

и

N(4; − 2; 1). Найти

пр

a.

MN

A(2; − 1; 3), B(1; 1; 1),

27.

В треугольнике с вершинами

C(0; 0; 5). Опреде-

лить внутренний угол при вершине А.

b{2; - 2; 1}.

28.

Даны

векторы

a{1; − 1;

2}

и

Найти проекцию вектора

c = 3a - b на направление вектора

b.

29.

Даны вершины треугольника: A(4; 1;

0), B(2; 2;

1), C(6; 3;

1). Найти про-

екцию вектора

AB на сторону AC.

30.

Даны векторы

a = 3 i - 6 j - k ,

b = i + 4 j - 5k ,

c = 3 i + 4 j + 2k. Найти

проекцию вектора

a + c

на вектор

b + c.

Задача 10. Площадь

параллелограмма,

построенного на

векторах а и b ,

можно найти по формуле Sn =

a × b

,

а площадь треугольника,

построенного

1

на этих векторах:

S

=

a

´ b

.

2

A(1; 2; 0),

B(3; 0; − 3) и C(5; 2; 6).

Пример 10. Даны вершины треугольника

Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.

1

S

=

AB ´ AC

. Находим векторы AB и AC :

2

AB{3 -1; 0 - 2; - 3 - 0}= AB {2, - 2, - 3}, AC{5 -1; 2 - 2; 6 - 0}= AC{4, 0, 6}.

33

i

j

k

- 2

- 3

2

- 3

Векторное произведение

AB ´ AC =

2

- 2

- 3

= i ×

- j ×

+

4

0

6

0

6

4

6

2 - 2

+ k ×

= i × (-12 + 0) - j × (12 + 12) + + k × (0 + 8) = -12 i - 24 j + 8k =

4

0

=

1

× 28 =14.

=

AB ´ AC

=

(-12)2 + (- 24)2

+ 82

=

784

= 28,

S

1

2

h − длина высоты, опущенной из вершины С на сто-

Так как S

=

×

AB

× h ,

где

2

2 × S

2 ×14

=

28 ×

.

h =

=

=

, h =

17

рону АВ,

.

AB

22 + (− 2)2

+ (− 3)2

17

17

AB

17

Контрольные варианты к задаче 10

1. В параллелограмме ABCD даны векторы

AB = 3 i + 2 j - k и AD{2; 1; - 2}.

Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма

ABCD.

2. Даны три вершины параллелограмма A(3; − 2; 4) , B(4; 0; 3)					, C(7; 1; 5) .
Найти длину высоты, опущенной из	вершины	С	(через	площадь
параллелограмма).
3. Найти площадь треугольника с вершинами A(− 1; 3; 2) , B(1; 2; 6), C(2; 5; 1)
(средствами векторной алгебры).			A(5; 2; 7)		B(6; 1; 9) ,
4. Найти площадь треугольника с	вершинами			,
C(5; 2; 8) (средствами векторной алгебры).
5. Даны три вершины треугольника:	A(3; − 1; 2) ,		B(3; 0; 3) ,		C(2; − 1; 1) .

Найти его высоту, приняв ВС за основание (через площадь треугольника).

6. На векторах
	a 1; 1;

	3
			и	b = i	+ 2 j +	9	k построен параллелограмм. Найти
	2					2

площадь параллелограмма, сторонами которого являются диагонали данного параллелограмма.

7.Даны векторы a{− 1; 3; − 3} и b = 2 i + 2k . Найти вектор c, перпендикулярный к векторам a и b, если модуль вектора c численно равен площади треуголь-

ника, построенного на векторах a и b, и тройка векторов a,								b, c − левая.
8. Даны точки A(2; − 1; − 4) , B(5; 1; 2) ,	11			; −	1	; −	5
	C							.	Найти площадь
					2		2
	2
параллелограмма, построенного на векторах	AB и ( BC + AC ).

34

9. На векторах

a{4; 7; 3}

и b{1; 2; 1} построен

параллелограмм. Найти высо-

ту, опущенную на основание

b (через площадь).

10. В треугольнике ABC, где A(− 1; 4; 3),

B(− 1; 20; 13),

C(− 1; 10; 7), найти

длину

высоты, опущенной на сторону AB (через площадь треугольника; средст-

вами векторной алгебры).

11. На векторах

a(− 2;

− 2; − 3)

и

+ 6 j + 7k построен параллелограмм.

b = 3i

Найти

площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного паралле-

лограмма.

A(− 1; 4; 3) ,

B(− 1; 20; 13)

и C(− 1; 10; 7)

12. В треугольнике с вершинами

точка

E делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника АСЕ (средст-

вами векторной алгебры).

13. Найти площадь параллелограмма со сторонами 2a − b и

a + 2b, если

a

= 3i

− j − 2k,

b = i + 2 j − k.

14. Найти площадь треугольника со сторонами a и b − c, если

a{1; − 2; 0},

и c = − j + 3k.

b = 2 i

+ j − k

15. Дан треугольник с вершинами

A(2; − 1; 2) ,

B(1; 2; − 1)

и

C(3; 2; 1). Вы-

числить площадь треугольника и высоту, опущенную из вершины А (средствами векторной алгебры).

16. Даны векторы a = i − 2 j + k и b = 5i + 3j. Найти вектор d , который перпендикулярен векторам a и b , если длина его численно равна площади треуго-

льника, построенного на векторах		и b , и	тройка векторов
	a			a,	b, d − правая.
17. Даны точки A(1; 2; 0) , B(3; 0; − 3)			и C(5; 2; 6). Вычислить площадь

треугольника и высоту, опущенную из вершины С (средствами векторной алгебры).

18. В треугольнике с вершинами A(2; − 1; 2) ,		B(1; 2; − 1) и C(3; 2; 1) точка
E делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника ВСЕ (средствами век-
торной алгебры).
19. Даны точки A(2; − 1; 2), B(1; 2; − 1) и		C(3; 2; 1). Найти площадь па-
раллелограмма, построенного на векторах
	a = BC − 2CA и b = CB.
20. Даны три вершины треугольника:	A(1; − 1; 2) , B(5; − 6; 2) , C(1; 3; − 1).

Вычислить его высоту, опущенную из вершины В (через площадь, средствами векторной алгебры).

21.	Дан треугольник с вершинами	A(1; 2; − 1) , B(0; 1; 5) и C(− 1; 2; 1).
Найти	его высоту, опущенную из вершины А (через площадь, средствами вектор-
ной алгебры).
22.	Даны векторы b{− 3; 1; 2} и c = i + 2 j + 3k. Вычислить площадь треуголь-
ника, построенного на векторах 2b − c		и 2c	− b.

35

23. Даны векторы

b{3; 1; -1} и

a = 2i + 3j - k. Вычислить площадь треуголь-

ника, построенного на векторах

2a - b и 3b - a.

24. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах b + 3a

и 2a ,

где

a = i - 3j + k,

b = 2i + j - k.

A(1; 2; 0) ,

B(3; 0; − 3) и C(5; 2; 6)

25. В треугольнике с вершинами

точка

E делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника АСЕ (средствами век-

торной алгебры).

b{− 3; 1;

2}. Найти вектор c , который пер-

26. Даны векторы

a {2; − 3; 1}

и

пендикулярен векторам a и b,

если модуль вектора

c

численно равен площади

треугольника, построенного на векторах a и

b , и тройка векторов

a, b,

c − ле-

вая.

A(5; − 1; 3)

B(0; − 2; 1)

C(3; 2; 4). Найти

27. Даны точки

,

и

длину высо-

ты треугольника АВС, опущенной

из вершины С (через площадь, средствами век-

торной алгебры).

A(− 1; − 2; 0),

B(2; 1; 3) и

28. Даны три вершины параллелограмма

C(− 3; 0; 1). Найти

длину высоты,

опущенной из вершины С (через площадь,

средствами векторной алгебры).

29. На векторах

a{2; − 3; 1} и

b = 2k − 3i + j построен параллелограмм. Найти

площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях.

30. Даны векторы

a {2; − 3; 1},

b = −3i + j + 2k

и

c = i + 2 j + 3k. Вычислить

площадь треугольника, построенного на векторах

2a

и

b + 3c.

Задача 11. Если даны координаты

(x1 , y1 ,

z1 ),

(x 2 , y2 , z2 ) и

(x3 , y3 , z3 ),

b

a

c

то смешанное произведение векторов вычисляют по формуле

x1

y1

z1

= x 2

y2

z2 .

b

a

c

x3 y3 z3

Объемы параллелепипеда и тетраэдра (треугольной пирамиды), построенных на векторах a, b, c находятся с помощью смешанного произведения векторов:

	V =		a × b × c		, V =	1			a × b × c		.
	пар				тет	6
Если	a ´ b × c > 0, то тройка векторов				a, b, c - правая.
Если	a´b ×c < 0, то тройка левая.

Если a ´b ×c = 0, то векторы a, b, c компланарны.

36

Пример 11.

′

′

′ ′

на векторах

Дан параллелепипед ABCDA B C D , построенный

AB{4; 3; 0},

AD(2; 1; 2} и

AA¢{- 3; - 2; 5}. Найти высоту, проведенную из вер-

шины

A′ на грань ABCD.

Объем V

равен произведению площади

основания на высоту:

пар

Vпар = S × h =

AB ´ AD

× h.

V находится также по формуле

V

=

,

AB × AD ×

AA¢

поэтому

пар

пар

h =

AB ´ AD × AA¢

.

AB ´ AD

k

i

j

Вычислим векторное произведение

AB ´ AD =

4

3

0

=

2

1

2

3 0

4 0

4 3

×

+ k ×

-

= {6; - 8;- 2}.

= i

- j ×

= 6 i

8 j - 2k

1

2

2

2

2

1

=

AB ´ AD

62 + (- 8)2

+ (- 2)2

= 2

26.

AB × AD × AA¢ =

4

3

0

= -12,

AB × AD × AA

=

-12

=12.

2

1

2

=

12 ×

- 3 - 2 5

Тогда

h =

12

26

=

3

26

.

2

26

2 × 26

13

Контрольные варианты к задаче 11

1.

Найти объем треугольной пирамиды, построенной на векторах

AB{1; 3; 1},

AC{0; 1; -1} и AD = -2i + 2 j + 2k .

2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(− 1; 4; 1),

B(0;7;1),

C(1; 3; 5), D(0; 6; − 1).

3.

Найти значение

t , при

котором

векторы

a{2;

-1; 5},

b{t; 4; 2} и

c = {1; 0; -1} образуют левую тройку, а объем параллелепипеда, построенного на них, равен 33.

37

4. Даны векторы

a

b{1; -1;0}, c = k. Найти значение t, при кото-

= t i

+ 2 j + k,

ром выполняется равенство a × b × c = a × c.

5. Точки

A(2; 3; t), B(3; − 1; − 2),

C(1; 4; 0) и

Д(1; 3; 2) лежат в одной плос-

кости. Найти t .

A(3; − 1; 2),

6. Найти объем параллелепипеда, зная четыре его вершины:

B(0; − 1; 3), C(0; 1; 1) и D(3; 4; − 1).

7.

Найти

значение

t,

при

котором

векторы

a = t i + tj + k,

b = 5i

+ 3 j ,

c{− 1;

3; t} компланарны.

8.

Точки

A(− 2; 1; − 3), B(3; 4; 4),

C(5; 6; 0) и E(5; 6; t ) служат вершинами

параллелепипеда, объем которого равен 16. Найти t.

9. Даны векторы

a{- 2; - 2; 2}

b{1; -1; 1} и c = 5i - 0,5 j + tk. Найти значение t,

при котором имеет место равенство a ´ b × c = a × b.

+

3k,

компланарны.

10. Векторы a

= t i

2 j +

b = 5 j

+ 7k и c = -i

+ 3 j + 4k

Найти t.

11. Даны векторы

a{1;

t; − 1},

b =

Найти значение t,

2i

+ j + 3k

и c = - j

- 5i .

при котором имеет место равенство a ´ b × c = a × b - b × c + a × c.

12. Даны векторы

a{- 2; 3; t}

b =

4 i -

4 j + 2k , c =

4k + j. Найти значение t, при

котором имеет место равенство

a × b × c =

b

.

13. Векторы

a{1; - 3; 1}

b{3; 2; - 2} и

с = t i +

4 j - k образуют правую тройку,

причем объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен девяти. Найти t.

14.	Векторы
		a	= 6 i	+ j + 5k,	b = 3i - 2 j + 7k		и c образуют левую тройку и
служат ребрами параллелепипеда, объем которого равен 45. Вектор c								перпенди-
кулярен плоскости ХОУ. Найти отличную от нуля координату вектора								c.
15.	Векторы	a{3; 4; t}		b{0; - 3; 1} и c			образуют левую тройку. Объем
						= 2 i + 5k
построенного на них параллелепипеда равен 51. Найти t.
16.	Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках A(2; 2; 2),

B(4; 3; 3), C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).

17. Объем треугольной пирамиды равен пяти. Три его вершины находятся в

точках	A(2; 1; − 1), B(3; 0; 1), C(2; − 1; 3). Найти отличную от нуля координа-
ту четвертой вершины D, если она лежит на оси ОУ.
18.	Точки A(1; 3; 2),		B(1; 4; 0), C(3; − 1; − 2) и	D(2; 3; t )	лежат в одной
плоскости. Найти t.				a{t; 3; 2},	b{2; - 3; - 4} и
19.	Найти	значение t,	при котором векторы
c{− 3; 12; 6}		компланарны.

38

20. Проверить, лежат ли				точки				A(2; − 1; 2), B(1; 2; 1),	C(2; 3; 0) и
D(5; 0; − 6) в одной плоскости.
21. Найти объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках
A(6; 1; 5), B(− 1; 3; 0), C(4; 5; − 2) и D(1; − 1; 6).
22. Даны векторы	a{1; 2; t},			b{1; - 3;				2} и c = - 2i + k. Найти t, при котором
имеет место равенство						2	.
	a	´ b × c =		c

23. Векторы a{1; 1; t},

b{2; 1; 1},

c = i - 2 j + 3k образуют правую тройку. Объем

построенной на них треугольной пирамиды равен

5 / 3 . Найти t.

24. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках

А(0;− 2; 5), B(6; t; 0),

C(3; − 3; 6) и

D(2; − 1; 3). Найти значение t, если объем пирамиды равен 45.

25. Даны векторы a{1; − 1; 1}, c{ 5;

t; 2},

Найти значение t,

b = -2 i

- 2 j + 2k.

если имеет место равенство a ´ b × c =

b

×

a

.

=

+ 2k и

26. Даны векторы a

3i + 4k,

b = j

c = i

- j + tk. Найти значение t, если

имеет место равенство

a ´ b × c =

a

.

27. Определить, при каком значении t векторы

a

= i

+ j,

b = j

- k , c

= t i - j + k

компланарны.

28. Даны векторы a = {- 2; 1; 1},

b{1; 5;

0}, c = i - j + tk . Найти значение t, при

котором имеет место равенство

=

2

.

a × b × c

a

29. Векторы

b

a = -2i

+ j + k,

= 7 i

+ tj, c{3; 0; 1} образуют правую тройку, а

объем построенного на них параллелепипеда равен 12. Найти значение t.

30. Даны векторы a{2; t; 1}, b =

c = 2 j + k.

Найти значение t, если име-

4i + k ,

ет место равенство a ´ b × c = -a × b + b × c. Задача № 12. Пусть вектор a = am + bn

декартовый базис. Пусть известны m , n ,

, причем векторы m и n не образуют

m, n тогда

=

×

=

а

а

а =

а2 =

(am + bn)2

= a2 × m2 + 2a× b × m

× n

+ b2 × n 2

=

a2

2 + 2ab

2 .

m

m

n

cos m × n + b2

n

a = a1m + b1n и

Если векторы

b = a2 m + b2 n , то

× b = (a

+ b

× a

2 + a

× b

+ b × b

=

a

m + b n)× (a

2

m

n ) = a

1

m

1

m × n + b × a

n

× m

n 2

1

1

2

2

2

1

1

1

2

= a

× a

+ (a

× b

+ a

+ b × b

=

1

m2

1

2

2

× b )m

× n

n 2

2

1

1

2

= a × a

2

+ (a ×b

+ a

×b )

×

× cos m × n + +b

× b

2 .

2

m

2

2

m

n

1

2

n

1

1

1

39

Пример 12.

При каком ненулевом значении t

вектор a = tm + n

будет еди-

ничным, если

= 1,

= 2π / 3?

Вектор будет единичным, если

его

m

n

= 1, m, n

2 =1.

длина будет равна единице, т. е.

a

a

2

= (tm + n)2 = t 2 m2

+ 2tm

× n

+ n 2

=

= t 2

2

+ 2t

+

2

=1,

m

m

×

n

cos m, n

n

2

1

2

− t = 0,

t

+

2t ×

-

+ 1 =1,

t

t ¹ 0, t =1.

2

Контрольные варианты к задаче 12

1. Даны векторы

=

b =

= 2 ,

b.

a

4m − n и

2m + 2n , где

m

n

= 3 , a

Найти косинус угла между векторами				m и
	=		- t, b	=		+
2. Найти пр a , если a		s			s

b

n.
		= 4,		= 2,
5t ,	s		t		(s , t ) = p/ 3.

3.

Даны

векторы

и

b =

найти

пр a ,

если

a = m + 2n

2m

- n ,

b

(m , n) = π / 4.

= 1/ 8,

= 1/ 4,

m

n

4. Даны векторы

+

и b =

Найти косинус угла между век-

a =

m

2n

2m -

n .

=

1

=

1

(m ,

n) = π / 4.

торами a и b , если

m

,

n

,

4

8

a = ℓm + 2n

5. При каком отличном от нуля значении

параметра ℓ вектор

будет единичным, если

=

3 ,

=

1/ 2,

(m , n)

= 2π / 3?

m

n

6.

Даны

векторы

+

и

найти

пр a ,

если

a = m

2n

b = 2m -

n ,

b

(m, n) = π / 4.

= 1/ 8 ,

= 1/ 4,

m

n

7. Векторы

-

служат сторонами параллелограмма.

AB = t

- 2s

и AC = s

t

Найти

косинус угла

между

диагональю

BC

и

стороной

AC ,

если

=

=

s

3 ,

t

6 , (s , t ) = p/ 4.

1

8.

Даны векторы

a

=

p

+

ℓq ,

b =

p

− q .

При каком значении параметра ℓ

2

вектор a b , если

p

q

8, (p,

q ) = 3π / 4?

= 2,

=

9. В параллелограмме АВСD найти длину диагонали ВD , если

3

b

1

1

, (a,

) =

5

АВ =

a + b ,

АD =

,

a

=

,

b

=

b

π .

2

2

2

3

2

6

10. В треугольнике АВС найти косинус внутреннего угла В, если

40