Haustova_Kichigina-alg
.pdfРангом матрицы называется наивысший порядок минора, отличного от нуля. Найдем ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы. Решим вопрос о
совместности системы с помощью теоремы Кронекера-Капелли и определим число решений. Восстановим по последней матрице систему и решим ее «снизу вверх». Выполним проверку.
2x − y + 5z + 2u = 7 |
|
|||
|
+ 4y + 6z |
− 4u |
= 3 |
|
3x |
методом Гаусса. |
|||
Пример 6. Решим систему |
|
|
|
|
x − y + 7z = |
5 |
|
|
|
|
+ 6y + 8z |
− 2u |
= 1 |
|
4x |
|
Запишем расширенную матрицу системы. Выполним преобразование 2), сделав первой строку, первый элемент которой равен единице. Если такой строки нет, то ее получают, используя пп. 2) и 3).
2 − 1 5 2 |
|
7 |
|
1 − 1 7 |
0 |
|
5 (− 3)(− 2)(− 4) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 6 |
|
3 |
|
3 4 6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
− 1 7 0 |
|
|
|
~ |
− 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|||||
1 |
|
5 |
|
|
2 |
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|||||
4 6 8 |
|
1 |
|
4 6 8 |
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
7 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−15 |
− 4 |
|
−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
~ |
|
0 |
|
1 |
− 9 |
2 |
|
− 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
− 20 |
− 2 |
|
−19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью преобразований 3) получили нули в первом столбце. Второй сделаем строку, второй элемент которой равен единице. Если такой строки нет, тот ее получают с помощью преобразований. В матрице поменяем местами вторую и третью строки и получим нули во втором столбце ниже диагонали.
|
1 |
− 1 |
7 |
0 |
|
|
|
− 9 |
|
0 |
1 |
2 |
||
|
0 |
7 |
− 15 |
− 4 |
|
||||
|
|
10 |
− 20 |
− 2 |
0 |
5
− (− ) (− )
3 7 10
−12
19
|
|
1 |
− 1 |
7 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
− 9 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
− 3 |
|||
~ |
|
0 |
0 |
48 |
− 18 |
|
9 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
70 |
− 22 |
|
11 |
|
|
0 |
|
|
Элементы, получившиеся в двух последних строках, довольно большие. Их можно уменьшить: умножим 3-ю строку на 1/3, из четвертой вычтем третью, результат умножив на 1/2:
21
1 -1 7 |
0 |
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
-1 7 |
0 |
|
|
|
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
- 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - 9 2 |
|
|
|
|
|
||||||
0 1 |
2 |
|
|
- 3 |
|
|
|
~ |
0 |
|
|
- 3 |
(− 2) |
|||||||||||
|
|
- 6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
5 - 4 |
|
|
|
|
|||||||
0 0 16 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 0 11 |
|
|
1 (-1) |
|
0 |
|
|
|
- 3 |
|
||||||||||||||
1 -1 7 |
0 |
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
-1 7 |
0 |
|
|
|
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
- 9 |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - 9 |
|
|
|
|
|
|
||||
0 1 |
2 |
3 |
(- 5) |
~ |
0 |
|
2 |
|
|
|
- 3 |
~ |
||||||||||||
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
6 |
|
|
|
|
||||||||||
0 0 |
- |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
- 3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 - 34 |
|
|
× (-1 34) |
||||||
0 0 |
5 |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
17 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
7 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
~ |
|
0 |
0 |
|
1 |
6 |
|
- 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получившаяся матрица системы имеет ранг 4, такой же ранг имеет и расширенная матрица. Система совместна и имеет единственное решение. Найдем его, решив систему
x - y + 7z = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y - 9z + |
2u = -3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y - 0 + 2 - |
|
= -3, y = -2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z + 6u = -3 |
z + 6 × - |
|
|
|
|
= -3, z = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
u = - |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполним проверку полученного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
× 3 - (- |
2) + 0 + 2 × - |
|
|
|
|
|
= 7, |
7 = 7 |
x = 3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = -2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
3 |
× 3 + 4 × |
(- 2) + 0 - 4 × |
- |
|
|
|
= 3, |
3 = 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Ответ: |
z = 0 |
|
|
|
||||||
|
|
- (- 2) + 0 = 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 = 5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
u = - |
. |
|
||||||
|
× 3 + 6 × (- 2) + 0 - 2 × |
- |
=1, |
1 =1 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Контрольные варианты к задаче № 6.
Решить систему методом Гаусса. Выполнить проверку.
1. |
2x1 + 3x 2 + 11x3 |
+ 5x 4 = 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x 2 + 5x3 + 2x 4 = 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + x 2 + 3x3 + 2x 4 = −3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x 2 + 3x3 + 4x 4 = −3 |
||||
3. |
x + 2y + 3z − 2u = 6 |
||||
|
|
− y |
− 2z − 3u = 8 |
||
|
2x |
||||
|
3x + 2y − z + 2u = 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2z + u = −8 |
||
|
2 x − 3y |
||||
5. |
|
y − 3z |
+ 4u = −5 |
||
|
|
|
− 2z |
+ 3u = −4 |
|
|
x |
|
|||
|
3x + 2y |
|
− 5u = 12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3y |
− 5z |
|
= 5 |
|
4x |
|
|||
7. |
2x − y + z − u = 1 |
||||
|
|
− y |
− 3u = 2 |
||
|
2x |
||||
|
3x |
|
− z + |
u = −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2y |
+ 2z + 5u = −6 |
||
|
2x |
||||
9. |
2x + 5y + 4z |
+ |
u = 20 |
||
|
|
+ 3y |
+ 2z + |
u = 11 |
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 x + 10y + 9z + 7u = 40 |
||||
|
3x + 8y + 9z + 2u = 37 |
||||
|
|
|
|
|
|
11. |
2 x + 3y − z − 2u = 4 |
||||
|
|
− y |
+ 2z + 2u = 9 |
||
|
3x |
||||
|
|
+ 2y |
+ 3z − 4u = 3 |
||
|
x |
||||
|
|
− 4y |
− z + 3u = 4 |
||
|
3x |
2. |
x1 + x 2 + 2x3 + 3x 4 = 1 |
||||||||||
|
3x |
1 |
− x |
2 |
− x |
3 |
− 2x |
4 |
= −4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ 3x 2 − x3 − x 4 = −6 |
||||||||
|
2x1 |
||||||||||
|
|
|
+ 2x 2 + 3x3 − x 4 = −4 |
||||||||
|
x1 |
||||||||||
4. |
6x + 5y − 2z + 4u = −4 |
||||||||||
|
|
|
− |
y + 4z − |
u = 13 |
||||||
|
9x |
|
|||||||||
|
3 x + 4y + 2z − 2u = 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − 9y |
|
|
|
+ 2u = 11 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
x + 3y + 5z + 7u = 12 |
||||||||||
|
|
+ 5y + 7z |
+ |
|
u = 0 |
|
|||||
|
3x |
|
|
||||||||
|
5 x + 7y + z + 3u = 4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
y + 3z |
+ 5u = 16 |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
7x + |
||||||||||
8. |
x + 2y + 3z + 4u = 5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
y + 2z |
+ 3u = 1 |
|
|||||
|
2x + |
|
|||||||||
|
3x + 2y + z + 2u = 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ u = −5 |
||||
|
4x + 3y + 2z |
||||||||||
10. |
2x − y − 6z + 3u = −1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 15u = −32 |
||||
|
7x − 4 y + 2z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2y − 4 z + 9u = 5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
+ 2z − 6u = −8 |
|
||||||
|
x − y |
|
|||||||||
12. |
x + |
y − 6z − 4u = 6 |
|
||||||||
|
|
− |
y − 6z |
− 4u = 2 |
|
||||||
|
3x |
|
|||||||||
|
|
|
+ 3y + 9z |
+ 2u = 6 |
|
||||||
|
2 x |
|
+ + + = −3x 2y 3z 8u 7
23
13. |
3x + 4y + z + 2u = −3 |
|
|
|||||||||||
|
3x + 5y + 3z + 5u = −6 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x + 8y + z + 5u = −8 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 5y + 3z + 7u = −8 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
2x1 + 2x 2 |
− x3 |
+ |
x 4 |
|
= 4 |
||||||||
|
|
|
|
+ 3x 2 |
− x3 + 2x 4 = 6 |
|||||||||
|
4x1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
+ 5x 2 |
− 3x3 + 4x 4 = 12 |
|||||||||
|
8x1 |
|||||||||||||
|
3x |
1 |
+ 3x |
2 |
− 2x |
3 |
+ 2x |
4 |
|
= −6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
17. |
x + 2y + 3z + 4u = 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
+ 3y + z + 2u = 0 |
|
|
|
|||||||
|
2 x |
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
+ y + |
z − |
|
u = 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
− 2z − 6u = 7 |
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
19. |
x1 + x 2 |
|
+ |
|
x 4 |
= 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− x 2 |
|
+ 2x 4 = 1 |
|
|
||||||
|
x1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
− x3 + 2x 4 = 1 |
|
|
|||||||
|
2x1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
x1 |
+ x 2 + x3 |
|
|
|
= 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
21. |
x1 − x 2 |
+ 7x3 |
− 2x 4 |
|
= 2 |
|||||||||
|
|
|
|
− 3x 2 |
+ 8x3 − 4x 4 = 1 |
|||||||||
|
2x1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
+ 2x 2 |
+ 19x3 + x 4 |
|
= 8 |
|||||||
|
4x1 |
|
||||||||||||
|
6x |
1 |
− 5x |
2 |
+ 11x |
3 |
− 3x |
4 |
|
= −3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
23. |
x1 + 3x 2 |
+ x3 |
+ |
4x 4 |
= 2 |
|||||||||
|
|
|
|
− 3x 2 |
+ 2x3 + 8x 4 = 1 |
|||||||||
|
2x1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
+ 3x 2 |
+ 4x3 − 4 x 4 = 0 |
|||||||||
|
4x1 |
|||||||||||||
|
|
x1 |
+ 6x 2 |
− x3 |
+ 12x 4 |
= 6 |
||||||||
|
|
|||||||||||||
25. |
2x − 2y |
|
+ |
|
u = −3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 3y + z − 3u = −6 |
|
|
|||||||||||
|
3x + 4y − |
z + 2u = 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 3y + |
z − u = 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
14. |
4x − 3y + |
z + 5u = 7 |
||
|
|
− 2y − 2z |
− 3u = 3 |
|
|
x |
|||
|
3x − y + 2z |
= −1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
+ 3y + 2z |
− 8u = −7 |
|
|
2x |
|||
16. |
2x − 3y + 3z + 2u = 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
6x + 9y − 2z − u = −4 |
|||
|
10x + 3y − 3z − 2u = 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x + 6y + z + 3u = −7 |
|||
18. |
5x + 3y + z |
= 16 |
||
|
|
|
|
= 3 |
|
− x + 2y + z |
|||
|
|
− y + z |
= 2 |
|
|
|
|||
|
|
+ z + 2u = 7 |
||
|
x |
|||
20. |
x + y − z + u = 7 |
|||
|
|
|
|
= 1 |
|
x − y + z + u |
|||
|
|
|
|
= −1 |
|
x + y + z − u |
|||
|
|
|
|
= 5 |
|
x + y + z + u |
|||
22. |
x1 − 2x 2 |
+ 4x3 − 3x 4 = 1 |
||
|
|
|
|
|
|
2x1 − 3x 2 + 3x3 − 2x 4 = 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
4x1 − 9x 2 + x3 − 8x 4 = −3 |
|||
|
|
|
|
|
|
x1 + 6x 2 − 4x3 + 8x 4 = 4 |
|||
24. |
3x − 2y − 5z + u = 3 |
|||
|
|
− 3y + z |
+ 5u = −3 |
|
|
2x |
|||
|
|
+ 2y |
|
− 4u = −3 |
|
x |
|
||
|
|
− y − 4z |
+ 9u = 22 |
|
|
x |
|||
26. |
x + 2y + 3z + 4u = 3 |
|||
|
|
+ y + 2z + 3u = −2 |
||
|
2x |
|||
|
3x + 2y + |
z + 2u = 3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
+ 3y + 2z |
+ u = 2 |
|
|
4x |
24
27. |
|
3x + 7y − 2z + 4u = 3 |
||
|
|
|
− 2y + 6z − 4u = 11 |
|
|
− 3x |
|||
|
|
5x |
+ 5y − 3z + 2u = 6 |
|
|
|
|||
|
|
|
+ 6y − 5z + 3u = 0 |
|
|
2x |
|||
29. |
2x + 3y + 5z |
+ 3u = 2 |
||
|
|
|
|
|
|
x + 2y + 4z + 3u = −1 |
|||
|
3x + 3y + 6z |
+ 5u = −1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2u = 2 |
|
4x + y + 2z |
28. |
5x + 4z + 2u = 3 |
|||
|
|
− |
y + 2z + u = 1 |
|
|
x |
|||
|
|
+ |
y + 2z |
= 1 |
|
4x |
|||
|
|
+ y + z + u = 0 |
||
|
x |
|||
30. |
2x + |
y + 4z + 8t = −1 |
||
|
|
|
|
|
|
x + 3y − 6z + 2t = 3 |
|||
|
3x − 2y + 2z − 2t = 8 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
− |
y + 2z |
= 4 |
|
2x |
Задача 7. Решая систему линейных уравнений методом Гаусса, можно по ходу решения исследовать систему на совместность, найти число решений, определить основные и свободные переменные. Если все правые части системы (свободные члены) равны нулю, то система называется однородной. Такая система всегда совместна. Если ранг матрицы системы r равен числу неизвестных n, то система имеет единственное решение (нулевое). Если r < n , то система имеет бесконечное множество решений, причем r основных переменных могут быть выражены через n-r свободных переменных.
Пример 7. Исследовать и решить систему уравнений. Выполнить проверку общего решения.
x1 + x 2 + x3 + x 4 = 0 |
|
|
+ x 2 + 4x3 + 3x 4 = 0 |
x1 |
|
|
+ x 2 + 9x3 + 2x 4 = 0 |
2x1 |
|
|
+ 4x 2 + 7x3 + 6x 4 = 0. |
4x1 |
Матрицу системы приведем к трапециевидной форме, выполняя элементарные преобразования над строками:
1 |
1 |
1 |
1 × (-1)(- 2)(- 4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
||||||||||
|
2 |
1 |
9 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
4 |
7 |
6 |
|
|
|||||
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 |
|
||
~ |
0 |
0 |
3 |
2 |
× (-1) |
|
~ |
0 0 0 |
0 |
|
~ |
|
0 1 - 7 |
0 |
. |
||
|
|
||||||||||||||||
|
-1 7 |
|
|
|
− 7 |
|
|
||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
0 1 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
(-1) |
|
|
|
|
1 |
|
0 0 1 |
|
|
||
|
0 |
0 |
3 |
2 |
|
0 0 3 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
25
|
1 |
1 |
1 |
|
Ранг матрицы системы r = 3, т. к. |
0 |
1 |
- 7 |
=1 ¹ 0. |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Число неизвестных |
n = 4. Так как r < n, то система имеет бесконечно много реше- |
||||||||||||||||||||
ний, в том числе и ненулевых. Основные переменные x1 , |
x 2 , |
x3 |
могут быть вы- |
||||||||||||||||||
ражены через свободную переменную |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x 2 + x3 + x 4 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
x1 = -x 2 - x3 - x 4 |
= |
14 |
|
+ |
2 |
x 4 - x 4 = |
||||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 2 - 7x3 |
|
|
= 0 x 2 |
= 7x |
3 = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x3 + |
2 |
x 4 |
= 0 x3 |
= - |
2 |
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
13 |
x |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка. Подставим решение в исходную систему:
|
13 |
|
x 4 |
|
|
- |
14 |
|
|
x |
|
- |
2 |
x 4 + x 4 = -0, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||||||||||
12 |
x 4 - |
|
|
|
|
- |
|
|
|
+ 3x 4 |
= 0, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
x 4 |
||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
26 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 4 |
- |
|
x 4 |
- |
x |
4 + 2x |
4 = 0, |
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
||||||||
|
52 |
x 4 |
- |
x 4 |
- |
x |
4 + 6x |
4 = 0, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x1 |
= |
|
|
|
|
|
x 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= - |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x3 |
x 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ÎR - любое число. |
|
||||||||||||||||||||||||||
x 4 |
|
0 = 0;
0 = 0;
0 = 0;
0 = 0.
26
Контрольные варианты к задаче 7. Исследовать и решить систему уравнений. Выполнить проверку общего решения.
1. |
2x1 + х2 + 11х3 + 2х4 = 0 |
||||||||||
|
|
+ 4х3 − х |
4 = 0 |
|
|
|
|||||
|
x1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
11x1 + 4х2 + 56х3 + 5х4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − х2 + 5х3 − 6х4 = 0 |
|
|||||||||
3. |
x − 3y + 4z − u = 0 |
|
|
||||||||
|
|
− 2y + 5z |
+ 4u |
= 0 |
|
|
|||||
|
3x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 5u |
= 0 |
|
|
||
|
2x + y + z |
|
|
||||||||
|
|
+ 4y − 3z |
+ 6u |
= 0 |
|
|
|||||
|
x |
|
|
||||||||
5. |
x1 + 2x 2 + 4x3 − 3x 4 = 0 |
||||||||||
|
3x |
1 |
+ 5x |
2 |
+ |
6x |
3 |
− 4x |
4 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x 4 = 0 |
||
|
4x1 + 5x 2 − 2x3 |
||||||||||
|
3x |
1 |
+ 8x |
2 |
+ 24x |
3 |
− 19x |
4 |
= 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
7.11x + 17y + 6z − 39u = 0
|
|
− 3y − 5z − |
u = 0 |
2x |
|||
|
x |
+ 32y + 31z |
− 34u = 0 |
|
|
+ 29y + 26z − 35u = 0 |
3x |
9.13x − 11y − 24z − 15u = 0
|
|
− 3y |
− 7z |
− 5u = 0 |
4x |
||||
|
|
− 2y |
− 8z |
− 10u = 0 |
6x |
||||
|
|
− 9y |
− 21z |
− 15u = 0 |
12x |
||||
11. 3x + 2y − |
z − |
8u = 0 |
||
|
− 2y − 4z − |
2u = 0 |
||
2x |
||||
3x |
− 2y − 5z − |
4u = 0 |
||
|
|
|
|
|
|
− 2z |
− 10u |
= 0 |
4 x + 2y |
2. |
x1 + 2х2 + 3х3 − х4 = 0 |
|||||
|
|
− х2 + х3 + 2х4 = 0 |
|
|||
|
x1 |
|
||||
|
|
+ 5х2 + 5х3 − 4х4 = 0 |
||||
|
x1 |
|||||
|
|
|
+ 8х2 |
+ 7х3 |
− 7х4 |
= 0 |
|
x1 |
|||||
4. |
x1 + x 2 − x3 − x 4 = 0 |
|||||
|
|
|
+ 2x 2 |
+ 3x3 |
+ 4x 4 |
= 0 |
|
x1 |
|||||
|
|
|
− 2x 2 |
+ x3 |
− 5x 4 |
= 0 |
|
3x1 |
|||||
|
|
|
− 5x 2 |
− x3 |
− 8x 4 |
= 0 |
|
x1 |
|||||
6. |
3x + 2y − z − 8u = 0 |
|
||||
|
|
− 2y − 4z − 2u = 0 |
|
|||
|
2x |
|
||||
|
3x − 2y − 5z − 4u = 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2y − 2z − 10u = 0 |
|
|||
|
4x |
|
8.9x − 4y − 13z − 10u = 0
|
|
+ 17y + 9z |
− 29u = 0 |
||
|
8x |
||||
|
7x + y − 6z |
− 15u = 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 21y − 22z |
+ 19u = 0 |
||
|
x |
||||
10. |
3x − 5y − 8z + |
u = 0 |
|||
|
|
+ 3y + 2z − 5u = 0 |
|||
|
x |
||||
|
5x + y − 4 z − 9u = 0 |
||||
|
|
− 7y |
− 17u = 0 |
||
|
|
||||
|
7x |
||||
12. |
2x − 5y − |
7z + |
u = 0 |
||
|
|
+ 6y + |
z − 16u = 0 |
||
|
5x |
||||
|
3x + 11y + |
8z − 13u = 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 10y − 14z − |
2u = 0 |
||
|
4x |
27
13. |
|
7x − 9y − 16z − 5u = 0 |
14. |
7x + |
y − 6z − 15u = 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− 5y − 10z − 5u = 0 |
|
|
− 5y − 7z + |
|
u = 0 |
|
|||||||||||||||||
|
5x |
|
2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
12x − 9y − 21z − 15u = 0 |
|
3x + 11y + |
8z − 13u = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 7y − 13z − 5u = 0 |
|
|
− 21y − 22z + 19u = 0 |
|
|||||||||||||||||||
|
6x |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||
15. |
2x1 + x 2 |
+ x3 + 2x 4 = 0 |
16. |
3x1 + |
4x 2 |
− 5x3 + 7x 4 |
= 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ 3x 2 + x3 + 5x 4 = 0 |
|
|
|
− 3x 2 |
+ 3x3 − 2x 4 = 0 |
||||||||||||||||||
|
x1 |
|
2x1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
+ x 2 |
+ 5x3 − 7x 4 |
= 0 |
|
|
|
+ 11x 2 |
− 13x3 + 16x 4 |
= 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
4x1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
2x |
1 |
+ 3x |
2 |
− 3x |
3 |
+ 14x |
4 |
= 0 |
|
7x |
1 |
− |
2x |
2 |
+ x |
3 |
+ |
3x |
4 |
= 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
17. |
|
x1 − x 2 |
+ x3 − x 4 |
= 0 |
18. |
2x1 |
+ |
x 2 |
+ 4x 3 |
|
+ |
x 4 |
|
= 0 |
||||||||||||||
|
|
x |
1 |
+ x |
2 |
+ 2x |
3 |
+ 3x |
4 |
= 0 |
|
3x |
1 |
+ 2x |
2 |
|
− x |
3 |
− 6x |
4 |
= 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+ 4x 2 |
+ 5x3 + 10x 4 |
= 0 |
|
|
|
+ 4x 2 |
+ 6x 3 |
|
− 5x 4 |
= 0 |
|||||||||||||
|
2x1 |
|
7x1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− 4x 2 + x3 − 6x 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 8x 3 + 7x 4 = 0 |
|||||||||||||||
|
2x1 |
|
x1 |
|
|
|
|
19. |
3x1 + |
4x 2 + |
x3 + 2x 4 |
|
|
+ 3x5 = 0 |
||||||||||||||||||||
|
5x |
1 |
+ |
7x |
2 |
+ |
x |
3 |
+ 3x |
4 |
|
+ 4x |
5 |
|
= 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ 5x 2 + 2x3 + x 4 + 5x5 = 0 |
||||||||||||||||||||||
|
4x1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
7x |
1 |
+ 10x |
2 |
+ |
x |
3 |
+ 6x |
4 |
|
+ 5x |
5 |
= 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
21. |
x1 + 2x 2 |
+ 3x3 + 2x 4 |
|
− 6x5 |
|
= 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ 3x 2 |
+ 7x3 |
+ 6x 4 |
|
|
− 18x5 |
|
|
= 0 |
||||||||||||||
|
2x1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ 5x 2 |
+ 11x3 + 9x 4 |
|
− 27x5 = 0 |
|||||||||||||||||||
|
3x1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
2x |
|
− 7x |
|
+ 7x |
|
|
|
|
+ 16x |
|
|
|
− 48x |
|
|
|
= 0 |
||||||||
|
|
|
1 |
+ 4x |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
= 0 |
|||||
|
|
x |
1 |
2 |
+ 5x |
3 |
+ 2x |
4 |
− 6x |
5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
23. |
x1 + |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
− 3x 4 − x5 |
|
= 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
− x 2 |
+ 2x3 − x 4 |
|
|
|
|
|
= 0 |
|||||||||||||||
|
x1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 2x 2 |
+ 6x3 + 3x 4 − 4x5 = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
4x1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ 4x 2 |
− 2x3 + 4x 4 − 7x5 = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
2x1 |
20. 3x1 + 6x 2 |
+ 10x3 + 4x 4 |
− 2x5 |
= 0 |
||||||||||
6x |
1 |
+ 10x |
2 |
+ 17x |
3 |
+ 7x |
4 |
− 3x |
5 |
= 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ 3x3 + 2x 4 + 3x5 = 0 |
||||||||
9x1 |
|
|
|
||||||||||
12x |
1 |
− 2x |
2 |
+ |
x |
3 |
+ 8x |
4 |
+ 5x |
5 |
= 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22.5x1
2x1
7x1
5x1
24. 2x1
x1
3x1
2x1
+6x 2 + 2x3 + 7x 4 + 4x5 = 0
+3x 2 − x3 + 4x 4 + 2x5 = 0
+9x 2 − 3x3 + 5x 4 + 6x5 = 0
+ 9x 2 − 3x3 + x 4 + 6x5 = 0
+ x 2 − x3 + 2x 4 − 3x5 = 0
− 2x 2 |
+ x3 − x 4 + x5 = 0 |
|
− 2x 2 |
− |
x3 + x 4 − 2x5 = 0 |
− 5x 2 |
+ |
x3 − 2x 4 + 2x5 = 0 |
28
25. |
6x1 |
− 2x 2 |
+ 2x3 + 5x 4 |
+ 7x5 = 0 |
26. |
x1 |
- x3 |
+ x5 = 0 |
|
||||
|
|
− 3x 2 + 4x3 + 8x 4 + 9x5 = 0 |
|
|
x 2 |
- x 4 |
+ x 6 = 0 |
|
|||||
|
9 x1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
− 2x 2 + 6x3 + 7x 4 + x5 = 0 |
|
|
|
|
+ x5 - x6 = 0 |
|
|||||
|
6x1 |
|
x1 - x 2 |
|
|
||||||||
|
|
− x 2 + 4x3 + 4x 4 − x5 = 0 |
|
|
x 2 - x3 |
|
+ x 6 = 0 |
|
|||||
|
3x1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- x 4 + x5 = 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
||||
27. |
6x1 |
− 2x 2 |
+ 3x3 + 4x 4 |
+ 9x5 = 0 |
28. |
2x1 + 7x 2 |
+ 4x3 |
+ 5x 4 |
+ 8x5 |
= 0 |
|||
|
|
- x 2 + 2x3 + 6x 4 + 3x5 = 0 |
|
|
+ 4x 2 |
+ 8x3 + 5x 4 + 4x5 = 0 |
|||||||
|
3x1 |
|
4x1 |
||||||||||
|
|
- 2x 2 |
+ 5x3 + 20x 4 + 3x5 |
= 0 |
|
|
- 9x 2 |
- 3x3 |
- 5x 4 |
-14x5 |
= 0 |
||
|
6x1 |
|
x1 |
||||||||||
|
|
- 3x 2 |
+ 4x3 + 2x 4 |
+ 15x5 |
= 0 |
|
|
+ 5x 2 |
+ 7x3 |
+ 5x 4 |
+ 6x5 |
= 0 |
|
|
9x1 |
|
3x1 |
||||||||||
29. |
3x1 |
+ 4x 2 |
+ 3x3 + 9x 4 |
+ 6x5 = 0 |
30. |
2x1 - x 2 |
+ 5x3 + 7x 4 |
= 0 |
|
||||
|
|
+ 8x 2 + 5x3 + 6x 4 + 9x5 = 0 |
|
|
- 2x 2 |
+ 7x3 + 5x 4 = 0 |
|
||||||
|
9x1 |
|
4x1 |
|
|||||||||
|
|
+ 8x 2 |
+ 7x3 + 30x 4 + 15x5 = 0 |
|
|
- x 2 |
+ |
x3 - 5x 4 |
= 0 |
|
|||
|
3x1 |
|
2x1 |
|
|||||||||
|
|
+ 6x 2 + 4x3 + 7x 4 + 5x5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Векторная алгебра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Если известны координаты точек |
A(a1 , |
|
a 2 , |
a 3 ) и B(b1 , b2 , b3 ), то координаты |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора |
a = AB{b |
- a |
; b |
2 |
- a |
2 |
; |
b |
3 |
- a |
3 |
} |
= a{x; y; z}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Разложение этого вектора по ортам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
i , |
|
j, |
|
k : a = x × i + y × j + z × k. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Длина вектора находится по формуле |
|
а |
|
|
|
x 2 + y2 + z2 , |
а направляющие косину- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
o = {cos a; cosb; cos g}. |
||||||||||||||||||||
сы равны |
cosα = |
|
|
, |
|
cosβ = |
|
y |
|
, |
|
cos γ = |
|
|
. Орт вектора |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
а |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 8. Даны точки A(1; 7; 0), |
B(5; 7; 3), C(7; 6; 5). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Разложить вектор |
a = AC - BC по ортам |
|
i , |
j, k и найти его длину, направ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ляющие косинусы, орт вектора a . Найдем координаты векторов: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AC{7 -1; 6 - 7; 5 − 0} = AC{6; − 1; 5} и BC{7 − 5; 6 − 7; 5 − 3}= BC{2; − 1; 2}. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вектор a = AC − − BC = a{6 − 2; |
− 1 − (− 1); 5 − 2}= a{4; 0; 3}, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
4 |
|
3 |
||||
|
|
= |
|
2 |
+ |
0 + 3 |
2 |
= |
|
|
|
|
= 5, |
cosα = |
, cosβ = |
|
|
cos γ = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
4 |
|
|
25 |
|
0, |
|
, |
a |
|
|
; 0; |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
Контрольные варианты к задаче 8. Даны точки А, В и С. Разложить вектор a по ортам i, j, k. Найти длину, направляющие косинусы и орт вектора a .
1. A(1; 2; − 1), B(1; 3; 4), C(0; 1; 5), a = AC + BC.
3. A(1; 2; − 1), B(1; 3; 4), C(0; 1; 5),
. a = AC + AB.
5. A(1; 2; − 1), B(1; 3; 4), C(0; 1; 5), a = AC − AB.
7. A(1; 2; − 1), B(1; 3; 4), C(0; 1; 5), a = AB + CB.
9. A(1; 2; − 1), B(1; 3; 4), C(0; 1; 5), a = AB + CA.
11. A(4; 1; 0), B(2; − 2; 1), C(6; 3; 1), a = AB + BC.
13. A(4; 1; 0), B(2; − 2; 1), C(6; 3; 1), a = AB + AC.
15. A(4; 1; 0), B(2; − 2; 1), C(6; 3; 1), a = AC − AB.
17. A(4; 1; 0), B(2; − 2; 1), C(6; 3; 1), a = AB + CB.
19. A(4; 1; 0), B(2; − 2; 1), C(6; 3; 1), a = AB + CA.
21. A(− 1; − 2; 4), B(− 4; − 2; 0), C(3; − 2; 1), a = AC + BC.
2. A(1; 2; − 1), B(1; 3; 4), C(0; 1; 5), a = AB − CB.
4. A(1; 2; − 1), B(1; 3; 4), C(0; 1;5), a = CB − AC.
6. A(1; 2; − 1), B(1; 3; 4), C(0; 1; 5), a = CA − CB.
8. A(1; 2; − 1), B(1; 3; 4), C(0; 1; 5), a = CB − AB.
10. A(1; 2; − 1), B(1; 3; 4), C(0; 1; 5), a = CB + AC.
12. A(4; 1; 0), B(2; − 2; 1), C(6; 3; 1), a = AB − CB.
14. A(4; 1; 0), B(2; − 2; 1), C(6; 3; 1), a = CB − AC.
16. A(4; 1; 0), B(2; − 2; 1), C(6; 3; 1), a = CA − CB.
18. A(4; 1; 0), B(2; − 2; 1), C(6; 3; 1), a = CB − AB.
20. A(4; 1; 0), B(2; − 2; 1), C(6; 3; 1), a = CB + AC.
22. A(− 1; − 2; 4), B(− 4; − 2; 0), C(3; − 2; 1), a = AB − CB.
30