MatAnal

Что называется градиентом функции?

Градиентом функции u=f(x, y, z) в точке M(x, y, z), называется вектор, координатами которого служит значение частных производных этой функции заданных в точке М.

grad u = =

Что называется максимумом, минимумом, экстремумом функции двух переменных?

(x₀, y₀) – точка максимума функции z = f(x, y), если существует -окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется неравенство f(x₀, y₀) > f(x, y);

(x₀, y₀) – точка минимума функции z = f(x, y), если существует -окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется неравенство f(x₀, y₀) < f(x, y).

Как с помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской области D?

Двойной интеграл  численно равен площади плоской фигуры D (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: f (x, y) = 1.

Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры , ограниченной линиями x = a, x= b, y = f(x), y = g(x). Для определённости считаем, что f(x) > g(x) на отрезке [a, b]. Площадь данной фигуры численно равна: S =

Изобразим область D на чертеже:

Выберем первый способ обхода области: g(x)<=y<=f(x), a<=x<=b

Таким образом:  S = =

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»: = f(x) – g(x)

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, в функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

S = = = =

Что называется тройным интегралом от функции u =f (х, у, z) по пространственной области V?

Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V  на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):

здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V;  P_i (x_i,y_i,z_i) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,

 i = 1,...,n;

 — ранг разбиения;  – диаметр i-ой элементарной части.

Сколько фундаментальных систем решений имеет такое ДУ? Почему?

Какова структура общего решения линейного однородного ДУ n-го порядка?

Рассмотрим на [a; b] линейное однородное дифференциальное уравнение

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0.

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y1,0 ,..., yn − 1,0 ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,..., y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнения непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x),

где C1,...,Cn — произвольные постоянные.

Каково необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора?

Для того чтобы f(x) могла быть разложена в степенной ряд, необходимо и достаточно, чтобы она в интервале сходимости имела производные всех порядков, и чтобы остаточный член формулы Тейлора -> 0, и n -> бесконечности.

Необходимость

Дано: функция разложена в степ. ряд;

Док-ть: что она дифференцируема бесконечное число раз и предел Rn (x) = 0, при n -> бесконечности.

Док-во: все производные существуют, т. к. функция разложена в ряд. lim_n->∞ Rn(x) = lim_n->0 (f(x)-Sn(x)) = f(x)-f(x) = 0

Достаточность

Дано: функция дифференцируема бесконечное число раз и предел Rn (x) = 0, при n -> бесконечности;

Док-ть: функция разложена в степ. ряд.

Док-во: т. к. функция дифференцируема бесконечное число раз, то можно записать Sn(x) = f(0) + f’(0)/1! * x + … + f⁽ⁿ⁾(0)/n! * xⁿ