2.Решение прямой и обратной задачи.

Манипулятор представляет собой механизм с несколькими степенями свободы с голономными связями, потому воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода для составления уравнений движения.

Уравнения Лагранжа второго рода применительно к исследуемой манипуляционной системе примут вид

. [2] (1)

Кинетическая энергия системы при неподвижном основании определится по формуле:

[2] (2)

где T₁, T₂, T₃ – кинетические энергии звеньев 1, 2, 3 соответственно, совершающих поступательное движение.

Составим расчетную схему для построения динамической модели, с изображенными силами действия приводов, силами трения и обобщенными координатами.

Рис. 2. Расчетная схема

Введем следующие массы конструктивных элементов:

Кинетические энергии звеньев равны T=M*v²/2 [2] (3)

Так как звено 1 совершает поступательное движение по оси X, то подставляя в (3) получаем: (4)

Звено 2 совершает плоскопараллельное движение в плоскости XY, то подставляя в (3) получаем: (5)

И звено 3 совершает пространственное поступательное движение по осям X, Y, Z , то подставляя в (3) получаем:

(6)

Подставляя результаты (4), (5), (6) в (2), получаем

(7)

Поочередно сообщая системе возможные приращения δq₁, δq₂, δq₃, соответствующие обобщенным координатам q₁, q₂, q₃, определим по формуле (8) соответствующие обобщенные силы

[2] (8)

=F₁-F_T1 (9)

Q2=F₂-F_T2 (10)

Q3=F₃-F_T3+(G₃+G_гр) (11)

где F₁, F₂, F₃ – силы приводов, действующих соответственно на звенья 1, 2, 3; F_Т1, F_Т2, F_Т3 – силы трения при движении по осям соответствующих звеньев 1, 2, 3; G₃, G_гр – силы тяжести, действующие соответственно на звено 3 и груз.

Определим частные производные от кинетической энергии по обобщенным координатам и обобщенным скоростям:

(12)

(13)

(14)

(15)

Подставляя полученные значения (9), (10), (11), (12), (13), (14) в уравнения Лагранжа (1), получим

(m₁+m₂+m₃)q”₁= F₁-F_T1

(m₂+m₃)q”₂=F₂-F_T2

m₃q”3=F₃-F_T3+(G₃+G_гр)

Если в задаче требуется найти движение системы, то интегрируют уравнения Лагранжа и определяют по начальным условиям произвольные постоянные интегрирования.

Если в задаче требуется найти неизвестные активные силы, то их определяют из уравнений Лагранжа.

Если в задаче требуется определить неизвестные реакции, то после нахождения из уравнений Лагранжа следует применить принцип освобождаемости к соответствующим телам системы и воспользоваться основным уравнением динамики, либо принципом Даламбера, либо общим уравнением динамики.

3. Построение рабочей зоны.

Рабочая зона ПР - это пространство, в котором может находиться рабочий орган при его функционировании. Она характеризуется своими формой (или видом) и объемом.

Форма, или вид рабочей зоны, пространственная фигура, описываемая рабочим органом ПР при прохождении им предельно достижимых положений. Вид рабочей зоны обусловлен назначением промышленного робота и определяется числом степеней подвижности манипулятора, типом и взаимной ориентацией кинематических пар в пространстве и относительными размерами звеньев манипуляционной системы.

Рис. 3. Рабочая зона манипулятора

Для построения рабочей зоны придадим перемещения по обобщенным координатам q₁, q₂, q₃ от крайних минимальных до крайних максимальных значений.

Если обобщенным координатам q₁ и q₂ придать фиксированные границы и максимальные значения, а обобщенную координату q₃ изменять в пределах от минимального до максимального значений, то мы получим границу AD.

Если обобщенным координатам q₁ и q₃ придать фиксированные границы и максимальные значения, а обобщенную координату q₂ изменять в пределах от максимального до минимального значений, то мы получим границу CD.

Если обобщенным координатам q₁ и q₃ придать фиксированные границы и максимальное значение q₁, а q₃ минимальное и обобщенную координату q2 изменять в пределах от максимального до минимального значений, то мы получим границу AB.

Если обобщенным координатам q₂ и q₃ придать фиксированные границы и максимальное значение q₂, а q₃ минимальное и обобщенную координату q₁ изменять в пределах от минимального до максимального значений, то мы получим границу BC.

Если обобщенным координатам q₁ и q₂ придать фиксированные границы и максимальное значение q₂, а q₁ минимальное и обобщенную координату q₃ изменять в пределах от минимального до максимального значений, то мы получим границу A’D’.

Если обобщенным координатам q₁ и q₃ придать фиксированные границы и максимальное значение q₃, а q₁ минимальное и обобщенную координату q₂ изменять в пределах от минимального до максимального значений, то мы получим границу C’D’.

Если обобщенным координатам q₁ и q₂ придать фиксированные границы и минимальные значения, а обобщенную координату q₃ изменять в пределах от минимального до максимального значений, то мы получим границу B’C’.

Если обобщенным координатам q₁ и q₃ придать фиксированные границы и минимальные значения, а обобщенную координату q3 изменять в пределах от минимального до максимального значений, то мы получим границу А’В’.

В результате мы получаем параллелепипед ABCDA’B’C’D’, то есть рабочую зону схвата манипулятора.