2.Решение прямой и обратной задачи.

Манипулятор представляет собой механизм с несколькими степенями свободы с голономными связями, потому воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода для составления уравнений движения.

Уравнения Лагранжа второго рода применительно к исследуемой манипуляционной системе примут вид

-=Q_i (i=1,2,3,4) [2] (1)

Кинетическая энергия системы при неподвижном основании определится по формуле:

T= T₁+T₂+ T₃₊ T₄ [2] (2)

где T₁, T₂, T_3, T₄ – кинетические энергии звеньев 1, 2, 3, 4 соответственно, совершающих поступательное движение.

Составим расчетную схему для построения динамической модели, с изображенными силами действия приводов, силами трения и обобщенными координатами.

Рис. 2. Расчетная схема

Введем следующие массы конструктивных элементов:

Так как звено 1 совершает вращательное движение по оси Z, то получаем:

T₁=0.5*J_1*q₁’² = (3)

Звено 2 совершает вращательное движение в плоскости ZX, то получаем T₂= 0.5*(J₂*q₁’²+ J₂*q₂’²) (4)

Звено 3 совершает пространственное поступательное движение по осям X, Y, Z , то получаем:

T₃=0.5*(J₃*q₁’²+ J₃*q₂’²+m₃*q₃’²) (5)

И звено 4 совершает вращательное движение по оси X, то получаем

T₄=0.5*(J₄*q₁’²+ J₄*q₂’²+m₄*q₃’²+J₄*q₄’²) (6)

Подставляя результаты (3), (4), (5), (6) в (2), получаем

T=0.5*(J₁+J₂+J₃+J₄)*q₁’²+0,5*(J₂+J₃+J₄)*q₂’²)+0.5*(m₃+m₄)*q₃’²+0.5*J₄*q₄’² (7)

Поочередно сообщая системе возможные приращения δq₁, δq₂, δq₃, δq₄ соответствующие обобщенным координатам q₁, q₂, q₃, q₄ определим по формуле (8) соответствующие обобщенные силы

[2] (8)

=М₁-М_T1 (9)

Q2= М₂-М_T2-G₂-G₃-G₄-G_гр (10)

Q3=F₃-F_T3 (11)

Q4= М₄-М_T4-G₄-G_гр (12)

Где М₁, М₂, М₄-момент силы привода , действующий на звенья 1,2,4 ; М_Т1, М_Т3, М_Т4 момент сил трения , действующего на звенья 1,2,4. F₃– сила привода, действующего на звено 3; F_Т3 – сила трения при движении по осям звена 3; G₂, G₃, G₄, G_гр – силы тяжести, действующие соответственно на звено 2, 3, 4 и груз.

Определим частные производные от кинетической энергии по обобщенным координатам и обобщенным скоростям:

= (J₁+J₂+J₃+J₄)*q₁’=(0.5*m₁r₁²+m₂*a₁²/3+m_3*a₂²/3+0.5*m₄r₄²+m_грS₂ ²)* q₁’ (13)

=(J₂+J₃+J₄)*q₂’ =(m₂*a₁²/3+m_3*a₂²/3+0.5*m₄r₄²+m_грS₂²)*q₂’ (14)

=(m₃+m₄)*q₃’ (15)

= J₄*q₄’=(0.5*m₄r₄²+m_грS₂²)* q₄’ (16)

=0 (17)

Подставляя полученные значения (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15), (16) в уравнения Лагранжа (1), получим

(0.5*m₁r₁²+m₂*a₂²/3+m_3*a₃²/3+0.5*m₄r₂²+m_грS₂ ²)* q₁’’= М₁-М_T1

(m₂*a₂²/3+m_3*a₃²/3+0.5*m₄r₂²+m_грS₂²)*q₂’’= М₂-М_T2-G₂-G₃-G₄-G_гр

(m₃+m₄)*q₃’’=F₃-F_T3

(0.5*m₄r₂²+m_грS₂²)*q₄’’= М₄-М_T4-G₄-G_гр

Если в задаче требуется найти движение системы, то интегрируют уравнения Лагранжа и определяют по начальным условиям произвольные постоянные интегрирования.

Если в задаче требуется найти неизвестные активные силы, то их определяют из уравнений Лагранжа.

Если в задаче требуется определить неизвестные реакции, то после нахождения из уравнений Лагранжа следует применить принцип освобождаемости к соответствующим телам системы и воспользоваться основным уравнением динамики, либо принципом Даламбера, либо общим уравнением динамики.