1. Решение прямой и обратной задачи кинематики манипулятора

   1. Прямая и обратная задача кинематики

В робототехнике, есть две основные задачи кинематики: прямая и обратная.

Прямая задача – это вычисление положения (Xp, Yp, Zp) рабочего органа манипулятора по его кинематической схеме и значениях обобщенных координат (q₁, q₂… q_n) , где n – число степеней свободы манипулятора, q– обобщенные координаты.

Обратная задача – это вычисление величин обобщенных координат (q₁, q₂… q_n) по заданному положению (Xp, Yp, Zp) рабочего органа при известной схеме кинематики манипулятора.

Таким образом, решение прямой задачи говорит о том, где будет находиться рабочий орган манипулятора, при заданных углах его суставов, а обратная задача – как нужно «вывернуться» манипулятору, чтобы его рабочий орган оказался в заданном положении.

2. Решение прямой и обратной задачи кинематики для исходной кинематической схемы

Прямую и обратную задачи кинематики манипулятора будем решать геометрически, для этого изобразим кинематическую схему манипулятора, обобщенные координаты его звеньев q_n, их длины l_n и привяжем к манипулятору систему координат X,Y,Z, обозначив координаты рабочего органа Xp, Yp, Zp (рис.1).

Рис.1. Кинематическая схема манипулятора

Прямая задача. По заданным обобщенным координатам найти положение точки P схвата.

Обратная задача. По заданному положению точки P схвата найти обобщенные координаты.

2. Решение прямой и обратной задачи динамики манипулятора

2.1. Составление уравнений Лагранжа

Для механизмов с несколькими степенями свободы при голономных связях уравнения их движения составляют обычно в форме уравнений Лагранжа второго рода.

Применительно к исследуемой манипуляционной системе примут вид:

, (1)

где Т - кинетическая энергия системы; q_i',- обобщенные скорости; q_i - обобщенные координаты; Q_i - обобщенные силы; i - число обобщенных координат; q₁ = φ₁; q₂ = S₁; q₃ = φ₂.

Составим расчетную схему для построения динамической модели, с изображенными силами действия приводов, силами трения, обобщенными координатами и системой координат, привязанной к кинематической схеме (рис. 2).

Рис. 2. Динамическая схема манипулятора

2.2. Расчет кинетической энергии звеньев

Кинетическая энергия твердого тела в частных случаях находится с помощью данных формул:

1. при поступательном движении:

, (2)

где М – масса твердого тела; ν – скорость поступательного движения;

2. при вращении вокруг неподвижной оси:

, (3)

где I_z – момент инерции вокруг неподвижной оси; 𝜔 – угловая скорость тела;

3. при плоскопараллельном движении:

, (4)

где ν_с – скорость центра тяжести тела; I_с – центр инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно мгновенной оси вращения;

4. при пространственном движении

(5)

Кинетическая энергия исходной системы определится по формуле:

, (6)

где – кинетическая энергия звена 2, совершающего вращательное движение;

; (7)

– кинетическая энергия звена 3, совершающего пространственное движение;

; (8)

– кинетическая энергия звена 4, совершающего пространственное движение;

; (9)

Таким образом уравнение для нахождения кинетической энергии системы примет вид:(10)

Определим частные производные от кинетической энергии по обобщенным координатам и обобщенным скоростям:

(11)