2.3. Расчет моментов инерции звеньев

Выражая момент инерции для каждого звена, его диаметром можно пренебречь, тогда выражения запишутся в следующем виде:

Момент инерции звена 2 вокруг неподвижной оси z:

(12)

Момент инерции звена 3 вокруг неподвижной оси z складывается из суммы моментов инерции части Ч1, Ч2 и Ч3 (рис. 3). Пренебрегая диаметром частей звена и учитывая, что масса звена распределена равномерно на каждом участке длины, уравнения для нахождения момента инерции частей звена 3 запишутся следующем образом:

_, (13)

_, (14)

_. (15)

Рис.3. Звено 3 манипулятора

Звено 4 может совершать вращательные движения вокруг нескольких осей (рис. 4). Запишем уравнения для каждого случая.

1. Звено 4 вращается относительно оси Z. Тогда уравнение для момента инерции будет иметь вид:

_. (16)

2. Звено 4 вращается относительно оси Y. В этом случае момент инерции запишется как:

_. (17)

Груз может совершать вращательные движения вокруг нескольких осей (рис. 4). Запишем уравнения для каждого случая.

1. Груз вращается относительно оси Z. Тогда уравнение для момента инерции будет иметь вид:

_. (18)

2. Груз вращается относительно оси Y. В этом случае момент инерции запишется как:

_. (19)

Рис. 4. Звено 4 манипулятора

Перепишем систему уравнений 11,расписав момент инерции:

(20)

2.4. Вычисление обобщенных сил

Для вычисления обобщенной силы Q_i, соответствующей обобщенной координате q_i, поступают следующим образом: сообщают системе такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только эта координата q_i, а все остальные координаты остаются неизменными, и вычисляют виртуальную работу всех активных сил на этом перемещении. Тогда множитель при вариации δq_i в полученном выражении виртуальной работы δА_j = Q_iδq_i и будет обобщенной силой Q_i , т. е.

. (21)

Изобразим манипулятор в произвольный момент времени и сообщим системе такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только обобщенная координата q₁ (рис. 5), q₂= q₂₁, q₃= q₃₁, q₁ имеет приращение δq_1.

Рис. 5. Изменение обобщенной координаты q₁

При этом точка P превратится в P₁, точка P' превратится в P₁'. Вычислим виртуальную работу всех активных сил на этом перемещении:

. (22)

Множитель при вариации δq₁ в полученном выражении виртуальной работы и будет обобщенной силой Q₁ :

. (23)

Изобразим манипулятор в произвольный момент времени и сообщим системе такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только обобщенная координата q₂ (рис. 6), q₃= q₃₁, q₂ имеет приращение δq_2.

Рис. 6. Изменение обобщенной координаты q₂

При этом точка P превратится в P₁. Вычислим виртуальную работу всех активных сил на этом перемещении:

. (24)

Множитель при вариации δq₂ в полученном выражении виртуальной работы и будет обобщенной силой Q₂ :

. (25)

Изобразим манипулятор в произвольный момент времени и сообщим системе такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только обобщенная координата q₃ (рис. 7), имея приращение δq_3.

Рис. 7. Изменение обобщенной координаты q₃

При этом точка P превратится в P₁, точка P' превратится в P₁'. Вычислим виртуальную работу всех активных сил на этом перемещении:

. (26)

Множитель при вариации δq₃ в полученном выражении виртуальной работы и будет обобщенной силой Q₃ :

, (27)

где M₁ – крутящий момент привода, действующий на звено 2;

M_Т1 – момент трения при вращении звена 2;

M₃ – крутящий момент привода, действующий на звено 4;

M_Т3 – момент трения при вращении звена 4;

G₂ – сила тяжести, действующая на звено 2;

G₃ – сила тяжести, действующая на звено 3;

G₄ – сила тяжести, действующая на звено 4;

G_гр – сила тяжести, действующая на груз;

F₂ – сила привода, действующая на звено 3;

F_Т2 – сила трения, действующая при движении звена 3.

Подставляя полученные значения в уравнения Лагранжа, получим:

= M₁ – M_Т1;

= F₂ – F_Т2– G₃ – G₄ – G_гр; (28)

= .

Если в задаче требуется найти движение системы, то интегрируют составленные уравнения Лагранжа и определяют по начальным условиям произвольные постоянные интегрирования.

Если в задаче требуется найти неизвестные активные силы, то определяют их непосредственно из уравнений Лагранжа.

Если и задаче требуется определить неизвестные реакции, то после нахождения из уравнений Лагранжа ускорений следует применить принцип освобождаемости к соответствующим телам системы и воспользоваться основным уравнением динамики, либо принципом Даламбера, либо общим уравнением динамики.