1. Комплексные числа и действия над ними. (К1-1)

x=±sqrt(-a²); i²=-1; x=±sqrt(i²a²)=±ai; z=x+iy ¾ комплексное число ;

x=ReZ ¾ действительная часть ; y=ImZ ¾ мнимая часть

z₁=x₁+iy₁ ; z₂=x₂+iy₂ ; z₁±z₂=x₃±iy₃ , x₃=x₁+x₂ , y₃=y₁+y₂ ;

0=0+i0 ¾ нулевой элемент

z₁²=1+0i=1 ¾ действительное значение ; z₂⁰=0+i=i ¾ мнимая единица

z₁z₂=(x₁+iy₁)(x₂+iy₂)=x₁x₂-y₁y₂+i(x₁y₂+y₁x₂); z×z₁⁰=z;

z₁/z₂=(x₁+iy₁)/(x₂+iy₂)=[(x₁+iy₁)(x₂-iy₂)]/(x₂²+y₂²)=[x₁x₂+y₁y₂+i(y₁x₂-y₂x₁)]/(x₂²+y₂²)=

=(x₁x₂+y₁y₂)/(x₂²+y₂²)+i[(x₁y₂+y₁x₂)/(x₂²+y₂²)];

z=x+iy ¾ алгебраическая форма записи числа.

z^~=x-iy ¾ сопряжённое ;

|z|=sqrt(x²+y²); -p<argZ£p (0<argZ<2p) ; argZ=argZ+2kp ;

argZ= {arctg(y/x), x>0 ; p+arctg(y/x) , x<0, y>0 } ; -p+arctg(y/x), x<0, y<0 ;

(p/2), x=0 , y>0 ; -(p/2), x=0, y<0 }

Свойства:

1) |z^~|=|z| ; 2) z×z^~=|z|² ; 3) |z₁z₂|=|z₁||z₂| ; 4) |zⁿ|=|z|ⁿ ; 5) |z₁/z₂|=|z₁|/|z₂| ; 6) |ReZ|£|z| ;

7) |ImZ|£|z| ; 8) |z₁+z₂|£|z₁|+|z₂| ; 9) ||z₁|-|z₂||£|z₁-z₂|

Свойства сопряжённых чисел:

1) z^~~=z ; 2) (z₁±z₂)^~=z₁^~±z₂^~ ; 3) (z₁z₂)^~=z₁^~z₂^~ ;

2. Геометрическая интерпритация коплексных чисел. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. (К1-4, 8)

Геометрическая интерпритация: рассмотреть комплексную плоскость.

Тригонометрическая форма:

x=|z|cosj; y=|z|sinj; |z|=r; z=x+iy=r(cosj+isinj);

z₁z₂=r₁r₂×(cosj₁+isinj)×(cosj₂+isinj)=r₁r₂(cos(j₁+j₂)+isin(j₁+j₂))

Показательная форма:

cosj=(e^ij+e^¾ij)/2; sinj=(e^ij+e^¾ij)/2i ;

e^ij=cosj+isinj ; e^¾ij=cosj-isinj ;

z=x+iy=r(cosj+isinj)=re^ij ; z₁z₂=r₁r₂×e^i(j1+j2) ;

z^~=re^¾ij, если z=re^ij ; z₁/z₂=(r₁/r₂)e^i(j1+j2) ;

3. Формула Муавра. Извлечение корня. (К1-5)

z₁z₂=r₁r₂×(cosj₁+isinj)×(cosj₂+isinj)=r₁r₂(cos(j₁+j₂)+isin(j₁+j₂))

По математической индукции: z₁z₂...z_n=r₁r₂×...×r_n×(cos(j₁+j₂+...+j_n)+isin(j₁+j₂+...+j_n));

zⁿ=rⁿ(cosnj+isinj)=[r(cos(j+isinj)]ⁿ ¾ формула Муавра.

Корень: w=корень-n-от(z); w=r(cosY+isinY); z=r(cosj+isinj); z=wⁿ=rⁿ(cosnY+isinnY);

r(cosj+isinj)=rⁿ(cosnY+isinY); j+2pk=nY; Y=(j+2pk)/n; r=корень-n-от(r)

(корень-n-от(z))_k=корень-n-от(r)[cos((j+2pk)/n)+isin((j+2pk)/n)];

k=0...n-1, 1...n, 2...n+1;

4. Многочлены в комплексной области. Теорема Безу. Разложение многочлена на множители. (К1-13)

P_n(z)=a₀zⁿ+a₁z^n-1+...+a_n-1z+a_n=Sa_kz^n-k {k=0, n} (1) ¾ многочлен степени n

a₀¹0, z ¾ комплексное число; a_i, i=0..n ¾ комплексные коэффициенты; a_i ¾ действительные числа.

z₀ ¾ корень (нуль) многочлена P_n(z) => P_n(z₀)=0; z₀ ¾ корень P_n(z);

Пусть есть P_n(z) и Q_m(z), m<n; P_n(z)=S_n-m(z)×Q_m(z)+Re(z);

P_n(z) ¾ делимое, Q_m(z) ¾ делитель, S_n-m(z) ¾ частное, Re(z) ¾ остаток ;

P_n(z)/Q_m(z)=S_n-m(z)+[Re(z)/Q_m(z)] ;

P_n(z)/Q_m(z) , если n<m ¾ правильная, если n³m ¾ неправильная.

Теорема безу: чтобы Z₀ было корнем P_n(z) необходимо и достаточно, чтобы P_n(z) представлялся в виде: P_n(z)=(z-z₀)×S_n-1(z);

Необходимость: пусть z₀ - корень P_n(z): P_n(z)=(z-z₀)×S_n-1(z)+R=(z-z₀)×S_n-1(z); P_n(z₀)=R=0;

Достаточность: вместо z подставить z₀.

Разложение многочлена на множители:

z₀ ¾ корень кратности k P_n(z), если P_n(z) представим в виде: P_n(z)=(z-z₀)^kS_n-k(z);

1) Если корни действительные: пусть S_n-k(z)=(z-z₀)^k1×S_n-k-k1(z);

S_n-k-k1(z)=(z-z₂)^k2×S_n-k-k1-k2(z) ; P_n(z)=(z-z₀)^k(z-z₁)^k1×(z-z₂)^k2...(z-z_e)^kL; k+k₁+...+kl=n;

2) Пусть z₀ ¾ комплексный корень P_n(z);

P_n(z)=(z-z₀)(z-z₀^~)×S_n-2(z); z₀=a+b_i ; z₀=a+b_i ; z₀^~=a-b_i ;

(z-a-b_i)(z-a+b_i)=(z-a)²-(b_i)²=z²-2az+a²+b²=z²+pz+q, p=-2a; q=a²+b² ;

D=p²=4q<0; P_n(z)=(z²+pz+q)×S_n-z(z)

3) Пусть P_n(z) имеет z₀ ¾ кратности k (z₀ ¾ комплексный корень) =>

P_n(z)=(z²+pz+q)^k×S_n-2k(z);

Пусть S_n-2k имеет корень z₁ кратности k₁ => P_n(z)=(z²+pz+q)^k×(z²+p₁z+q₁)×(S_n-2k-2k1(z));

Получим: P_n(z)=(z²+pz+q)^k(z²+p₁z+q₁)^k1×...×(z₂+p_Lz+q_L)^kL ;

P_n(z)=(z²+pz+q)^kS_n-2k(z); P_i²-4q_i<0;

P_n(z)=(z-z₀)^k(z-z₁)^k1×(z-z_L)^kL×(z²+p₁z+q₁)^L1×...×(z²+p_mz+q_m)^Lm ; k+k₁+...+k_L+2(l₁+...l_m)=n;

5. Условие тождественности двух многочленов. Признак кратности корня. (К1-18)

Если P_n(z) имеет n+1 корень, то P_n(z)=const;

P_n(z)=a⁰(z-z₀)...(z-z_n-1); P_n(z)=(z-z₀)ⁿ×a₀+R; P_n(z₀)=R; P_n(z₁)=(z-z₁)×a₀(z-z₀)ⁿ ;

Многочлены равны, если соответствующие коэффициенты равны (пр определённых степенях Z);

Усливие кратности корня многочлена P_n(z):

Теорема: чтобы z₀ было корнем кратности k P_n(z) необходимо и достаточно, чтобы:

P_n(z₀)=P_n¹(z₀)=...=P_n^k-1(z₀)=0; P_n^k(z₀)¹0;

Необходимость: пусть P_n(z) имеет корень => представим в виде: P_n(z)=(z-z₀)^k×S_n-k(z);

P’_n(z₀)=[k(z-z₀)^k-1×S_n-k(z)+(z-z₀)^k×S’_n-k(z)]|_z=z0={(z-z₀)^k-1[kS_n-k(z)+(z-z₀)S’_n-k(z)]}_z=z0=0;

P_n(z₀)=0=P’_n(z₀); P’’_n(z₀)=[k(k-1)(z-z₀)^k-2×S_n-k(z)+(z-z₀)^k×S’’_q-k(z)]|_z=z0 ;

P_n^(k-1)=[k(k-1)...(n-k+1)(z-z₀)×S_n-k(z)+(z-z₀)^kS_n-k^k-1(z)]|_z=z0 ;

P_n^k(z₀)=[k(k-1)...1+(z-z₀)^kS_n-k^k(z)]|_z=z0=k!¹0;

Достаточность: Разложим P_n(z) в окрестности z₀ по формуле Тейлора.

P_n(z)=P_n(z₀)+P’_n(z₀)(z-z₀)+(P’’_n/2!)(z-z₀)²+...+[P_n^(k-1)/(k-1)!](z-z₀)^k-1+(P_n^(k)(z₀))/k!×

×(z-z₀)^k+...=[P_n^(k)(z₀)/k!](z-z₀)^k+[P_n^(k+1)(z₀)/(k+1)!](z-z₀)^k+1+...=

=[(z-z₀)^k[P_n^k(z₀)]/k!+[P_n^(k+1)(z₀)/(k+1)!](z-z₀)+...+[P_n^(k)/n!](z-z₀)^n-k]]=(z-z₀)^k×S_n-k(z);

S_n-k(z)=[P_n^(k)(z₀)]/k!¹0; P_n(z₀)¹0;

6. Первообразная и неопределённый интеграл. (К1-85)

F(x) ¾ первообразная f(x), если F’(x)=f(x);

(F(x)+c)’=F’(x)=f(x); F₁(x)-F₂(x)=c; Ф(x)=F₁(x)-F₂(x)=c;

Ф(x)-Ф(x₀)=Ф’(c)(x-x₀)=0 ; x₀<c<x ; Ф’(c)=f(c)-f(c) ;

Процесс нахождения первообразной по функции ¾ интегрирование.

òf(x)dx=F(x)+c ¾ неопределённый интеграл ¾ совокупность первообразных.

Свойства неопределённых интегралов:

1. d(òf(x)dx)=f(x)dx ; Д-во: d(F(x)+c)=dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx;

2. òd[F(x)]=F(x)+c; òF’(x)dx=F(x)+c ;

3. ò[af(x)±bg(x)]dx=aòf(x)dx±bòg(x)dx;

4. F(x) ¾ первообразная f(x); òf(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+c;

F’(x)=f(x); [F(ax+b)]=F’(ax+b)-(ax+b)’=F’(ax+b)×a;

f(ax+b); (1/a)òdF(ax+b)=(1/a)F(ax+b);

òf(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+c;

7. Таблица основных неопределённых интегралов. (К1-87)

1) ;

2) òe^xdx=e^x+c ; 3) ; 4) òsinxdx=-cosx + c ; òcosxdx=sinx + c ;

5) ; 6)

7) 8)

9) ; 10 ) ; 11)

12) ; 13) òshxdx=chx ; 14) òchxdx=shx

15) ; 16)

8. Интегрирование подстановкой (замена переменной). (К1-88)

òf(j(t))j’(t)dt=òf(x)dx; f(x) ¾ непрерывная, x=j(t) ¾ непрерывно дифференцируемая

y=f(x), x=j(t); (òf(j(t))j’(t)dt)’_t=f(j(t))j’(t)dt; (òf(x)dx)’_t=f(j(t))j’(t)dt; dx=j’(t)dt;

ПРИМЕР: òsqrt(1-x²)dx; x=cost; dx=-sintdt ; => = òsqrt(1-cos²t)(-sint)dt=

=-òsin²tdt=-ò[(1-cos2t)/2]dt = (-1/2)t+(1/4)sin2t+c = (-1/2)arccosx+(1/4)sin(2arcsinx)+2=

=(-1/2)arccisx+(1/2)sqrt(1-x²)x+c;

9. Интегрирование по частям. (К1-90)

òudv=uv-òvdu; d(uv)=duv+udv; udv=d(uv)-vdu; òudv=uv-òvdu

ПРИМЕР: òxlnxdx={lnx=u, (1/x)dx=du; xdx=dv; (x²/2)=v} = (x²/2)lnx-(1/2)ò(x²/x)dx=

=(x²/2)lnx-(x²/4)+c;

10. Интегрирование рациональных функций. (К1-91)

P_n(x)/Q_m(x): n³m ¾ неправильная дробь, n<m ¾ правильная дробь.

P_n(x)/Q_m(x)=S_k(x)+[P_n-k(x)/Q_m(x)]

Любая дробная рациональная функция представима в виде разложения на элементарные дроби:

I: A/(x-a); II: A₁/(x-a)^k ; III: (B₁x+c₁)/(x²+px+q); IV: (B₂x+c₂)/(x²+px+q)^k ; p²-aq<0 ;

I: òAdx/(x-a)=Aln|x-a|+c

II: òA₁/(x-a)^k=òA₁(x-a)^-kdx=[-A₁/(k-1)][1/(x-a)^k-1]+c ;

III: ò[(B₁x+c₁)/(x₂+px+q)]dx=ò[(B₁x+c₁)/[(x+p/2)²+q×p²/4]]dx={x+p/2=t, q-p²/a=a² , dx=dt}=

=ò[[B₁t+c₁-B₁p/2]/[t²+a²]]dt=B₁(1/2)ò[(2t×dt)/(t²+q²)]-(c₁-B₁p/2)ò(dt/(t²+a²))=

=(B₁/2)ln(t²+a²)-[(2c₁-B₁p)/2x]arctg(t/a)+c = (B₁/2)ln(x²+px+q)-[(2c₁-B₁p)/2a]×arctg(t/a)+c=

=(B₁/2)ln(x²+px+q)-[(2c₁-B₁p)/2a]arctg[(x+p/2)/a]+c;

IV: ò[(B₂x+c₂)/(x²+px+q)^k]dx=ò[(B₂t+c₂-B₂p/2]/(t²+a²)^k]dt=

=(B₂/2)ò[(2tdt)/(t²+a²)^k]+(c₂+B₂p/2)ò[dt/(t²+a²)^k];

ò[2tdt/(t²+a²)^k]=[-1/(k-1)]×[1/(t²+a²)^k-1]+c₁ ;

òdt/(t²+a²)^k={1/(t²+a²)^k=u; du= - [(k2tdt)/(t²+a²)^k+1]; dt=dv}=

=[t/(t²+a²)^k]+2kò[t²/(t²+a²)^k+1]dt=t/(t²+a²)^k+2kò[dt/(t²+a²)^k]-2ka²ò[dt/(t²+a²)^k+1];

I_k=t/(t²+a²)^k+2kI_k-2ka²I_k+1 ; 2ka²I_k+1=t/(t²+a²)^k+(2k-1)I_k ;

I_k+1 = t/(2ka²(t²-a²)^k)+[(2k-1)/2ka²]I_k ;

I_k=òdt/(t²+a²)=(1.ф)фксеп(t/a)+с ;

11. Разложение рациональной дроби на простейшие множители. (К1-94)

Пусть есть правильная рациональная дробь P_n(x)/Q_m(x), где Q_m(x)=(x-a)^k×S_m-k(x);

=> P_n(x)/Q_m(x)=P_n(x)/[(x-a)^k×S_m-k(x)]=A/(x-A)^k+L(x)/[(x-a)^k-1×S_m-k(x)];

Д-во: l£m-k-1; P_n(x)/[(x-a)^k×S_m-k(x)]+A/(x-a)^k - A/(x-a)^k =

=A/(x-a)^k + [P_n(x)-A×S_m-k(x)]/[(x-a)^k×S_m-k(x)]; P_n(a)-A×S_m-k(a)=0; A’=P_m(a)/S_m-k(a);

Следствие: Если a=x ¾ корень Q_m(x) k-той степени =>

P_n(x)/Q_m(x)=A₁/(x-a)^k+A₂/(x-a)^k-1+...+A_k/(x-a)+L_c(x)/S_m-n(x); l£m-k-1;

Теорема: P_n(x)/Q_m(x); Q_m(x)=(x²+px+q)^k×S_m-2k => P_n(x)/Q_m(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^k+

+L(x)/[S_m-2k×(x²+px+q)^k-1];

P_n(x)/Q_m(x)=(M₁x+N₁)/(x²+px+q)^k+(M₂x+N₂)/(x²+px+q)^k-1+...+

+L_l(x)/[(x²+px+q)^k-1×S_m-2k(x)]+...+(Mkx+Nk)/(x²+px+q)+L_l(x)/S_m-2x(x) ;

12. Методы нахождения коэффициентов разложения рациональных функций на простейшие множители. Метод неопределённых коэффициентов. (К1-96)

Методы: “неопределённых коэффициентов”, “домножения”, “частных значений”.

Метод неопределённых коэффициентов: Пусть Q_m(x) имеет корень x=a, a=a+bi ;

P_n(x)/Q_m(x)=A₁/(x-a)ⁿ+...+A_k/(x-a)+(M_1l+N_m)/(x²+px+q)^k+...+

+[(M_m-k/2)x-N_m-k/2]/(x²+px+q);

13. Метод домножения. (К1-98)

a ¾ корень кратности k Q_m(x);

P_n(x)/Q_m(x)=P_n(x)/[(x-a)^k×Q_m-k(x)]=A₀/(x-a)^k+A₁/(x-a)^k-1+...+A_k-1/(x-a)+N(x)/Q_m-k(x);

Домножим на (x-a)^k;

P_n(x)×(x-a)^k/Q_m(x)=P_n(x)/Q_m-k(x)=A₀+A₁(x-a)+...+A_k-1(x-a)^k-1+[N(x)(x-a)^k/Q_m-k(x)];

A₀=([P_n(x)(x-a)^k]/[Q_m(x)])_x=a=[P_n(x)/Q_m-k(x)]_x=a

(d/dx)[(P_n(x)(x-a)^k/Q_m(x)]=A₁+2A₂(x-a)+...+(k-1)A_x-1(x-a)^k-2+

+[N(x)(x-a)²/Q_m-x(x)²]’_x+[N(x)(x-a)²]/Q_m-k(x);

A₁=[P_n(x)(x-a)^k]/Q_m(x)]’_x=a ; A₂=(1/2!)[(P_n(x)(x-a)^k)/Q_m(x)]’’_x=a ;

A_k-1=(1/(k-1)!)[(P_n(x)(x-a)^k)/Q_m(x)]^(k-1)_x=a ;

14. Метод частных значений. (К1-101)

Пример: ò[(2x³-40x-8)/(x(x+4)(x+2))]dx

Выделим целую часть:

(2x³-40ч-8) делим уголком на (x³+6x²+8) = 2 и в остатке: -12x²-56x-8;

(12x²+56x+8)/(x(x+4)(x+2))=A/x+B/x+C(x+2) = 1/x+ (-3)/(x+4)+14/(x+2);

Т.к. 12x²+56x+8ºA(x+4)(x+2)+B_x(x+2)+C_x(x+4)

x=0, 8=8A, A=1; x=-4, 12×16-56×4+8=8B, B=12×2-38+1=-3;

x=-2, 124-56×2+8=-4C, C=-12+28-2=14;

ò[(2x³-40x-8)/(x(x+4)(x+2))]dx=2òdx-ò[12x²+56x+8]/[x(x+c)(x+2)]=

=2x-òdx/x-3òdx/(x+4)+14òdx/(x+2)=2x-ln|x|+3ln|x+4|-14ln|x|+C=

=2x+ln[|x+4|³/(|x||x+2|⁴)]+C;

15. Интегралы вида : òR[x,((ax+b)/(cx+d))^p1+....+((ax+b)/(cx+d))^pn]dx (К1-102)

òR[x,((ax+b)/(cx+d))^p1+....+((ax+b)/(cx+d))^pn]dx

a, b, c, d ¾ некоторые действительные числа.

p₁...p_n ¾ рациональные числа; p_i=q_i/m_i; i=1..n; q и m ¾ взаимно простые

Пусть p_i=q_i/m, m=const; (ax+b)/(cx+d)=t^m; (x-ct^m)x=dt^m-b; x=-(dt^m-b)/(ct^m-a)

dx=[(-dmt^m-1(ct^m-a)-(dt^m-b)mct^m-1)/(ct^m-a)²]dt=[(-adm+bmc)t^m-1/(ct^m-a)²]dt;

òR[x,((ax+b)/(cx+d))^p1+....+((ax+b)/(cx+d))^pn]dx=òR*(t, t^q1, t^q2, ... , t^qn)dt;

16. Интегралы вида : òR[x,sqrt(ax²+bx+c)]dx. Подстановки Эйлера. (К1-104)

òR[x,sqrt(ax²+bx+c)]dx => три подстановки Эйлера:

1. a>0 => sqrt(ax²+bx+c)=±sqrt(a)x±t;

ax²+bx+c=ax²±2sqrt(a)xt+t²; (b±2sqrt(a)t)x=t²-c; x=(t²-c)/(b±2sqrt(a)t)

2. c>0 => sqrt(ax²+bx+c)= ±sqrt(c)±tx

Пусть x₁, x₂ ¾ корни =>

3. sqrt(ax²+bx+c)=±t(x-x₀), x₀=x₁ или x₀=x₂ ; a(x-x₁)(x-x₂)=t²(x-x₁)²;

a(x+b/2a)²+c-b²/4a; x+b/2a=t;

Итого: 1) sqrt(t²-1), t=chZ, shZ; 2) sqrt(1-t²), t=cosZ, sinZ; 3) sqrt(1+t²), t=tgZ

17. Интегрирование дифферинцального бинома. (К1-106)

òx^m(a+bxⁿ)^pdx; Можно считать, если:

1. p ¾ челое число: xⁿ=t

2. (m+1)/n ¾ челое число: a+bxⁿ=z^s; p=q/s;

3. [(m+1)/n]+p ¾ целое число: (ax+bxⁿ)/xⁿ=ax^¾n+b=z^s

ПРИМЕР: ò[корень-5-ст(1+ корень-3-ст(x))/x×корень-5-ст(x²)]dx=

=òx^¾7/5(1+x^1/3)^1/5dx={(-2/5)/(1/3)+1/5=-6/5+1/5=-1; x^¾1/3+1=z⁵; (1+x^1/3)/x^1/3=z⁵;

[(1/3)×(1/x^2/3)×x^1/3-(1+x^1/3)×(1/3)×(1/x^2/3)]/x^2/3=5z⁴dz; (-1/3)(dx/x^4/3)=5z⁴dz}=

=-3òx^¾7/5_×x^1/15[(1+x^1/3)/x^1/3]^1/5[(-1/3)(dx/x)]=-3òz×5z⁴dz=-15òz⁵dz=(-15/6)z⁶×c=

=(-5/2)[корень-5-ст((1+x)^1/3/x^1/3)]⁶+C;

18. Интегрирование тригонометрических выражений. (К1-108)

òR(cosx, sinx)dx; tg(x/2)=t;

sinx=[(2sin(x/2)cos(x/2)]/[cos(2x/2)+sin(2x/2)]=2t/(1+t); cosx=(1-t²)/(1+t²);

x=2arctgt; dt=2dt/(1+t²); òR[2t/(1+t²); (1-t²)/(1+t²)]×[(2dt)/(1+t²)]=òR*(t)dt;

R(-cosx, sinx)=-R(cosx, sinx); sinx=t;

R(cosx, -sinx)=-R(cosx, sinx); cosx=t;

R(cosx, -sinx)=R(cosx, sinx); tgx=t;

1. òsinⁿxdx=(-1/n)cosx×sin^n-1x+[(n-1)/n]òsin^n-xxdx;

2. òcosⁿxdx=(1/n)sinx×cos^n-1x+[(n+1)/n]òcos^n-2xdx;

1) òsinⁿxdx={sin^n-1x=u; (n-1)sin^(n-2)x×cosdx=dx; sinxdx=dV; V=-cosx}=

=-sin^(n-1)x×cosx+(n-1)òsin^(n-2)xcos²xdx=-sin^(n-1)x×cosx+(n-1)òsin^(n-2)xdV-(n-1)òsinⁿxdx;

à nòsinⁿxdx=-sin^(n-1)x×cosx+(n-1)òsin^(n-2)xdx ; òsinⁿxdx=(-1/n)sin^(n-1)x×cosx+

+ [(n-1)/n]òsin^(n-2)xdx;

ПРИМЕР: òdx/(3+4cosx)={tg(x/2)=t; dx=2dt/(1+t²); cosx=(1-t²)/(1+t²)}=

=ò[(1/(3+4(1-t²)/(1+t²)))(2dt/(1+t²))=2òdt/(7-t²)=ò[dt/(sqtr(7)-t] - ò[dt/(sqrt(7)+t)]=

-ln|sqrt(7)-t| + ln|sqrt(7)+t|+c = ln|(sqrt(7)+t)/(sqrt(7)-t)|+c=

=ln|(sqrt(7)+tg(x/2))/(sqrt(7)-tg(x/2))|+c;

Интегралы от квадратов и других чётных степеней sin и cos находятся с помощью таких формул: sin²(x)=(1-cos2x)/2; cps²x=(1+cos2x)/2; sinx×cosx=sin2x/2;

Интегралы от кубов и других нечётных степеней находятся методом отделения нечётных степеней и делая замену: делая KO-фукцию функцией новой переменной.

19. Определённый интеграл. Его геометрический и физический смысл. (к1-114)

[a, b], x₀=a<x₁<x₂<...<x_n=b ¾ задание n точек задаёт разбиение отрезка на n частей.

D_ш=x_i-x_i-1 , i=1..n; D=supD_i; f(x); x_i , f(x_i);

f(x_i)Dx_i à f(x_i)S{i=1, n}f(x_i)Dx_i ¾ сумма Римана, f(x)>0

lim{Dà0}S{i=1, n}f(x_i)Dx_i ¾ если это существует и не зависит от способа разбиения и выбора точки x_i => называется определённым интегралом и равно: lim...=ò{a; b}f(x)dx

Фигура, образованная Ox, графиком f(x) и x=a, x=b ¾ криволинейная трапеция.

С геометрической точки зрения определённый интеграл представляет собой площадь заштрихованной поверхности.

С физической точки зрения ¾ S⁰(t)=ò{t₀; t}V(t)dt ¾ зависимость пути от времени.

20. Классы интегрируемых функций. (К1-119)

Необходимые условия интегрируемости: чтобы f(x) была интегрируема на [a, b], необходимо, чтобы она была ограничена.

1. Непрерывные на [a, b] функции ¾ интегрируемы на нём

2. Монотонные на [a, b] функции ¾ интегрируемы на нём

3. Функции, которые имеют N точек разрыва 1-го рода (“кусочные”) на [a, b] функции ¾ интегрируемы на нём

21. Свойства определённого интеграла. (К1-119)

1. òf(x)dx=0 {a; a} 2. ò1dx=b-a {a; b}, a<b

3. "a,bÎR à "f(x), g(x) => ò[af(x)±bg(x)]dx {a; b} = aòf(x)dx±bòg(x)dx {a; b}

4. f(x)>0 , [a, b] , òf(x)dx {a; b} > 0 5. f(x) > g(x) , a<b => òf(x)dx>òg(x)dx {a; b}

6. m£f(x)£M , m(b-a)£òf(x)dx {a; b} £M(b-a) 7. òf(x)dx {a; b}= - òf(x)dx {b; a}

8. |òf(x)dx {a; b}|£ò|f(x)|dx {a; b}

9. òf(x)dx {a; b} =òf(x)dx {a,c} + òf(x)dx {c; b} , " c Î[a, b]

10. Если f(x) интегрируема на [a, b], то $ c Î[a, b] => òf(x)dx {a,b} = f(x)×(b-a)

Д-во: m £ [1/(b-a)]òf(x)dx £ M {a; b} ; $ c Î [a, b] => f(c)=[1/(b-a)]òf(x)dx {a, b}

22. Формула Ньютона-Лейбница. (К1-123)

òf(x)dx=F(b)-F(a) {a; b} ; F’(x)=f(x);

òf(t)dt {a; x} = F(x)+C ; x=a => òf(x)dx {a; a} = 0 = F(a)+C = > C=-F(a)

òf(t)dt {a; x} =F(x)-(a)

òf(t)dt {a; b} = F(b)-F(a)

23. Метод замены переменных в определённых интегралах. (К2-1)

f(x) ¾ непрерывна на [a,b], а x=f(t) (tÎ[a,b]) ¾ непр диф-ма на [a,b]

j([a, b])=[a,b]; j(a)=a, j(b)=b ;

=> òf(x)dx {a; b} = òf(j(t))j’(t)dt {a; b}

Д-во: Пусть F(x) ¾ первообр f(x) =>

òf(x)dx {a; b} = F(b)- F(a) = F(j(b)) - F(j(a)) = òdF(j(t)) {a; b} = òf(j(t))j’(t)dt {a; b}

24. Интегралы от переодических , чётных и нечётных функций. (К2-2)

f(x), [-a, a]

1. f(x) ¾ чёт => òf(x)dx {-a; a} =2òf(x)dx {0; a}

2. f(x) ¾ нечёт => òf(x)dx {-a; a}=0

3. f(x), T => f(x+T)=f(x) => òf(x)dx {a; a+T}=òf(x)dx {0; T}

Д-ва:

1 и 2) [-a, 0]; x=-t, dx=-dt ; t=a, t=0

òf(x)dx {-a; a}= - òf( - x)dx {-a; 0}+òf(x)dx {0; a}=òf( - x)dx {0; a}+òf(x)dx {0; a}

3) òf(x+T)dx {a; a+T} = òf(x)dx {a; 0} + òf(x)dx {0, T} + òf(x)dx {0, a+T}

òf(x-T)dx {T; a+T} = {x-T=t, dx=dt, t₁=0, t₂=a} = òf(t)dt {0; a} =

=òf(x)dx {0; a} = òf(x)dx {0; a} + òf(x)dx {0; T} - òf(x)dx {0,a} = òf(x)dx {0; T}

25. Интегрирование по частям в определённых интегралах. (К2-4)

u(x), v(x) ¾ непр дифф-мы на [a, b]

òu(x)d(v(x)) {a; b} = uv|{a; b} - òv(x)d(u(x)) {a; b}

Пример: òx²e^3x dx {0; 1} = {x²=u, 2xdx=du, e^3xdx=dv, (1/3)e^3x=v} =

=(1/3)x²e^3x|{0; 1} - (2/3)òxe^3xdx {0; 1} = e³/3 - (2/3)òxe^3xdx {0; 1} =

={x=u, dx=du, e^3xdx=dv, (1/3)e^3x=v} = e³/3 - (2/9)xe^3x|{0; 1} +

+ (2/9)òe^3xdx {0; 1} = e³/3 - (2e³)/9 + (2/27)e^3x | {0; 1} =

=e³/3 -2e³/9 + 2e³/27 - 2/27 = (9e³ - 6e³ + 2e³ - 2)/27 = (5e³-2)/27

26. Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат. (К2-5)

f(x)³0 , {x=a, x=b, y=0, f(x)³0}, a<b => òf(x)dx=S {a; b}

Если f(x)£0, a<b ; òf₁(x)dx {a; b} £0 => S=|òf₁(x)dx {a; b}| = -òf₁(x)dx {a; b}

Если фигура лежит и выше и ниже Ox, то:

S=òf₂(x)dx {a; b} {f₂>0} - òf₁(x)dx {a; b} {f₁<0}=ò[f₂(x)-f₁(x)]dx {a; b};

Если f задана параметрически: x=j(t), y=Y(t), tÎ[a, b];

S=òf(x)dx {a; b} = òydx {a; b} = òY(t)j’(t)dt {a; b}

27. Полярная система координат. Площадь плоской фигуры в полярной системе координат. (К2-8)

ПСК ¾ геометрический образ, состоящий из точки (полярное начало) и полярной оси с масштабом.

Рисунок:

M(r, j); j+2pk = j ....... ; x=rcosj ; y=rsinj;

r²=x²+y² ; r=sqrt(x²+y²); j=arctg(y/x); 0<r<j

x²+y²=R² => r=R

S кругового сектора: j_i-1, j { Рисунок:}; Dj_i=j_i-j_i-1×x_i Î [j_i-1, j_i] ; r(x)

DS₁=(1/2)r²(x)Dj_i ; S_i=S(1/2)r²(x)Dj_i {i=1; n} ;

S=(1/2)òr²(j)dj {a; b}

28. Вычисление объёмов тел. (К2-11)

Рисунок:

x_iÎ[x_i-1, x_i], S(x_i)Dx_i ; V_i=SS_i(x_i)Dx_i {i=1; n}; V=òS(x)dx {a; b}

29. Длина дуги кривой. (К2-13)

[a, b], y=f(x);

L=òsqrt(1+y’²)dx {a; b} = òsqrt(1+[f’(x)]²)dx {a; b} ; dL=sqrt(1+[f’(x)]²)dx;

Если функция задана параметрически: Система: x=x(t), y=y(t) ; tÎ[a, b];

L=òsqrt(1+[f’(x)]²]dx {a, b} = òsqrt(1+[y’_t(t)]/[x’_t(t)])×x’_t(t)dt {a, b} =

=òsqrt([x’_t(t)]²+[y’_t(t)]²)dt {a, b} ; dL=sqrt([x’_t(t)]²+[y’_t(t)]²)dt

Если кривая задана в полярной системе координат:

r=r(j); a£j£b ;

L=sqrt(r²(j)+r’²(j))dj {a; b} ; dL=sqrt(r²(j)+r’²(j))dj

30. Работа переменной силы. (К2-19)

S=2prL, r ¾ радиус окружности, описываемой центром тяжести кривой.

S=2pycL ¾ если вокруг Ox;

Работа: DA_i=F(x_i)DL_i ; A=òFdL {a; b} ; AòFdr {a; b} ¾ прямолинейное движение

dr=dxi+dyj ; F=F_xi + F_yj ;

31. Центр тяжести кривой. (К2-21)

Пример: найти центр масс всей дуги астроиды, расположенной выше оси “иксов”.

Система: x=acos³t, y=asin³t ;

x_C=[òxdL {a; b}]/[òdL {a; b}];

y_C=[òydL {a; b}]/[òdL {a; b}];

32. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Интегрирование. Признаки сходимости несобственных интегралов. (К2-22)

Пусть есть f(x) ¾ непрерывная на [a, +¥), интегрируемая на любом конечном отрезке [a, b]

limòf(x)dx {a; b}{bà+¥}=òf(x)dx {a; +¥}

limòf(x)dx {-b; a}{bà+¥}=òf(x)dx {-¥,a}

limòf(x)dx {-b, b}{bà±¥}=òf(x)dx {-¥, +¥}

limòf(x)dx {a; b}{bà+¥}=lim[F(b)-F(a)] {bà+¥} = limF(b)-F(a) {bà+¥}

Несобственный интеграл, имеющий конечный предел, ¾ сходящийся.

Несобственный интеграл, НЕ имеющий конечного предела, ¾ расходящийся.

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла:

òf(x)dx {a; +¥} Чтобы этот интеграл сходился, необходимо и достаточно, чтобы:

"e>0, $B>a такое, что для B’, B’’>B |òf(x)dx {B’; B’’}|<e

F(B)=limòf(x)dx {a; b}{Bà¥} ; "e>0, $B: B’, B’’>0 , |F(B’’)-F(B’)|<e

lim | òf(x)dx {a; B’’} - òf(x)dx {a; B’} | {B’, B’’ à¥} = 0

lim | òf(x)dx | {B’; B’’} {B’, B’’ à¥} = 0

|òf(x)dx {B’; B’’}|<e

Признаки сходимости несобственных интегралов (1-го рода):

1) f(x)£g(x) ¾ интегрируемы на конечном отрезке из [a, +¥)

Для "x³a₀³a : из сходимости òg(x)dx {a; +¥} => сходимость òf(x)dx {a; +¥}

Из расходимости òf(x)dx {a; +¥} => сходимость òg(x)dx {a; +¥} (???????????????)

|òf(x)dx {B’; B’’} |£|òg(x)dx {B’; B’’}|<e

2) lim(f(x)/g(x))=L>0 => сходятся оба (или расходятся оба) (????????)

L-e<f(x)/g(x)<L+e ; (L-e)g(x)<f(x),(L+e)g(x)

3) f(x)×g(x) , [a, +¥) ; g(x) à 0 , xà0, xà+¥

òg(x)f(x)dx {a; b} = {g(x)=u, f(x)dx=du, du=g’(x)dx, v=F(x)} = g(x)F(x)| {a; +¥} -

- òF(x)g’(x)dx {a; +¥} = g(+¥)F(+¥)-g(a)F(x)-òF(x)g’(x)dx {a; +¥}

Пример: ò(1/x^a)dx {1; +¥} = limò(dx/x^a) {1; B} {B à ¥} =

= lim[(1/(1-a))×x^1-a] | {1; B} {Bà+¥}=lim(1/(1-aB^{a - 1}))-1/(a-1) {Bà+¥}

B^{a - 1} à +¥, если a-1>0, a>1 ; B^{a - 1} à 0, если a-1<0, a<1

a>1 ¾ сходящийся, a£1 ¾ расходящийся;

33. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. (К2-27)

Несобственный интеграл, имеющий конечный предел, ¾ сходящийся.

Несобственный интеграл, НЕ имеющий конечного предела, ¾ расходящийся.

(1) òf(x)dx {a; +¥}; (2) ò|f(x)|dx {a; +¥}

Если сходится (2), то это абсолютная сходимость;

Если (2) расходится, а (1) сходится ¾ условная сходимость.

34. Замена переменных и интегрирование по частям в несобственных

интегралах. (К2-27, К2-1)

См. “определённый интеграл”:

f(x) ¾ непрерывна на [a,b], а x=f(t) (tÎ[a,b]) ¾ непр диф-ма на [a,b]

j([a, b])=[a,b]; j(a)=a, j(b)=b ;

=> òf(x)dx {a; b} = òf(j(t))j’(t)dt {a; b}

Д-во: Пусть F(x) ¾ первообр f(x) =>

òf(x)dx {a; b} = F(b)- F(a) = F(j(b)) - F(j(a)) = òdF(j(t)) {a; b} = òf(j(t))j’(t)dt {a; b}

35. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки

сходимости. (К2-27)

f(x) ¾ неограничена на [a, b]

limòf(x)dx {a+e; b} {eà+0) = òf(x)dx {a; b} ¾ несобственный интергал 2-го рода

limòf(x)dx {a; b-e} {eà+0) = òf(x)dx {a; b} ¾ несобственный интергал 2-го рода

lim [òf(x)dx {a; b-e} + òf(x)dx {c+e; b} ] {eà+¥} = òf(x)dx {a; b}

Примеры:

ò(dx/x) {0; 1} = lim ò(dx/x) {e; 1} {eà+0} = lim(ln1-lne) {eà0} ¾ расходящийся

Несобственный интеграл, имеющий конечный предел, ¾ сходящийся.

Несобственный интеграл, НЕ имеющий конечного предела, ¾ расходящийся.

Критерий Коши:

Чтобы несобственный интеграл 2-го рода был сходящимся:

a<c<b , "e>0 , $d ; a’,a’’<d ; b’,b’’<d ;

|òf(x)dx {a’; a’’} + òf(x)dx {b’; b’’}|<e

36. Окрестности точек в пространстве. Открытые, связаные, замкнутые, ограниченные множества. (К1-21)

Точка “и всё о ней”:

Rⁿ, (x₁, x₂, ..., x_n) ¾ набор чисел ¾ n-мерное пространство

x_i(x₁ⁱ, x₂ⁱ, ..., x_nⁱ) : x_i ¾ точка, (...) ¾ компоненты точек

x_i, x_j ¾ точки

r(x_i, x_j) = sqrt[(x₁ⁱ-x₁^j)²+(x₂ⁱ-x₂^j)²+...+(x_nⁱ-x_n^j)²];

(x_i=x_j) => (x₁ⁱ=x₁^j , x₂ⁱ=x₂^j , ... , x_nⁱ=x_n^j );

(x_i±x_j) => (x₁ⁱ±x₁^j , x₂ⁱ±x₂^j , ... , x_nⁱ±x_n^j );

ax_i = (ax₁ⁱ, ax₂ⁱ, ... , ax_nⁱ); x_ix_j=x₁ⁱx₁^j+x₂ⁱx₂^j+...+x_nⁱx_n^j ; (x_i×x_j)=x₁ⁱ² + x₂ⁱ² +...+ x_nⁱ² ;

||x||=sqrt(x₁ⁱ² + x₂ⁱ²+...+x_nⁱ²); ||x_i-x_j||=sqrt[(x₁ⁱ-x₁^j)²+...+(x_nⁱ-x_n^j)²];

Окрестность точки в пространстве:

Rⁿ, M₀ ; U_e(M₀)={(x₁ⁱ, x₂ⁱ, ... , x_nⁱ)ÎRⁿ | r(M_i, M₀)<e} ; r(M_i, M₀)<e ;

DÌRⁿ ; M₀ ¾ внутренняя точка множества D, если найдётся e такой, что вместе с e-окрестностью точка M₀ будет принадлежать D.

ОТКРЫТОЕ множество ¾ множество, состоящее из внутренних точек (D);

M₀ ¾ граничная точка множетсва D, если любая её окрестность содержит как ¥

ного точек D,так и ¥ много точек Ï D

Множетсво всех граничных точек ¾ граница множества.

Множество D вместе с границей ¾ ЗАМКНУТОЕ (x²+y²<2)

Если множество совпадает с объединением открытого множества с его гранийей, то это замкнутое множество.

Связные и ограниченные множетва:

Пусть есть непрерывное отображение отрезка: [a, b] -f-> Rⁿ

Область D ¾ связная, если любые две точки A и B Î D можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей D.

Если и граница D ¾ связное множество, то D ¾ односвязное. (пример: круг)

Множетсво D ¾ выпуклое, если ему принадлежит целиком отрезок AB для A и B Î D.

Областью D называется открытое связное множество.

Область замкнута, если если существует такой шар конечного радиуса, челиком содержащий область D.

d=diam=Supr(x, y) {x, y Î D}, если d конечно => D ¾ ограничена

37. Понятие функций многих переменных. (К1-25)

Пусть есть область D Ì R² ; (x, y) Î D, f(x,y)=z ¾ функция двух переменных.

D(f) ¾ область определения ; D(f)={(x, y)ÎD | z=f(x, y)}

E(f)={z | z=f(x, y), z Î R¹ } ¾ область значения (изменения) функции

z=f(x, y); P=(x, y, z); Множетсво P(x, y, z) ¾ график функции ; f(x,y)=c

f(x, y)=c ¾ линия уровня

38. Предел функции в точке. (К1-25)

z=f(x, y); M(x, y); M₀(x₀, y₀);

Пусть функция определена в U_d(M₀) {выколотая} ; A ¾ предел f(x, y), M à M₀ ;

По Коши: Если "e>0, $d(e)>0 такое, что |x-x₀|<d и |y-y₀|<d => |f(x, y)-A|<e

или "e>0, $d(e)>0, "MÎ U_d(M₀) {выколотая} => |f(M)-A|<e

По Гейне: A=limf(x, y) {MàM₀} если "{M_n} à M₀ => {f(M_n)} à A

Повторные пределы:

z=f(x, y);

limf(x, y) {xàx₀} =A(y), M à M’ ;

limA(y) {yày₀} = A, M’ à M₀ ;

lim {y à y₀} lim {x à x₀} f(x, y) ;

limf(x, y) {yày₀} =B(x) ; limB(x) {x àx₀} = A ; lim {x à x₀} lim {y à y₀} f(x, y) ;

Теорема: Пусть существует lim(x,y) {MàM₀} =A и пусть limf(x, y) {y à y₀} = B(x) тоже существует, тогда существует повторный предел:

lim (xàx₀} lim {yày₀} f(x, y) = A

Свойства пределов:

1. Система: limf(x, y) {MàM₀}=A и limg(x, y) {MàM₀}=B =>

=> lim[f(x, y) ± g(x, y)] {MàM₀} = A±B

2. lim(f×g)=A×B

3. lim(f/g)=A/B

4. limf(x, y) {MàM₀} =A > 0 (<0) , f(x, y)>0 (<0)

39. Непрерывность функций многих переменных. (К1-29)

а) f(x, y) ¾ непрерывная в точке M₀ , если limf(M) {MàM₀}=f(M₀)

б) f(x, y) ¾ непрерывная в каждой точке области D ¾ непрерывна в самой D

z=f(x, y);

Dz=f(x₀+Dx, y₀+Dy)-f(x₀, y₀); {limDz {Dxà0, Dyà0} = 0 }

Dxz=f(x₀+Dx, y₀)-f(x₀, y₀); Dyz=f(x₀,+Dy)-f(x₀, y₀);

Из того, что f(нескольких переменных) непрерывна по всем переменным => что она непрерывна по каждой перменной. Обратное неверно.

Свойства непрерывных функций:

1. Если f(x, y) и g(x, y) непрерывны в M₀, то их сумма, разность, произведение, частное ¾ тоже непрерывно.

2. Непрерывность сложной функции:

u=j(x₁, ..., n_n); x₁(t₁, ..., t_n) .... x_n(t₁, ... , t_n); x⁰(x₁⁰, ... , x_n⁰), t⁰(t₁⁰, ... , t_n⁰)

Если x₁ ... x_n непрерывна в x⁰ ... t⁰ , то и u ¾ непрерывна

3. Если f(нескольких переменных) непрерывна в замкнутой области, то она ограничена в этой области и достигает на ней своих наименьшего и набольшего значений (т. Вейерштрасса)

40. Частные производные. Дифференцируемость функций многих

переменных. (К1-31)

Частная производная: u=f(x, y, z) определена в области D, y=y₀, z=z₀; M₀(x₀, y₀, z₀);

u=f(x, y₀, z₀);

Если существует конечный

lim [f(x₀+Dx, y₀, z₀)-f(x₀, y₀, z₀)]/Dx {Dxà0} = [lim Df(x₀, y₀, z₀)]/Dx {Dxà0} ¾ это частная производная по переменной x;

Виды записи: (дu/дx)|M₀ , дu(M₀)/дx , дf(M₀)/дx , f’_x(M₀);

Дифференцируемость функции нескольких переменных:

u=f(x, y, z) определённая в D ¾ дифференцируема в D, если полное приращение Du представимо в виде: Du=ADx+BDy+CDz=O(r), A,B,C=const;

Dx=x-x₀ ; Dy=y-y₀ ; Dz=z-z₀ ; r=sqrt(Dx²+Dy²+Dz²)

r ¾ расстояние м/д M₀(x₀, y₀, z₀) и M(x₀+Dx, y₀+Dy, z₀+Dz)

Теорема: Чтобы f(x, y, z) была дифференцируемой необходимо и достаточно, чтобы она имела непрерывные частные производные и дu/дx=A, дu/дy=B, дu/дz=C ;

Д-во: Необходимость: y₀, z₀, u(x, y₀, z₀);

Dxu=ADx+o(Dx); lim[Dxu]/Dx {Dxà0}=A+lim[o(x)]/Dx {Dxà0} => дu/дx=A

Аналогично: дu/дy=B, дu/дz=C ;

Достаточность: z=j(x, y); дz/дx=A, дz/дy=B , докажем дифференцируемость:

Dz=j(x₀+Dx, y₀+Dy,)-j(x₀, y₀) = [j(x₀+Dx, y₀+Dy)-j(x₀, y₀+Dy)]+

+[j(x₀, y₀-Dy-j(x₀, y₀)]=j’_x(x, y₀+Dy)Dx+j’_y(x₀, h)Dy= {x¾точка Î [x₀, x₀+Dx], h ¾точка Î [y₀, y₀+Dy]}=j’_x(x₀, y₀)Dx + a(Dx)+j’_y(x₀, y₀)Dy + b(Dy)= j’_x(x₀, y₀)Dx + j’_y(x₀, y₀)Dy +

+ aDx + bDy = ADx + BDy + aDx + bDy = ADx + BDy + o(r);

r(aDx/r+bDy/r)£r(a+b)=o(r) (ф-ция более высокого порядка малости)

41. Диффериннциал функций многих переменных. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы первого дифференциала. (К1-34)

Du=ADx+BDy+CDz+o(r)={(дu/дx)Dx+(дu/дy)Dy+(дu/дz)Dz}+o(r);

{В скобках ¾ линейная часть}

Дифференциалом функции нескольких переменных называется линейная часть её полного приращения.

du=(дu/дx)dx+(дu/дy)dy+(дu/дz)dz

(дu/дx)dx=f’_xdx ¾ частный дифференциал по иксу

du=f’_xdx+f’_ydy+f’_zdz ;

Дифференцирование сложных функций:

u=f(x₁, x₂, ..., x_n) определена в D

x₁=x₁(t), x₂=x₂(t), ... , x_n=x_n(t) ;

u=f(x₁(t), x₂(t), ... , x_n(t))=Ф(t)

Dt; Dx₁=x₁(t+Dt)-x₁(t), ... , Dx_n=x_n(t+Dt)-x_n(t);

Dtà0 => Dx₁à0 , ... , Dx_nà0 ;

Du=(дu/дx₁)Dx₁+(дu/дx₂)Dx₂+...+(дu/дx_n)Dx_n+o(r);

r=sqrt(Dx₁²+Dx₂²+...Dx_n²)

Разделим на Dt:

lim(Du/Dt) {Dtà0} = (дu/дx₁)lim(Dx₁/Dt) {Dtà0}+...+(дu/дx_n)lim(Dx_n/Dt) {Dtà0} +

+ lim(o(r)/Dt) {Dtà0} ;

du/dt=(дu/дx₁)×(дx₁/dt)+(дu/дx₂)×(дx₂/dt)+...+(дu/дx_n)×(дx_n/dt) + lim(o(r)/Dt) {Dtà0}

lim(o(r)/Dt) {Dtà0} = lim(o(r)/r){Dtà0} × lim(r/Dt) {Dtà0} =

=0×sqrt[(Dx₁/Dt)²+...+(Dx_n/Dt)²]=0×sqrt[(x’_1t)²+...+(x’_nt)²]=0;

du/dt = (дu/дx₁)×(dx₁/dt) +...+ (дu/дx_n)×(dx_n/dt)

Инвариантность формы 1-го дифференциала:

u=f(x, y, z); du=(дf/дx)dx+(дf/дy)dy+(дf/дz)dz;

x=x(t, S); y=y(t, S); z=z(t, S);

u=f(x(t, S), y(t, S), z(t, S))=Ф(t, S);

du=(дФ/дt)dt+(дФ/дS)dS=[(дf/дx)(дx/дt)+ (дf/дy)(дy/дt)+(дf/дz)(дz/дt)]dt+

+[(дf/дx)(дx/дS)+(дf/дy)(дy/дS)+(дf/дz)(дz/дS)]=

=(дf/дx)[(дx/дt)dt+(дx/дS)dS]+(дf/дy)[(дy/дt)dt+(дx/дS)dS]+(дf/дz)[(дx/дt)dt+(дx/дS)dS]=(дf/дx)dx+(дf/дz)dz;

42. Производная по направлению. (К1-39)

u=f(x, y, z); M₀(x₀, y₀, z₀); L(cosa, cosb, cosg); a=Ð(L, i); b=Ð(L, j); g=Ð(L, k)

Производная u в точке по направлению L: (дu(M₀)/dL)=lim[f(x₀+tL)-(r₀)]/t {tà0} ;

f(x, y, z)=f(x₀+tcosa, y₀+tcosb, z₀+tcosg)=F(t);

дu(M₀)/дL=lim[F(t)-f(+0)]/t {tà0} = F’(+0);

дu(M₀)/дL=(дu(M₀)/дx)cosa+(дu(M₀)/дy)cosb+(дu(M₀)/дz)cosg;

дu(M₀)/дL=(дu(M₀)/дx)cosa+(дu(M₀)/дx)sina

дuu(M₀)/дL=(дf(M₀)/дx₁)cosa₁+(дf(M₀)/дx₂)cosa₂+...+(дf(M₀)/дx_n)cosa_n ;

Производная функции вдолб гладкой кривой:

r(t)=(x(t), y(t), z(t)); x’(t), y’(t), z’(t) ¾ существуют.

Производная вдоль гладкой кривой определяется как производная по направлению касательной к данной кривой в данной точке.

t={x’(t); y’(t); z’(t)};

t /|t |={x’(t)/|t |; y’(t)/|t |; z’(t)/|t |}

u=f(x, y, z); M₀(x₀, y₀, z₀); x₀=x(t₀); y₀=y(t₀); z₀=z(t₀);

дu(M₀)/dL = (дu(M₀)/dx)(x’(t)/|t |)+(дu(M₀)/dy)(y’(t)/|t |)+(дu(M₀)/dz)(z’(t)/|t |);

Пусть направление задаётся a: a(a_x, a_y, a_z);

a⁰=a /|a |=дu/дL=[(дu/дx)a_x+(дu/дy)a_y+(дu/дz)a_z](1/|a |);

43. Градиент функции многих переменных. (К1-42)

grad u=(дu/дx; дu/дy; дu/дz)=(дu/дx)i+(дu/дy)j+(дu/дz)k=Ñu;

дu/дL=(grad u, L)=(Ñu, L)=|grad u|×|L|×cosj=|grad u|×cosj=пр_Lgrad u;

1) L=grad u => дu/дL=|grad u|=sqrt[(дu/дx)² + дu/дн)² + дu/дя)²]

дu/дL(-|grad u|, |grad u|);

Теорема:

{u=f(x, y) ¾ определяет в пространстве поверхность. Нормаль к u в M₀ ¾ вектор, перпендикулярный к любой касательной к кривой, принадлежащей этой поверхности и проходящей через M₀}

Вектор grad u (u=f(x, y, z)) в т. M₀ перпендикулярен к поверхности уровня

(u=f(x, y, z)=с) в т M₀; r(t)=x(t)i + y(t)j + z(t)k ;

du/dt=(дf/дx)(дx/дt)+(дf/дy)(дy/дt)+(дf/дz)(дz/дt)=u => (grad u, t)=0 => grad u ^ t ;

44. Геометрический смысл частных производных функций многих переменных.

Касательная плоскость и нормаль. (К1-44)

Z=f(x, y)

Геометрический смысл ¾ tg угла наклона соответствующей касательной к кривым на поверхность z(x, y), получ. при пересечении поверхности z=f(x, y) с пл. x=x₀ и y=y₀ ;

Касательная плоскость и нормаль:

Касательная плоскость к поверхности в т M₀ ¾ плоскость, которой принадлежат все касательные к кривым поверхности, проходящие через т M₀;

Нормаль поверхности S в т M₀ ¾ прямая, перпендикулярная касательной плоскости в т M₀ ;

z=f(x, y); M₀ ; u=z-f(x, y)=c ; grad u = (дf(M₀)/дx, - дf(M₀)/дy, 1) à n к S в M₀

Уравнение касательной плоскости: (-дf(M₀)/дx)(x-x₀)- (дf(M₀)/дy)(y-y₀)=0;

Или: z-z₀ = f’_x(M₀)(x-x₀)+f’_y(M₀)(y-y₀)

Нормаль: u=F(x, y, z)=c; M₀ ; grad u = (F’_x, F’_y, F’_z);

F’_x(x-x₀) + F’_y(y-y₀) + F’_z(z-z₀)=0;

(x-x₀)/(-f’_x(M₀))=(y-y₀)/(-f’_y(M₀))=(z-z₀)/1;

(x-x₀)/F’_x(M₀) = (y-y₀)/F’_y(M₀) = (z-z₀)/F’_z(M₀) ¾ уравнение нормали

ИЛИ: Касательная: F’_x(x₀, y₀)(x-x₀)+F’_y(x₀, y₀)(y-y₀)=0 ;

Нормаль: F’_x(x₀, y₀)(y-y₀)-F’_x(x₀, y₀)(x-x₀)=0