Методические указания и контрольные работы по высшей математике ЖА Черняк, Минск 2004 (Мет пособие)

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Кафедра высшей математики

Методическиеуказания иконтрольныеработы повысшейматематике

для студентов специальности «Экономика и управление предприятием» заочной формы обучения

Минск 2004

УДК 517 (075.8)

ББК 22.1 я 73 М 54

С о с т а в и т е л ь: Ж.А. Черняк

Методические указания и контрольные работы по высшей мате-

М54 матике для студентов специальности «Экономика и управление предприятием» заочной формы обучения / Сост. Ж.А.Черняк. – 2-е изд., испр. и доп. - Мн.: БГУИР, 2004. – 56 с.

Материал содержит методические указания и условия восьми контрольных работ по высшей математике для студентов экономических специальностей БГУИР заочной формы обучения.

УДК 517 (075.8) ББК 22.1 я 73

©Черняк Ж.А., составление, 2003

©Черняк Ж.А., составление, 2004, с изменениями и дополнениями

©БГУИР, 2004

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Рекомендации по выполнению и оформлению контрольных работ

Литература

Методические указания к контрольным работам Контрольная работа №1 Контрольная работа №2

Контрольная работа №3

Контрольная работа №4

Контрольная работа №5

Контрольная работа №6

Контрольная работа №7

Контрольная работа №8

Условия контрольных работ

Контрольная работа №1

Контрольная работа №2 Контрольная работа №3 Контрольная работа №4 Контрольная работа №5

Контрольная работа №6 Контрольная работа №7

Контрольная работа №8

ВВЕДЕНИЕ

Цель изучения математики в вузах – развитие логического и алгоритмического мышления; обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений, а также для решения различных прикладных (инженерных и экологических) задач, приобщение к самостоятельному изучению учебной литературы по математике и ее приложениям; овладение основными численными методами исследования и решения математических задач.

Учебные планы экономических специальностей вузов предусматривают выполнение девяти контрольных работ по курсу высшей математики. Объем и содержание этих работ определяются программами, утвержденными Учебнометодическим управлением по высшему образованию Министерства образования Республики Беларусь.

Настоящее издание для студентов-заочников содержит методические указания и контрольные задания (десять вариантов) для восьми контрольных работ.

Об изменениях учебных планов и методики изучения курса кафедра высшей математики сообщает дополнительно.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Перед выполнением контрольного задания следует изучить соответствующие разделы курса по изданиям, которые рекомендуются ниже. В тексте каждая позиция из списка литературы обозначается номером в квадратных скобках, например [1] означает в нашем случае ссылку на учебник Д.В. Беклемишева. В методических указаниях даются некоторые начальные теоретические сведения для решения задач из контрольных работ. При затруднении в освоении теоретического или практического материала можно получить консультацию на кафедре высшей математики или в учебно-консультационных пунктах.

Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на обложке которой следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины и дату отправки работы в университет.

Задачи контрольной работы выбираются из таблицы вариантов в соответствии с номером, который совпадает с последней цифрой учебного шифра студента. Решения задач необходимо проводить в последовательности, указанной в таблице вариантов. При этом условие задачи должно быть полностью переписано.

В зачтенной контрольной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию. Зачтенные контрольные работы предъявляются преподавателю при сдаче зачета или экзамена.

Методические указания к контрольным работам

Контрольная работа №1

Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры

Литература: [1, гл.1, §1-3; гл.2,3, §1-3; гл.5, §1-5; гл.6] ; [2, гл. 1, §1-3]; [5, ч.1, §1.1-1.6, 1.10, 1.15-1.19]; [7, гл. 4, 7, 9]; [9, гл.3]; [12, ч.1].

Основные теоретические сведения

1. Базисом пространства R3 называется совокупность линейно независимых векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пространства. Если векторы pv,qr,rr образуют базис, то любой вектор a R3 можно представить в

виде

a =α p + β q +γ r .	r	(1)		p, q, r и
При этом числа α, β,γ называются координатами вектора a в базисе
определяются однозначно. Если известны координаты векторов pv			, q, r	и α в

некотором базисе, то из (1) может быть получена система трёх уравнений с тремя неизвестными α, β,γ . Для нахождения α, β,γ такая система может быть

решена по правилу Крамера:

α = ∆α / ∆, β = ∆β / ∆, γ = ∆γ / ∆,

где определитель системы ∆ имеет вид

p1

p2

p3

, p( p1, p2 , p3 ) , q(q1, q2 , q3 ) , rv(r1, r2 , r3 ) ,

∆ =

q1

q2

q3

r1

r2

r3

а ∆α ,∆β ,∆γ - определители,

полученные из основного определителя ∆ заме-

ной 1, 2, 3-го столбца соответственно столбцом из координат вектора a .

2.1. Скалярным

произведением двух

векторов

ar = a1i + a2 j + a3k

и

br = b1i + b2 j + b3 k называется число, определяемое равенством

r

r

r

b

cosϕ = a1b1

+ a2b2 + a3b3

,

(a

b) =

a

где ϕ – угол между векторами a и b .

2.2. Векторным произведением двух векторов a и b

называется вектор c ,

который направлен перпендикулярно векторам a и b так, что векторы a , b ,

c

образуют правую тройку (рис. 1), и длина

c = a ×b

которого равна

r

r

=

r

sinϕ .

c

a

b

Геометрически

cr

равен площади S паралле-

ϕ

b

лограмма, построенного на векторах

a и b :

a

S =

r

r

sinϕ .

Рис. 1

a

b

2.3. Смешанное произведение трех векторов

r

r

r

r

r

r

= c1i + c2 j + c3 k есть число, обозначае-

a

= a1i + a2 j

+ a3k ,

b = b1i + b2 j + b3 k , c

мое (ar, b, cr)

, и равное значению определителя, составленного из координат

векторов

r

r

r

a, b

, c .

( ar,b,c )=

a1

a2

a3

b1

b2

b3

.

c1

c2

c3

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах ar,b, cr.

2.4. Общее уравнение плоскости p имеет вид n = (A, B,C) – вектор, нормальный

(перпендикулярный) плоскости (рис.2). Угол ϕ между двумя плоскостями с

нормальными векторами n1 (A1, B1,C1 ) и n2 (A2 , B2 ,C2 ) определяется по формуле

cosϕ = (n1 n2 ) . n1 n2

Ax + By + Cz + D = 0, где n(A, B,C)

. M1 p

. M0

. M2

Рис. 2

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M0 (x0 , y0 , z0 ) , M1 (x1 , y1 , z1 ) и M2 (x2 , y2 , z2 ) , имеет вид

x− x0

y− y0

z− z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

x2	− x0
y2	− y0		= 0 .
z2	− z0

2.5. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки M0 (x0 , y0 , z0 ) и M1 (x1 , y1 , z1 ) , имеет вид

x − x0		=	y − y0			=	z − z0			.
x	− x		y	− y	0		z	− z	0
1	0		1				1

3. Уравнение прямой на плоскости вида y = kx + b называется уравне-нием с угловым коэффициентом k. Если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно –1, т.е. k1 k2 = −1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M0 (x0 , y0 ) , имеет вид y − y0 = k(x − x0 ).

4. Пусть L – некоторая линия, каждая точка M которой обладает следующим свойством: отношение расстояния MM 0 до данной точки M0 к расстоянию d

от M до данной прямой Ax+By+C=0 равно числу ε, т.е.		MM 0			=ε. Число ε на-
		d

зывается эксцентриситетом линии L. Если ε<1, то множество точек L определяет эллипс:

(x − x0 )2 / a2 + ( y − y0 )2 / b2 =1.

Если ε >1, то L – гипербола: (x − x0 )2 / a 2 − ( y − y0 )2 / b2 =1. Если ε=1, то L – парабола: y = p(x − x0 )2 .

5. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1 , x2 , x3 имеет

вид

a11x1 +a12 x2 +a13 x3a21x1 +a22 x2 +a23 x3a31x1 +a32 x2 +a33 x3

=b1,

=b2 ,

=b3 ,

где aij - коэффициенты системы;

bi – свободные члены.

a

a

a

b

x

Обозначим

A =

11

12

13

,

B =

1

, X

=

1

a21

a22

a23

b2

x2

.

a32

a31

a33

b3

x3

Если определитель матрицы A системы

A

≠ 0 , то система совместна и её ре-

шение может быть получено матричным способом по формуле

где A – матрица системы; A−1

X = A−1B ,

– обратная матрица.

В случае, когда определитель матрицы

A

= 0, для исследования совместности

системы следует найти ранги r

~

A

матрицы A и r~ расширенной матрицы A , где

A

~

a

a

a

b

11

12

13

1

A =

a21

a22

a23 b2 .

a32

a33

a31

b3

~

, но это число меньше числа неизвестных (в

Если система совместна, т.е. rA = rA

данном случае r

= r~ <3), то система имеет бесконечное множество решений,

a

a

которые можно найти, например, методом Гаусса [4]. Он применим также и в случае, когда A ≠ 0 .

6. Вектор xr ≠ 0 называется собственным вектором некоторого линейного преобразования с матрицей A, если Ax = λx. При этом число λ называется собственным значением матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A находят сначала собственные значения из уравнения A − λE = 0 .

Координаты (x1 , x2 , x3 ) = xrT , соответствующие собственному значению λ ,

являются решением системы уравнений

(a			− λ)x			+ a x			2		+ a x		3		= 0,
	11				1			12				13
a21x1				+ (a22 − λ)x2 + a23 x3											= 0,	(2)
a	31	x		+ a	32	x	2	+ (a		33		− λ)x		3	= 0.
		1

Подставляя собственные значения в систему (2) и решая ее, находят соответствующие собственные векторы (с точностью до постоянного множителя).

Контрольная работа №2

Введение в математический анализ

Литература: [2, гл.1, §1-8; гл.2, §1-5]; [4, §5.3] ; [5, §2.1-2.6]; [12, ч.1].

Основные теоретические сведения

1. Комплексным числом, записанным в алгебраической форме, называется выражение вида z = x +iy , где x и y – действительная и мнимая части числа z

соответственно, x, y R .

Если z1 = x1 +iy1 , z2 = x2 +iy2 – два комплексных числа, то арифметические операции над ними выполняются по следующим правилам:

z1 + z2 =(x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ); z1 − z2 =(x1 − x2 ) + i(y1 − y2 );

z1z2 =(x1x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 );

z1

=

x1x2 + y1 y2

+ i

x2 y1 − x1 y2

,

z2 ≠ 0.

z2

x2 + y 2

x2

+ y 2

2

2

2

2

Всякое комплексное число z = x +iy ≠ 0

можно представить в тригонометри-

ческой форме

z = r(cosϕ +i sinϕ) или

в показательной

форме z = reiϕ ,

где

r = x2 + y2

– модуль

комплексного

числа z; ϕ –

аргумент числа

z;

cosϕ =

x

,

sin ϕ =

y

.

r

r

Тригонометрическую и показательную формы представления целесообразно применять при умножении и делении комплексных чисел, а также при возведении в степень и извлечении корня. Пусть

z1 = r1 (cosϕ1 + i sin ϕ1 ),

z2 = r2 (cosϕ2 + i sin ϕ2 ),

тогда

z

z

2

= r

r

(cos(ϕ

1

+ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

+ϕ

2

)) = r

r

ei(ϕ1+ϕ2 ) ;

1

1

2

1

2

z1

=

r1

(cos(ϕ1 −ϕ2 ) + i sin(ϕ1 −ϕ2 )) =

r1

e

i(ϕ −ϕ

)

,

z2 ≠ 0;

1

2

z2

r2

r2

z n

= r n (cos n(ϕ1 +ϕ2 ) + i sin(ϕ1 +ϕ2 )) = r neinϕ ;

n z = n r (cos ϕ + 2πk

+ i sin ϕ + 2πk ) = n

r ei(ϕ+2πk ) / n (k =

0,1,...n −1).

n

n

2. В ряде случаев график функции y=F(x) можно получить преобразованием известного графика другой функции y=f(x).

Функция y=F(x)

F(x)=f(x)+c

F(x)=f(x-a)

F(x)=-f(x)

F(x)=f(-x)

F(x)=k f(x)

F(x)=f(k x)

F(x)= f (x)

F(x)=f( x )

Преобразование графика функции y=f(x)

Параллельный перенос вдоль оси ординат на c единиц Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на a единиц Зеркальное отражение относительно оси абсцисс Зеркальное отражение относительно оси ординат Умножение каждой ординаты на k («растяжение» в k раз вдоль оси ординат)

Деление каждой абсциссы на k («сжатие» в k раз вдоль оси абсцисс)

Отражение участков графика, лежащих ниже оси абсцисс, относительно этой оси Отражение участков графика, лежащих справа от оси ординат, относительно этой оси

3. Для выполнения задания № 3 необходимо знание следующих определений и правил:

а) число А называется пределом функции f(x) при x → a , если для любого ε

>0 найдется такое	δ >0, что		f (x) − A		< ε при 0 <		x − a		< δ . Обозначение
lim f (x) = A ;
x→a
б) функция f(x)	называется бесконечно малой (бесконечно большой) при
x → a , если lim f (x) = 0 (lim f (x) = ∞);
x→a	x→a

в) две функции f(x) и g(x), бесконечно малые при x → a , называются эквива-

	лентными, если lim	f (x)	=1. Обозначение f (x) ~ g(x), x → a;
		g(x)
	x→a

г) справедливы следующие основные правила вычисления пределов. Пусть α - постоянная, f(x) и g(x) имеют пределы при x → a .Тогда

1)	lim α f (x) =α lim f (x);
	x→a	x→a
2)	lim [f (x) ± g(x)]= lim		f (x) ± lim g(x);
	x→a	x→a	x→a

3)

lim f (x) g(x) = lim

f (x) lim g(x);

x→a

x→a

x→a

f (x)

lim f (x)

4)

lim

=

x→a

,

lim g(x) ≠ 0;

g(x)

lim g(x)

x→a

x→a

x→a

если g(x) ~ g1(x)

при x → a , то

5)

lim

f (x) g(x) =

lim

f (x) g1(x);

x→a

x→a

6)

lim

f (x)

= lim

f (x)

.

g(x)

x→a

x→a g1(x)

д) вычисление пределов может привести к неопределенностям вида 00 , ∞∞ ,

0 ∞, ∞ − ∞,1∞ ,00 , ∞0 . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

1)сокращение на множитель, создающий неопределенность ;

2)деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при x → ∞);

3)применение эквивалентных бесконечно малых функций;

4)использование замечательных пределов

		sinα(x)			K
	lim		=1;	lim (1 +α(x))	α(x)	= e K .
		α(x)
	α(x)→0			α(x)→0
	(x→a)			(x→a)

4. Функция называется непрерывной в точке x=a, если функция определена

в этой точке и ее окрестности и lim f (x) = f (a).

x→a

Функция f(x) называется непрерывной в точке x=a справа (слева), если существует правый (левый ) предел функции, равный значению функции в этой

точке.	Обозначения:	lim f (x) = f (a + 0)	(правый	предел),
		x→a+0
lim	f (x) = f (a − 0) (левый предел). Если функция непрерывна в точке a сле-
x→a−0

ва и справа, то она непрерывна в этой точке.

Точка x=a является точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция не является непрерывной, т.е. функция в ней либо не определена

	(например,	f (x) =	1	, вточке x = 0 ),
			x