Типология отношений на основе базовой типологии множеств
Ключевые понятия и идентификаторы ключевых scb-узлов:
ориентированное отношение; неориентированное отношение; частично ориентированное отношение; отношение с кратными связками; отношение без кратных связок; отношение со встречными связками; отношение без встречных связок; семейство множеств одинаковой мощности; семейство множеств неодинаковой мощности; бинарное отношение (семейство 2-мощных множеств); тернарное отношение (семейство 3-мощных множеств); арность отношения; двойная линия со стрелками на обоих концах (графический примитив языка SCBg, изображающий знак неориентированной пары).
Анализ принадлежности связок отношений к числу кортежейпозволяет выделить следующие классы отношений:
ориентированные отношения– отношения,всесвязки которых являются кортежами;
неориентированные отношения – отношения,всесвязки которых являются неориентированными множествами;
частично ориентированные отношения – отношения, среди связок которых встречаются как кортежи, так и неориентированные множества.
Введём ключевые scb-узлы“ ориентированное отношение”,“ неориентированное отношение”и“ частично ориентированное отношение”, соответственно обозначающие множество ориентированных отношений, множество неориентированных отношений и множество частично ориентированных отношений.
Анализ наличия кратных вхождений элементовв связки отношения позволяет выделить следующие классы отношений:
отношения, всесвязки которых являются множествами, имеющими кратное вхождение элементов;
отношения, все связки которых неявляются множествами, имеющими кратное вхождение элементов;
отношения, некоторыесвязки которых являются множествами, имеющими кратное вхождение элементов.
Анализ наличия кратных связок, входящих в состав отношения, позволяет выделить следующие классы отношений:
отношения, имеющие кратные (равные) связки, – множество таких отношений обозначим scb‑узлом“ отношение с кратными связками”;
отношения, не имеющие кратных (равных) связок, – множество таких отношений обозначим scb‑узлом“ отношение без кратных связок”.
Примечание. Формально отношение не может быть множеством с кратным вхождением каких-либо элементов. Кратные связки отношения оформляются не путем многократного вхождения знака связки в состав отношения, а путем копирования соответствующей связки, т.е. путём включения знаковравныхнеориентированных множеств илиравныхкортежей. Таким образом вscb-тексте могут встречаться равные множества или равные кортежи, но только в том случае, если их знаки являются элементамиодного и того жеотношения. Целесообразность такого решения обусловлена тем, что равные связки отношения могут иметьразныедополнительные характеристики (например, разные весовые характеристики соответствующих связей).
Кроме кратных (равных) связок могут существовать также встречные связки, т.е. связки, являющиеся встречными кортежами.
Напомним, что встречные кортежи– это кортежи, состоящие из одинаковых элементов, по крайней мере один из которых входит в разные (встречные) кортежи под разными атрибутами – см.подраздел 3.2.
Анализ наличия встречных связок, входящих в состав отношения, позволяет выделить следующие классы отношений:
отношения, имеющие встречные связки, – множество таких отношений обозначим scb-узлом“ отношение со встречными связками”;
отношения, в которых встречные связки отсутствуют, – множество таких отношений обозначим scb-узлом“ отношение без встречных связок”.
Анализ рефлексивности самих отношенийпозволяет выделить следующие классы отношений:
отношения, являющиеся рефлексивными множествами (знаки таких отношений имеют петлевую пару принадлежности), – это хоть и экзотический, но вполне реальный класс отношений;
отношения, неявляющиеся рефлексивными множествами.
Анализ рефлексивности связокотношения позволяет выделить следующие классы отношений:
отношения, всесвязки которых являются рефлексивными множествами;
отношения, всесвязки которыхне являются рефлексивными множествами;
отношения, некоторыесвязки которых являются рефлексивными множествами.
Анализ мощности самих отношенийпозволяет выделить следующие классы отношений:
конечные отношения (отношения, являющиеся конечными множествами);
бесконечные отношения (отношения, являющиеся бесконечными множествами).
Анализ мощности связокотношения позволяет выделить следующие классы отношений:
отношения со связками одинаковоймощности – множество таких отношений обозначимscb-узлом“ семейство множеств одинаковой мощности”(см. подраздел3.1);
отношения со связками неодинаковой мощности (в каждом таком отношении существуют по крайней мере две связки, имеющие разную мощность) – множество таких отношений обозначимscb-узлом“ семейство множеств неодинаковой мощности”(см. подраздел3.1).
В свою очередь семейство отношений со связками одинаковой мощности разбивается на следующие подклассы:
бинарные отношения – отношения, все связки которых являются 2-мощными множествами, т.е. мощность которых равна 2 (в частности,2-мощными кортежами или ориентированными парами), – множество таких отношений обозначимscb-узлом“ бинарное отношение”;
тернарные отношения – множество таких отношений обозначим scb-узлом“ тернарное отношение”;
4-арные отношения;
и т.д.
В связи с вышесказанным отношениям со связками одинаковой мощностиможно поставить в соответствие числовую характеристику –арность отношения.
Для наглядности изображения 2-мощных неориентированных связок в языкеSCBgвведёмправило:
Правило 3.3.2.1. Следующие изображения 2-мощных неориентированных связокявляются эквивалентными:
|
|
|
|
|
|
Здесь scb-узелc, обозначающий2-мощную неориентированную связку, принадлежащую отношениюr, вместе с выходящими из этого узлаscb-дугами заменяется на жирную линию без стрелок.Знак2-мощной неориентированной связки неуточняемого типа будем называтьребром. Таким образом, в языкSCBgдля более наглядного изображения ребер вводитсяещё один графический примитив– "жирная двойная линиясо стрелками на обоих концах". Напомним, что для наглядного изображения дуг, не являющихсяscb-дугами (знаками пар принадлежности), в языкSCBgбыл введен специальный графический примитив – двойная линия со стрелкой на одном конце.