- •Типология знаний и языки представления знаний в графодинамических ассоциативных машинах
- •Представление знаний, связанных с понятием измерения
- •Описание динамических систем
- •Описание целей в графодинамических ассоциативных машинах
- •Гипертекстовые семантические сети
- •Принципы представления нейросетевых моделей
- •Краткое описание полной прямолинейной модели псевдооптической нейронной сети и методов расчета её поведения
- •Принципы представления псевдооптических нейросетей в памяти графодинамических машин
- •Выводы к разделу 6
Краткое описание полной прямолинейной модели псевдооптической нейронной сети и методов расчета её поведения
Ключевые понятия и идентификаторы ключевых узлов: псевдооптическая нейронная сеть, полная прямолинейная модель.
Здесь мы рассмотрим одну из наиболее изученных моделей ПНС - полную прямолинейную модель, описанную в [280] (Кузнецов О.П..2000ст-ПсевдНС). Начнем с описания основной единицы ПНС - интерферирующего нейрона. Оно содержится в [277; ,281; 282; 284](Кузнецов О.П.1995ст-НеклаПвИИ ; Кузнецов О.П.1992ст-ГологМОИвНС ; Кузнецов О.П.1993ст-МоделГПОИвНС ; Кузнецов О.П.1996ст-ПсевдНСПМ ;). Интерферирующий нейронNимеетmN входов, выходов и характеризуется тремя положительными действительными числами: порогом, выходной интенсивностью и потенциалом, зависящим от времени и не превышающим порога. Нейрон может находиться в пассивном состоянии, в котором он воспринимает входные сигналы, или в активном состоянии, в котором он генерирует выходной сигнал. Нейроны соединены между собой однонаправленными волокнами, имеющими две характеристики: длинуdи скоростьvпрохождения сигналов. Сигналдлительности- это функция, определенная на интервале длины, где- периодическая функция с частотой, а- константа, называемая интенсивностью сигнала. Пример функцииsi- функцияsi(t) =sin2t. В дальнейшем считаем, что конкретный вид функциинесущественен, сигналполностью определяется тройкой параметров (,,), причем все сигналы, поступающие на вход одного нейрона, имеют одинаковую частоту. Сигналвозникает в точке волокна в моменти оканчивается в момент, если в этой точке функцияопределена на интервале [,]. Распространение сигнала по волокну с параметрамиdиvозначает, что, если в начальной точке волокна сигналвозник в момент, то в конечной точке он возникнет в момент+d/v. Для сигнала, распространяющегося со скоростьюv, введем понятие длины волныi=. Если на входеNв моментвозник сигнал, а на другом входе в моментвозник сигнал, то величину
(6.5.1)
назовем разностью фаз между ина входе N. Состоянием входов нейрона в момент tназывается вектор, гдеIj (t) = 0, если наj-м входе нет сигнала в момент t, иIj (t) = Ij, если на нем есть сигнал с интенсивностьюIj . ВеличинуI(t), вычисляемую по формуле
I(t) =cos i j , (6.5.2)
назовем суммарной входной интенсивностью в момент t.
Нейрон функционирует следующим образом. Пусть в момент tнейронNпассивен и имеет потенциал, состояние входовна отрезке [t, t'] постоянно,I- суммарная интенсивность. Тогда
1)если +I (t’ - t ) < , то
= + I (t’ - t ); (6.5.3)
2)в противном случае существует момент t*,t <t*<t', такой, чтоUN (t) + I(t - t)= PN ;в моментt* нейрон становится активным, и на каждом из еговыходов возникает сигналSN = (,,N), где
= (6.5.4)
(время разряда равно времени заряда от сигнала с теми же параметрами). В момент t*+нейрон снова переходит в пассивное состояние;(t*+) = 0.
Формула (6.5.3) предполагает, что на данном отрезке времени существует фиксированное число входных сигналов. Однако на входах нейрона в разные моменты времени существуют разные сигналы; каждый сигнал Siвозникает в некоторый момент, заканчивается в моментt0i и имеет длительностьi=t0i-t1i. Для произвольного временного интервала справедливо следующее утверждение (его доказательство содержится в [282] (Кузнецов О.П.1993ст-МоделГПОИвНС)).
Теорема интерференции. Если на интервале [t, t'] на вход нейронаN поступилоmсигналов и потенциалне превысил порога, то
( t + t’) = ( t ) + (2 + ) , (6.5.5)
где i- длительность сигнала наi-м входе,ij- длительность одновременного существования сигналов наi-м иj-м входах., а суммирование ведется по всем неупорядоченным парам (i, j).
В первой сумме формулы (6.5.5) из двух пар (i, j) и (j, i) берется только одна, причем от выбора той или иной пары зависит знак разности фаз. Но поскольку cos= cos(-), то для вычислений либо пара (i, j) всегда выбирается так, что0, т.е., либо используется более компактный вариант формулы (6.5.5):
( t + t’) = ( t ) + () , (6.5.6)
где iиjнезависимо принимают все значения от 1 доm и, следовательно, сумма содержит и пару (i, j), и пару(j, i). Второй сумме формулы (6.5.5) в (6.5.6) соответствует сумма пар (i, i), учитывая, что cos=1, а. Нетрудно видеть, что, если на интервале [t, t'] сигналы не меняются, то (6.5.6) переходит в (6.5.3).
Следствие 1. В случае, когда все интенсивности одинаковы и равныI, формула (6.5.6) приобретает вид
( t + t’) = ( t ) + I (cosi ji j)
Величина i jвыражается через разность фаз следующим образом (доказательство дано в [9]): если 0i j2, то
i j = i j - , если , (6.5.7)
i j = j , если < .
Если все длительности сигналов одинаковы и равны , из>следует>и второй случай в (6.5.7) невозможен, т.е.=-. Это приводит к следующему утверждению.
Следствие 2.Если все интенсивности входных сигналов равныI, а все их длительности равны, то в условиях теоремы
( t + t’) =UN (t) + I (( - )cosi j ) , (6.5.8)
где сумма берется по всем i, j, таким, чтоi j2.
Поскольку качество голографических эффектов улучшается с увеличением числа нейронов, понижение сложности вычислений при программном моделировании ПНС является важной задачей.
Все геометрические модели ПНС основаны на общей схеме, повторяющей схемы оптической голографии. Эта схема описана в [277; 282](Кузнецов О.П.1995ст-НеклаПвИИ ; Кузнецов О.П.1993ст-МоделГПОИвНС) и содержит четыре нейронных слоя: слой-источникA, слойB, в котором размещается образ-объект, изображаемый распределением потенциалов его нейронов (чем ближе к порогу потенциал нейрона, тем "ярче" соответствующая точка образа), слойC(голограмма), в котором в результате интерференции сигналов отAиBвозникает распределение потенциалов, являющееся голографической записью информации об образеB, и слойD, в котором после "освещения" голограммыCисточником Aвосстанавливается образB. Каждый слой – это множество нейронов с одинаковыми параметрами, расположенных на некоторой поверхности на равном расстоянии друг от друга и не связанных между собой.
Рисунок 6.5.1
Из описания этой схемы видно, что выходы Aдолжны быть связаны со входамиB,выходыAиB– со входамиC, а выходыC – со входамиD. Скорости и частоты сигналов во всей сети одинаковы. Главная задача при выборе параметров модели – получение вDобраза, "похожего" на образ вB.
Полная прямолинейная модель - это геометрическая модель ПНС со следующими параметрами и свойствами:
Все четыре слоя - это прямолинейные параллельные отрезки, лежащие на одной плоскости. Расстояния между ними обозначим через rAB (отAдо B), rAC , rBC,rCD, соответственно, причем rAB + rBC =rAC. Следуя принципам оптической голографии (восстановленное изображение объекта находится по другую сторону голограммы на том же расстоянии от нее, на котором находился сам объект), полагаемrBC=rCD. Волокна, соединяющие нейроны разных слоев, также прямолинейны. В дальнейшем будем называть их лучами. Все нейроны слояAимеют одинаковые порогPA и выходную интенсивность IA . Аналогичные параметры слоевB,Cобозначаются через PB , PC , IB , IC соответственно.
Число нейронов nC иnDвCиDодинаково:nC =nD=n, нейроны пронумерованы от 0 доn- 1; расстояния между нейронами одинаковы и равныe. Таким образом, отрезокCразбит точкамиC0, ...,Cn -1, в которых находятся нейроны, наn- 1 отрезков длиныe; длинаCравнаe(n - 1). То же относится и кD. Все расстояния измеряются числом волн; или, что то же самое: расстояния измеряются в обычных единицах длины, но=1.
Отрезок Bтакже имеет длинуe(n - 1)и разбитnточкамиB0, ...Bn - 1наn- 1 отрезков длиныe. Однако, в отличие отCиD, нейроны слояBмогут находиться не во всех точках. Номер нейрона слояB- это номер точки, в которой он находится.
Коэффициенты ветвления (числа выходов) нейронов слоев B, Cравны:qB = qC = n.
Параметры слоя Aвыбираются с учетом того, что его излучение должно моделировать два классических случая оптической голографии: точечный источник и плоскую волну. В [284] (Кузнецов О.П.1996ст-ПсевдНСПМ) плоская волна моделировалась упрощенным образом: нейронAiбыл соединен только с нейрономCi(т.е.qA= 1, и интерференция в плоской волне не учитывалась). Это сильно упрощало вычисления, но снижало общность модели. В полной модели это ограничение снимается. СвязиAсBстроятся на основе следующих соображений: 1) каждая точкаBiсоединена сnточками слояA; совокупность этихnлучей будем называть входным пучкомBi; 2) геометрия входного пучкаBiне зависит от его номера; этот пучок всегда симметричен относительно перпендикуляраАiBi. Это приводит к структуре, показанной нарис.6.5.1.Из нее видно, что в случае плоской волны число нейронов вАдолжно быть большеn, точнее, nA2n. Аналогичная структура связей имеет место междуAиC. Поэтому для произвольногоAiобщее число выходных лучейqAi2n, но для простоты полагаем всегдаqAi=qA= 2n. Для случая точечного источникаnA= 1, причем номер единственного нейронаАiпроизволен, но по-прежнемуqA= 2n.
В начальный момент потенциалы UC i = UD i = 0 для всех нейроновCi иDi. В точкеBiнейрон может либо отсутствовать, либо присутствовать. В последнем случае его потенциалUBiпроизволен. Распределение потенциалов в слоеB представляет одномерный образ объекта: нейрон с высоким потенциалом соответствует яркой точке объекта, нейрон с низким потенциалом - темной точке объекта, отсутствие нейрона - отсутствию объекта в данной точке.
Другие параметры сети и их обозначения: UAi , UBj , UCk , UDl- потенциалы нейроновAi , Bj , Ck , Dlсоответственно;SAi , SBj , SCk,SDl- их выходные сигналы,aij - расстояние междуAiиBj (т.е. длина волокнаAiиBj) , bjk- расстояние междуBjиCk , cik- расстояние междуAiиCk , dkl- расстояние междуCkиDl.
Общая схема сети приведена на рис.6.5.1. Из нее видно, что расстояния aij , bjk , cik , dklвычисляются по теореме Пифагора, например,b0k= . Число различных лучейBjCk равноn2, однако число различных расстоянийbikравноn:посколькуbik=b0, i - k, то массив { b00, …,b0,n-1} содержит все расстоянияbik. Для краткости вместоb0kбудем писатьbk. Тогдаbik=bi - k, в частности,bii= b0=rBC. Аналогичные соотношения и обозначения сохраняются и для расстояний между другими парами слоев. Кроме того,bi j = di jдля всехi, j.
Подробное описание методов расчёта поведения вышеописанной модели псевдооптической нейросети приведено в источнике [280](Кузнецов О.П..2000ст-ПсевдНС).