ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
(ТУСУР)
Заочный факультет (дистанционная форма обучения)
Кафедра автоматизированных систем управления (АСУ)
Математическая экономика
Контрольная работа № 1
Студент Авдеева Екатерина Сергеевна
Дата выполнения работы _ _
Дата проверки _ _
Оценка _ _
И. О. Фамилия преподователя _ _
Подпись преподователя _ _
Мирный
2008 г.
-
Коэффициент наращения годовой ренты по ставке сложных и простых процентах.
Коэффициент наращения ренты — показывает, во сколько раз наращенная сумма ренты больше первого члена ренты.
С экономической точки зрения процент представляет собой плату за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.
Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые, при измененной -сложные процентные ставки.
Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R , а срок — n. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты — на первый член проценты начисляются n — 1 год, на второй n — 2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:
Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом R. Число членов прогрессии равно n. Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии.
Откуда
Обозначим множитель, на который умножается R, через , нижний индекс n;i указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки. В дальнейшем этот множитель будем называть коэффициентом наращения ренты.
Пример:
Владелец малого предприятия создает страховой фонд. С этой целью в течении 5 лет в конце каждого года в банк вносились 10000 руб. под 20% годовых с последующей капитализацией. Определить наращенную сумму.
Таким образом,
Как видим, коэффициент наращения ренты зависит только от срока (числа членов ренты) и процентной ставки. С увеличением значения каждого из этих параметров его величина растет. При i = 0 имеем S = Rn. Значения коэффициента легко табулировать.
Полезно проследить взаимосвязь коэффициентов наращения, относящихся к последовательным интервалам времени. Для случая, когда общий срок определяется как n = n1 + n2 получим
Годовая рента с начислением процентов m раз в году.
Пусть как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты теперь начисляются m раз в году. Число члена ренты равно nm. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке):
где j — номинальная ставка процентов.
Нетрудно убедиться, что и в этом случае мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель — (1 + j/m)m. Сумма членов этой прогрессии составляет
Пример:
Страховая компания заключает договор производственной фирмой на 3 года. Поступающие взносы в размере 500 тыс. руб.помещают в банк под 15% годовых с полугодовой капитализацией. Определить получившею страховой компанией сумму.