3-24_Лабораторная_Математическая экономика

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Лабораторная работа № 3

по дисциплине «Математическая экономика»

вариант 24

(Учебное пособие «Математическая экономика», автор Мицель А.А., Ефремова Е.А., 2007 г.)

Выполнил:

студент ТМЦДО

специальности 080801

г. Усть-Каменогорск

2008 г.

Вопрос 1. Как влияют параметры облигаций на ее внутреннюю стоимость?

Ответ: Облигация – ценная бумага, свидетельствующая о том, что ее держатель предоставил заем эмитенту этой бумаги. Облигация обеспечивает ее владельцу регулярное получение фиксированного дохода в виде процентов от номинала и в конце срока – некоторой выкупной цены, обычно равной номиналу.

Параметры, которые определяют стоимость облигации, - срок, купонные платежи (купонная ставка) и рыночная ставка. Из формул, определяющих внутреннюю стоимость, следует, что повышение ставки приводит к уменьшению внутренней стоимости облигаций. Таким образом, внутренняя стоимость – изменяющаяся величина, зависящая от колебаний уровня рыночного процента. С увеличением срока облигации влияние на внутреннюю стоимость современной величины выкупной цены понижается, а влияние современной величины купонных платежей растет. Изменение рыночной ставки в большей мере влияет на оценку при увеличении срока.

Чем ниже купонный доход, тем ниже внутренняя оценка облигации. При этом повышается чувствительность оценки к изменению рыночной ставки. Относительное изменение оценки в результате изменения ставки будет тем меньше, чем выше купонная ставка.

Вопрос 2. Как определить доходность облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов?

Ответ: Доход от этого вида облигаций получают только в виде периодически выплачиваемых процентов от номинала. Пусть проценты выплачиваются один раз в конце года, g – купонная ставка, gN – ежегодно получаемый доход. Выплату потока процентных платежей можно рассматривать как вечную ренту. Необходимо приравнять современную величину этой ренты к покупной цене облигаций.

Получим формулу для современной величины вечной ренты. Обозначим А_∞ - современную величину такой ренты. Имеем

Используем эту формулу для определения полной доходности облигаций. Очевидно, современная величина платежей по облигации равна . Приравняем эту величину покупной цене. Получим уравнение

решая которое, определим

Если курс K < 100, то доходность к погашению i >g; если К = 100, то i =g; если К > 100, i < g.

Если процентные платежи выплачиваются p раз в год. То потоки этих платежей можно рассматривать как вечную p - срочную ренту. Приравнивая современную величину этой ренты к цене приобретения, получаем уравнение, решив которое, определим ставку полной доходности i:

Вопрос 3. Каковы основные элементы купонных облигаций, используемые для расчета их стоимости?

Ответ: Под облигацией понимается ценная бумага, свидетельствующая о том , что ее держатель предоставил заем эмитенту этой бумаги. Облигация как правило обеспечивает ее владельцу регулярное получение фиксированного дохода в виде процентов от номинала и в конце срока – некоторой выкупной цены, обычно равной номиналу.

Основные параметры облигаций:

1. Номинальная цена или выкупная цена, если она отличается от номинала;

2. Дата погашения;

3. Норма доходности или купонная ставка (процентная ставка, по которой регулярно выплачивается доход владельцу облигации);

4. Сроки выплаты процентов.

Облигации – важный объект финансовых инвестицийи с момента их эмиссии и до погашения они продаются и покупаются по сложившимся на рынке ценам.

Рыночная цена в момент эмиссии может быть ниже, выше, либо равна номиналу. Поскольку номиналы различных облигаций могут существенно различаться, то необходим сопоставимый измеритель рыночной цены облигации. Таким измерителем является курс облигаций. Под курсом понимают покупную цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала.

Пусть P ө рыночная цена, N – номинал, K – курс. Тогда, по определению:

K = (P/N)*100 .

Вопрос 4. Что представляет собой дисконтная облигация?

Ответ: Дисконтная облигация – облигация, купленная по цене ниже номинала (как говорят, облигация, купленная с дисконтом). Дисконтная облигация обладает положительной рыночной ценой за определенный период времени.

Задача 1. Вычислите текущую цену бессрочной облигации, если выплачиваемый по ней годовой доход составляет 15 000, а рыночная доходность – 24%.

Решение:

Известен ежегодно получаемый доход Ng=15 000. Ставка доходности равна – 24%, то есть i = 0,24. Найдем цену облигации P.

Из уравнения

gN/i = P = (K/100)*N

получаем P = gN/i

P = 15 000/0,24 = 62 500.

Ответ: P = 62 500.

Задача 2. Найдите курс бескупонной облигации за 6 лет до погашения при i = 7%. Вычислите доходность такой облигации, если ее курс равен 24 000.

Рещение:

1. Срок до погашения n=6 лет, искомая ставка доходности i = 7% = 0,07, найдем курс K.

Vⁿ = K/100 , где V = 1/1+i ,

следовательно (1/1+i)ⁿ = K/100,

отсюда выводим курс облигации:

K = 100*(1/1+i)ⁿ

K = 100*(1/1+0,07)⁶ = 100*0,666 = 66,6

2. Срок до погашения n=6 лет, искомая ставка доходности i = 7% = 0,07, курс облигации K = 24 000, найти доходность V .

Vⁿ = K/100 , следовательно V = ⁿ√K/100

V = ⁶√24 000/100 = ⁶√240 ≈ 2,49

Ответ: K = 66,6 ; V ≈ 2,49.

Задача 3. Компания не выплачивала дивиденты в отчетном году, но в следующем году планирует выплатить дивиденты в размере 890. В последующие годы ожидается постоянный рост дивидентов с темпом 2%. Какова текущая цена акций компании, если коэффициент дисконтирования равен 16%.

Решение: Сумма дивидентов D₀ = 890, темп роста дивидентов составляет 2%, или g = 0,02, коэффициент дисконтирования k равен 16%, или k=0,16. Найти текущую цену акций V.

Дивиденты будут расти по модели постоянного роста и изменение будет происходить по закону:

D_t = D_t-1 (1+g)

или D_t = D₀ (1+g)^t.

Окончательная формула для расчета цены акции:

V = D₀*(1+g/k-g).

V = 890*(1+0,02/0,16-0,02) = 890*(1,02/0,14) ≈ 6484,29

Ответ: V ≈ 6484,29.

Задача 4. Предприятие выплатило по дивидентам 50 рублей в виде дивидентов за последний год. В течении ближайших трех лет предприятие планирует увеличивать дивиденты на 16%, а в дальнейшем темп роста дивидентов должен составить 2%. Необходимо оценить стоимость акции при условии, что доходность акций оценена на уровне 25%.

Решение: r = 25% = 0,25 – доходность акции, q₁ = 16% = 0,16 и q₂ = 2% = 0,02 – темпы роста дивидентов, D₀ = 50 руб. - размер дивидентов за последний год. Вычислим стоимость акции.

q₁ = (D₁ - D₀)/D₀ = 0,16 следовательно, D₁ = ( D₀ *q₁) + D₀ = 58 руб.

PV = PV₁ + PV_T = ∑_t=1^T D₁ / (1+r)^t + D_T+1 / (r – q)*(1+q)^T

D_T+1 = D_T (1+q), D_T+1 = 58 (1+0,02) = 59,16 руб.

PV₁ = 50 / (1+0,25) + 58 / (1+0,25)² = 40 + 37,12 = 77,12

PV₂ = 59,16 / (0,25-0,02)*(1+0,02)² = 59,16 / 0,239292 = 247,23

PV = 77,12 + 247,23 = 324,35 руб.

Ответ: PV = 324,35 руб.

Задача 5. Банк учел вексель за 79,5% от его номинала за 2 месяца до его выкупа. Какова доходность операции для банка.

Решение: q = 79,5% = 0,795, срок учета векселя m = 60/360, вычислим доходность операции для банка d.

1/(1 – m*q) = 1+d,

где m = 60/360 – срок учета векселя, следовательно

1+d = 1/(1-60/360*0,795) = 1/1-0,1325 = 1/0,8675 = 1,15

d = 1,15 – 1 = 0,15%.

Ответ: d = 0,15%.

Список литературы:

1. Мицель А.А., Ефремова Е.А., Математическая экономика: учебное пособие. Томск , 2007г.

2. Малыхин В.И., Финансовая математика. М.: Юнити-Дана, 2000г.

3. Мицель А.А., Математическая экономика: лабораторный практикум. Томск: НТЛ, 2006г.

4. Домбровский В.В. Методы количественного анализа финансовых операций. Томск: ТГУ, 1998г.

5. http://exsolver.narod.ru/Books/Fininvest/Investment/c17.html