К.р.1 вар.11 Математические модели в экономике

16

Факультет дистанционного обучения

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра экономики

Контрольная работа

по дисциплине «Математические модели в экономике»

выполнена по методике Сидоренко М.Г.

Вариант 11

Выполнил:

студент ФДО ТУСУР

гр.: ………..

специальности 080502

…………………….

г. Норильск, 2012

Задание 1. Объем выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда х как функция, представленная в таблице 1. Цена продукции v, зарплата р. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.

Таблица 1

Данные

Y(x) = 1,5x² – x

v = 10, p = 290

Решение:

Составим функцию прибыли:

Возьмем производную и найдем ее нули:

Задание 2. Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Таблица 2

Данные

D = 100 – p; S = 20 + p

Решение:

Равновесная цена находится путём приравнивания спроса и предложения, т.е.

100-p=20+p; p*=40 – равновесная цена.

Найдём выручку при равновесной цене:

Найдём цену, определяющую максимум выручки:

При p (100-p) максимум достигается в точке p’=50 (определили через производную)

W(50)=50 (100-50)=2500

Таким образом, максимальная выручка W(p’)=2500 достигается при неравновесной цене.

Задание 3. Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры).

Таблица 3

Игра

Решение:

Ищем решение в чистых стратегиях

max(-3 -2)=-2

min(3 1)=1

Решения в чистых стратегиях не существует

Т.к. не все элементы исходной матрицы положительны,

добавим ко всем элементам число d=4

Это обеспечит положительность элементов новой матрицы.

7 1

2 5

Пара двойственных задач, соответствующих этой игре, имеют вид:

Задача 1

f=u1 + u2 -> min

7*u1 + 2*u2 >= 1

1*u1 + 5*u2 >= 1

Задача 2

F=z1 + z2 -> max

7*z1 + 1*z2 <= 1

2*z1 + 5*z2 <= 1

Найдем оптимальные решения этих задач.

| Цель | 1.00 | 1.00 | 0.00 | 0.00 |

| Basis | D.Basis| z 0 | z 1 | z 2 | z 3 | z 4 |

| z 3 | 0.00 | 1.00 | 7.00 | 1.00 | 1.00 | 0.00 |

| z 4 | 0.00 | 1.00 | 2.00 | 5.00 | 0.00 | 1.00 |

| Simplex| 0.00 | -1.00 | -1.00 | 0.00 | 0.00 |

| Цель | 1.00 | 1.00 | 0.00 | 0.00 |

| Basis | D.Basis| z 0 | z 1 | z 2 | z 3 | z 4 |

| z 1 | 1.00 | 0.14 | 1.00 | 0.14 | 0.14 | 0.00 |

| z 4 | 0.00 | 0.71 | 0.00 | 4.71 | -0.29 | 1.00 |

| Simplex| 0.14 | 0.00 | -0.86 | 0.14 | 0.00 |

| Цель | 1.00 | 1.00 | 0.00 | 0.00 |

| Basis | D.Basis| z 0 | z 1 | z 2 | z 3 | z 4 |

| z 1 | 1.00 | 0.12 | 1.00 | 0.00 | 0.15 | -0.03 |

| z 2 | 1.00 | 0.15 | 0.00 | 1.00 | -0.06 | 0.21 |

| Simplex| 0.27 | 0.00 | 0.00 | 0.09 | 0.18 |

Получено оптимальное решение:

max F = min f = 0.27

z1=0.12

z2=0.15

u1=0.09

u2=0.18

Определим цену игры:

v=1/F=3.67

z1=0.44

z2=0.56

u1=0.33

u2=0.67

Найдем цену исходной игры:

v=v-d=-0.33

Задание 4. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно), заполнить схему межотраслевого баланса.

Таблица 4

Данные

А = Y =

Таблица 5 - Схема межотраслевого баланса

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли				Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	…	п
1	x11	x12	…	x1n	Y1	X1
2	x21	x22	…	x2n	Y2	X2
…	…	…	Квадрант 1	…	Квадрант 2	…
П	хп1	хп2	…	хпn	Yп	Xп
Условно чистая продукция (по элементам)	Z1	Z2	Квадрант 3	Zn	Квадрант 4
Валовой продукт	X1	X2	…	Xn

Решение:

1. Модель Леонтьева имеет вид:

или

2. Выполнение расчетов в Excel состоит из следующих этапов:

• Вычисление матрицы ;

• Обращение матрицы ;

• Умножение матриц ;

• Нахождение величин ;

• Определение добавочной стоимости .

Все расчеты показаны в таблице 6.

Таблица 6

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1
2			1	0	0			0	0,2	0,1
3		Е=	0	1	0		А=	0,4	0,2	0,1
4			0	0	1			0,2	0,1	0,3
5
6			1	-0,2	-0,1
7		Е-А=	-0,4	0,8	-0,1
8			-0,2	-0,1	0,7
9
10
11			1,170	0,319	0,213
12		В=	0,638	1,447	0,298
13			0,426	0,298	1,532
14
15
16			510			688,30
17		Y=	160		X=	613,62
18			190			555,74
19
20
21		X11=	0,00	X12=	122,72	X13=	55,57
22		X21=	275,32	X22=	122,72	X23=	55,57
23		X31=	137,66	X32=	61,36	X33=	166,72
24
25
26			I	II	III	Всего	Y	X		X*
27		I	0,00	122,72	55,57	178,30	510	688,30		688,30
28		II	275,32	122,72	55,57	453,62	160	613,62		613,62
29		III	137,66	61,36	166,72	365,74	190	555,74		555,74
30		Всего	412,98	306,81	277,87	997,66	860,00	1857,66		1857,66
31
32

Пояснения к таблице 6

Вычисление матрицы Е-А

Ввести единичную матрицу Е. Адреса элементов матрицы Е - С2 : Е4.

Ввести исходную матрицу А. Адреса элементов матрицы А - Н2 : J4.

Элементы матрицы (Е-А) вычисляются по формулам:

- содержимое ячейки С6 равно "=С2 - Н2". enter;

С7 равно "=С3 - НЗ", enter;

С8 равно "=С4 - Н4", enter;

- содержимое ячейка D6 равно "=D2 -I2", enter;

D7 равно "=D3 - I3", enter;

D8 равно "=D4 - I4", enter;

- содержимое ячейки Е6 равно "=Е2 - J2", enter;

Е7 равно"=Е3 - J3", enter;

E8 равно "=Е4 - J4", enter.

Обращение матрицы (Е-А)^-1 = В

Состоит из следующих действий:

- выделить рабочее поле (область ячеек, где будет помещена обратная

матрица В) - С11 : Е13;

- обратиться к мастеру функций f_x – математические-МОБР, ОК;

- выделить исходную матрицу (которая обращается),

проверить адреса - С6 : Е8;

- активизировать функцию (нажимаем на красную метку в строке окна);

- нажать одновременно Ctrl-Shift-Enter (постепенное одновременное нажатие).

Адреса элементов матрицы В - С11: Е13

Умножение матриц X=BY

Примечание. Для умножения матриц необходимо помнить правило умножения двух матриц: число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы. В нашем случае это правило выполняется: В(3*3) * Y(3*l) = Х(3*1).

Ввести исходную матрицу Y. Адреса элементов матрицы Y - С16:С18

Для умножения матриц В и Y необходимо:

- выделить рабочую область - F16 : F18;

- обратиться к мастеру функций f_х -математические-МУМНОЖ, ОК;

- выделить 1-ую матрицу - С11 : Е13;

- выделить 2-ую матрицу - С16 : С18;

- нажать последовательно одновременно Ctrl-Shift-Enter.

Адреса матрицы X - F16 : F18.

Нахождение величин (материальных потоков между отраслями)

Межотраслевые потоки вычисляются по формулам:

- содержимое ячейки С21 равно "=Н2 * F16", enter;

С22 равно "=НЗ * F16", enter;

С23 равно "=Н4 * F16", enter;

F21 равно "=I2 * F17", enter;

F22 равно "=I3 * F17", enter;

F23 равно "=I4 * F17", enter;

I21 равно "=J2 * F18", enter;

I22 равно "=J3 * F18", enter;

I23 равно "=J4 * F18", enter;

Определять величины добавленной стоимости будем при построении таблицы МОБ.

Построение таблицы МОБ.

Элементы таблицы МОБ заполняются по следующему алгоритму:

- содержимое ячейки С27 равно содержанию ячейки С21;

- содержимое ячейки С28 равно содержанию ячейки С22;

- содержимое ячейки С29 равно содержанию ячейки С23;

- содержимое ячейки СЗ0 равно "= SUM (C27 : С29):

- содержимое ячейки С32 равно содержанию ячейки F16:

- содержимое ячейки С31 равно "= С32 – СЗ0";

- содержимое ячейки D27 равно содержанию ячейки F21;

- содержимое ячейки D28 равно содержанию ячейки F22;