ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Томский межвузовский центр дистанционного образования

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: Математические модели в экономике.

Сидоренко М. Г. Математические модели в экономике: Учебное пособие, 2000.

Вариант № 9.

Задание 1.

В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен Р и доходе Q. Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразите бюджетное множество и его границу графически. В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.

Решение:

Описание бюджетного множества и его границы с помощью обычных неравенств.

Описание бюджетного множества и его границы с помощью векторных неравенств.

Графическое изображение.

Бюджетное множество есть тетраэдр ABCO. Треугольник АВС является его границей.

84/4 = 21 – координата А

84/7 = 12 – координата В

84/3 = 28 – координата С

Найдем объем бюджетного множества:

21×12×28/6 = 1176.

Задание 2.

Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

D = 500 – 10p; S = 50+5p.

Решение:

Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения, т.е.

500 – 10р=50+5р

15р = 450

р = 30

Равновесная цена р*=30 и выручка при равновесной цене

W(p*)=p* × D(p*)=p* × S(p*) = 6000

При цене объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при - предложения. Необходимо найти цену , определяющую максимум выручки:

При р×(500-10р) максимум достигается в точке р’=25

При р×(50+5р) максимум достигается в точке р’=-5

Таким образом максимальная выручка достигается при равновесной цене W(p)=6000.

Задание 3.

Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры).

Решение:

Седловой точки нет. Обозначим оптимальную стратегию первого , искомую оптимальную стратегию второго

Выигрыш первого:

	4	-3	-2	4
	ху	х(1 – у)	у(1 – х)	(1 – х)(1 – у)

Находим средний выигрыш за партию Первого – математической ожидание случайной величины W(х,у):

М(х,у)=4ху – 3х(1 – у) – 2у(1 – х) + 4(1 – х)(1 – у)= 13ху – 7х – 6у + 4 = 13х(у – 7/13) – 6(у – 7/13) + 10/13 = 13(у – 7/13)(х – 6/13) + 10/13

Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо, чтобы М(х,у^*)М(х^*,у^*)М(х^*,у).

Это выполняется при х^*=6/13 и у^*=7/13, так как именно в этом случае

М(х;7/13)=М(6/13;7/13)=М(6/13;у)=10/13.

Следовательно, оптимальная стратегия первого игрока есть ,

Второго - . Цена игры по определению равна v=M(P^*,Q^*)=10/13.

Задание 4.

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами, заполнить схему межотраслевого баланса.

Решение:

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму способу, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно. Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

матрицу коэффициентов второго порядка:

.

Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:

.

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц (первый способ).

А) находим матрицу (Е – А):

.

Б) вычисляем определитель этой матрицы:

.

В) транспортируем матрицу (Е – А):

.

Г) находим алгебраическое дополнение для элемента матрицы :

Элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше элементов матрицы, рассчитанных по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.

Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х):

Определим элементы первого квадранта материального межотраслевого баланса:

Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находим как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта:

657.778 – (328.889 + 263.111 + 131.556) = –65

898.889 – (89.889 + 179.778 + 449.445) = 179.177

890 – (89 + 356 + 89) = 356

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1	328.889	89.889	89	150	657.778
2	263.111	179.778	356	100	898.889
3	131.556	449.445	89	220	890
Условно чистая продукция	–65	179.177	356	470
Валовая продукция	657.778	898.889	890		2446.667